挑戰數學的現狀

盡管經過幾十年的改革努力，美國的數學教學在上個世紀幾乎沒有什么變化。結果，美國學生似乎被甩在了后面，在數學素養方面排名世界第40位。

一些州和國家的改革努力試圖改善現狀。最近的共同核心標準在如何教授數學方面有很大的希望，但是幾年之后，教學實踐的變化已經微乎其微。

作為一名教育研究人員，我觀察到教師們試圖實施改革，但往往收效甚微。他們有時做出的改變更多是表面的，而非實質性的(例如，更多的學生討論和小組活動)，卻未能觸及問題的核心:教和學數學到底意味著什么?

傳統的數學教學

在美國，傳統的初中或高中數學教學通常遵循這樣的模式:老師演示一套可以用來解決特定問題的程序。然后，一個類似的問題被介紹給全班同學一起解決。然后，學生們得到一些練習自己練習。

例如，當學生學習形狀的面積時，他們會得到一組公式。他們把數字輸入正確的公式并計算出一個解。更復雜的問題可能會給學生這個領域，讓他們倒過來尋找一個缺失的維度。學生們每天都會學到一套不同的公式:也許今天是正方形和長方形，明天是三角形。

在這類課程中的學生正在學習遵循一個死記硬背的過程來得出一個解決方案。這種教育是如此普遍，以至于很少有人質疑。畢竟，在一個特定的課程中，它使數學看起來更容易，那些成功地得到正確答案的學生發現這種教學是非常令人滿意的。

但事實證明，以這種方式教授數學實際上會阻礙學習。孩子們可能會變得依賴于在所有情況下都不適用的技巧和規則，使他們更難適應新的情況。

例如，在傳統的教學中，孩子們學習到他們應該通過在括號中相乘來分配一個數字，并通過大量的例子來練習。當他們開始學習如何解方程時，他們常常難以意識到并不總是需要它。為了說明這一點，取方程3(x + 5) = 30。孩子們可能會把括號里的3乘起來，使3x + 15 = 30。他們可能很容易就把兩邊都除以3得到x + 5 = 10，但是一個學習了分布方法的孩子可能很難識別另一種方法——甚至兩種方法都是正確的。

超過正確答案

談話

這些傳統課程缺少的一個關鍵因素是概念理解。

概念是思想、意義和關系。它不僅僅是關于知道過程(比如如何計算三角形的面積)，還包括過程背后的意義(比如面積的含義)。概念和過程是如何相關的也很重要，比如三角形的面積如何被認為是矩形面積的一半，以及如何在它們的面積公式中看到這種關系。

概念理解教學有幾個好處。需要記住的信息更少，學生可以更容易地將他們的知識轉化為新的情況。例如，理解面積的含義以及不同形狀的區域是如何相互聯系的，可以幫助學生更好地理解體積的概念。學習面積和體積之間的關系可以幫助學生理解如何解釋體積的含義，一旦它被計算出來。

簡而言之，在如何解決問題和為什么這樣解決問題之間建立聯系，可以幫助學生利用他們已經知道的知識來解決他們面臨的新問題。具有真正概念性理解的學生可以看到方法是如何從多個相互關聯的想法中產生的;他們與解決方案的關系比死記硬背要深刻得多。

如果學生要開始認識到數學的意義，以這種方式教學是至關重要的第一步。概念理解是幫助人們在課堂之外進行數學思考和使用數學的關鍵因素。

改變的意志

一個多世紀以來，數學中的概念理解一直被認為是重要的，并被廣泛討論了幾十年。那么，為什么它沒有被納入課程，為什么傳統的教學大量存在?

從概念上學習可能需要更長的時間，而且比僅僅介紹公式要困難得多。以這種方式教學可能需要額外的時間承諾在課堂內外。學生們可能從來沒有被要求這么想過。

還有一些系統性的障礙需要面對。新老師可能會面臨來自傳統教學方式的老師的壓力。在過去20年里，過度考試的文化意味著學生們面臨著前所未有的壓力，要求他們在考試中得到正確答案。

這些測試的結果也與教師評估系統有關。許多老師都感到壓力，要求他們為考試而教學，訓練學生，以便他們能準確地反芻信息。

如果我們真的想要改善美國的數學教育，我們需要重新思考我們的教育系統和我們的教學方法，也許還要考慮其他國家是如何進行數學教學的。研究表明，概念教學具有傳統教學所不具備的優點。而從概念上學習的學生在成績測試中表現得也一樣好，甚至更好。

著名的教育專家Pasi Sahlberg是芬蘭前數學和物理教師。他總結得很好:

我們讓孩子學會如何學習，而不是如何考試。