微積分的發(fā)明之變量數(shù)學(xué)的巨人之爭

2001年，備受期待的電影《美麗心靈》上映，影片以諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎數(shù)學(xué)家約翰·納什的生平經(jīng)歷為基礎(chǔ)，講述了他患有精神分裂癥但卻在博弈論和微分幾何學(xué)領(lǐng)域取得驕人成績的勵志故事。

影片當(dāng)中有這樣一個情節(jié)：教室里，納什教授在給二十幾個學(xué)生上課。教室窗外的樓下有幾個工人正施工，機器的響聲成了刺耳的噪音，于是納什走到窗前狠狠地把窗戶關(guān)上。馬上有同學(xué)提出意見：“教授，請別關(guān)窗子，實在太熱了！”而納什教授一臉嚴肅地回答說：“課堂的安靜比你舒不舒服重要得多！”

正當(dāng)教授一邊自語一邊在黑板上寫公式的時候，一位叫阿麗莎的女同學(xué)走到窗邊打開了窗戶。電影中納什用責(zé)備的眼神看著阿麗莎，而阿麗莎卻對窗外的工人說道：“打擾一下，我們有點小小的問題，關(guān)上窗戶，這里會很熱；開著，卻又太吵。我想能不能請你們先修別的地方，大約45分鐘就好了。”正在干活的工人愉快地答應(yīng)了。看罷，納什教授一邊微笑，一邊評論她的做法似地對同學(xué)們說：“你們會發(fā)現(xiàn)在多變量的微積分中，往往一個難題會有多種解答。”

正如納什教授口中的描述，“微積分”是一種變量的數(shù)學(xué)。

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微積分創(chuàng)立之前的數(shù)學(xué)工具，研究對象和解決的問題都是屬于靜態(tài)的，就是所謂積分的方法。精確而瞬時的動態(tài)計算必然要涉及到微分的概念。所以，將微分和積分的理論統(tǒng)一起來的微積分學(xué)，本質(zhì)上是一種運動的數(shù)學(xué)。

作為一門學(xué)科，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積等問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。而在我國的《莊子·天下篇》中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。這些都是樸素的極限概念，正是微分學(xué)的基礎(chǔ)思想。

17世紀初期，伽利略和開普勒在天體運動中所得到的一系列觀察和實驗結(jié)果，導(dǎo)致科學(xué)家們對新一代數(shù)學(xué)工具的強烈需求，也激發(fā)了新型數(shù)學(xué)思想的誕生。從大量的數(shù)據(jù)中，如何才能抽象出大自然的秘密，也就是物體的運動規(guī)律來呢？

在伽利略的時代，已經(jīng)有了速度的概念。那時的科學(xué)家們已經(jīng)知道運動距離與運動時間相除得到速度。如果物體運動的快慢始終一樣，那就叫勻速運動，否則就是非勻速運動。伽利略在實驗中發(fā)現(xiàn)，在地球引力持久作用下物體的運動，快慢并非始終一致的，開始時下落得比較慢，后來則下落得越來越快。伽利略又發(fā)現(xiàn)，無論是在下落的開始還是最后，速度增加的效果是一樣的，這也就是我們現(xiàn)在所熟知的說法：“地面上自由落體的運動是一種等加速度運動”。

速度、加速度、勻速、勻加速、平均速度、瞬時速度……現(xiàn)在學(xué)生很容易理解概念，但在當(dāng)時，這些名詞卻曾經(jīng)困惑過像伽利略這樣的大師。從定義平均速度，到定義瞬時速度，是概念上的一個飛躍。平均速度很容易計算：用時間去除距離就可以了。但是，如果速度和加速度每時每刻都在變化的話，又怎么辦呢？

可以相信，開普勒在總結(jié)他的行星運動三定律時，也曾經(jīng)有類似的困惑。開普勒得出了行星運動的軌跡是個橢圓，他也認識到行星沿著這個橢圓軌跡運動時，速度和加速度的方向和大小都在不停地變化。但是，他尚未有極限的概念，也沒有曲線的切線及法線的相關(guān)知識，不知如何描述這種變化，于是，便只好用“行星與太陽的連線掃過的面積”這種靜態(tài)積分量來表達他的第二定律。

伽利略和開普勒去世后，兩位大師將他們的成果和困惑留在了世界上，等待一代代杰出的數(shù)學(xué)家對新一代數(shù)學(xué)工具發(fā)起總攻，直至微積分的發(fā)明。

然而，誰也沒有想到，這個劃時代的重大成果竟然導(dǎo)致了世界科學(xué)史上的一樁公案——“微積分究竟是誰發(fā)明的？”

1684年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)表了他的微積分論文。3 年后，牛頓在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》書的初版中對萊布尼茲的貢獻表示認同，但是卻說：“和我的幾乎沒什么不同，只不過表達的用字和符號不一樣。”這幾句話，導(dǎo)致和萊布尼茲產(chǎn)生極大的矛盾。

萊布尼茲發(fā)表論文二十年后，牛頓的流數(shù)理論正式發(fā)表。在序言中，牛頓提到1676年給萊布尼茲的信，并補充說：“若干年前我曾出借過一份包含這些定理的原稿，之后就見到一些從那篇當(dāng)中抄出來的東西，所以我現(xiàn)在公開發(fā)表這份原稿。”這話的意思就暗指他的手稿曾經(jīng)被萊布尼茲看到過，而萊布尼茲的論文就是從他的手稿中抄來的。

在今后的一百年間，關(guān)于“誰發(fā)明微積分”的真相變得撲朔迷離。現(xiàn)在，經(jīng)過歷史考證，萊布尼茨和牛頓的方法和途徑均不一樣，對微積分學(xué)的貢獻也各有所長。牛頓注重于與運動學(xué)的結(jié)合，發(fā)展完善了“變量”的概念，為微積分在各門學(xué)科的應(yīng)用開辟道路。萊布尼茨從幾何出發(fā)，發(fā)明了一套簡明方便使用至今的微積分符號體系。因此，如今學(xué)術(shù)界將微積分的發(fā)明權(quán)判定為他們兩人共同享有。

微積分在人類社會從農(nóng)業(yè)文明跨入工業(yè)文明的過程中起到了決定性的作用。城市的繁榮，交通工具的不斷進步，航空航天領(lǐng)域的飛速發(fā)展給人類社會帶來了日新月異地變化，而這一切都離不開微積分的誕生。