天才數學家陶哲軒親授25條職業建議（一）

天才數學家陶哲軒親授25條職業建議（二）

天才數學家陶哲軒親授25條職業建議（三）

陶哲軒是世界著名天才數學家，未滿13歲即獲得國際數學奧林匹克學術活動金牌，是數學領域最高獎“菲爾茲獎”獲得者，被稱為“數學莫扎特”。他在此文中總結了給數學愛好者和研究人員的25條建議或忠告，大師真知灼見，值得收藏。

作為一個天才數學家，陶哲軒教授幾乎每隔一段時間就會收到一堆咨詢，例如應該怎樣研究數學、怎樣寫數學論文、怎樣開始大學學習、怎樣增加自己被名校錄取的機會……他說：我沒有“秘方”或其他一個放之四海而皆準的處方，告訴年輕人如何獲得成功。但我可以給出一些忠告。

細讀這些忠告，你會發現它們真的很有用，遠遠不止在于學術研究領域。

下面是陶哲軒的25條Career advice。

1、數學不僅是分數、考試和方法

作為一個大學生，需要重視成績和考試，這些考試經常更強調記住技術和理論，而不是對實際概念的理解，或是智力以及直覺。然而，當你進入研究所學習之后，你會發現一種更高層次的學習（另外更重要的是——做）數學，它要求的能力超過緊緊會記憶和學習，或摹仿一個已有的論證或處理過的例子。這經常要求你拋棄（或至少修改）很多大學時期的學習習慣；比起簡單的關注于智力測試如考試，更多的需要主動地學習和實踐來提高你自己的理解。

同樣，在大學及以下的階段主要教授成熟和優美的數學理論，大部分是幾十年或幾百年以前做出的，而在研修生階段你將開始接觸前沿，正在發展的東西——它也許會與你在大學時習慣的東西顯著不同，同時更有趣。

2、數學不僅是嚴格和證明

對大學生，老師經常首先以非正規、直觀的方式教授數學（比如按照斜率和面積的方式描述導數和積分），然后才說到要恰當的處理這些東西，需要一種精確和正式得多的方式來處理和思考這個問題（比如使用epsilon delta來描述導數）。

知道如何嚴密的思考當然極其重要，因為這給了你避免很多常犯錯誤的規范，同時消除很多誤解。不幸的是，這無意中使得“模糊的”或“直覺的”思考（例如啟發性的推理，從例子中判斷性的推斷，或其他背景如物理的類比），因為“非嚴格”而遭到輕視。人們時常最終放棄開始的直覺，而只能從正式的層面上處理數學。

嚴格的要點并非消滅全部的直覺；而是應該被用來消滅有害的直覺，同時澄清和提高好的直覺。只有結合嚴格的形式化和好的直覺，人們才可以處理復雜的數學問題；人們需要前者來正確地處理細節，后者來正確處理大的圖像。缺乏其中一者，你將費盡時間踉蹌于黑暗之中（可能有教育意義，但是得不償失）。所以當你完全適應了嚴格的數學思維，你應該重新嘗試在這個問題上使用直覺，並且使用新的思維技能來測試和提煉這些直覺而不是拋棄他們。

理想的情況是每個啟發性的論證都能自然地暗示它對應的嚴格證明，反之亦然。

3、努力工作

只依賴于聰明在最后時刻完成事情也許會暫時有效，但總體說來在研修生以及更高層次上這不會有用。

為了在數學上達到一定水準，你不僅需要思考，還需要讀和寫大量的東西。與輿論相反，數學突破不僅（或主要）靠天才的“我發現了！”瞬間的推動，而實際上很大程度是辛勤工作的產物。當然這些工作由經驗和直覺指引。困難經常藏匿在細節之中，如果你覺得理解了一個數學領域，那你應該已經閱讀了所有相關的文獻，至少寫出了這個領域的狀況的概要，并且最終寫出這個主題的完整和詳細的處理方法。

如果你可以僅僅構思出主要的思路而讓次要的凡人來補充細節，那就太舒服了，但是，相信我，數學中決無此事。

經驗表明，只有細心集合了大量細節和其他論據（或至少證明思路）以支持你的“主要的思路” 的文章，才值得人們花時間關注。如果創造者都不愿意干這個，那么很可能沒人會愿意做。

4、享受工作

某方面上這是上一條的推論。如果你不喜歡你的工作，那就很難投入足夠的精力，從長期看持續投入精力是必要的。只因為時髦而從事一個領域遠不如從事你歡喜的數學領域。

5、不要依據熱門或聞名程度而作職業決定

進入一個領域或一個系，只因為它熱門并非好主意，關注領域中的最著名的問題（或數學家），只因為他們的名氣亦非良策——坦白說，就數學整體而言沒有那么著名或者熱門的東西，也不值得把追求這些當作你的首要目標。任何熱門都很可能競爭激烈，只有擁有最堅實基礎（特別的，大量領域中不那么熱門方面的經驗）的人才能夠有所成就。

未解的著名問題幾乎不可能“ab nihilo”解決。你需要先花很多時間在簡單的（同時不著名）模型問題上，獲取一些技術，直覺，中間結論，背景，和文獻，從而找到有效的方法剔除無效的方法，然后才可能有機會解決領域內真正的大問題。（有時候，有些著名問題較容易的解決了，那只是因為擁有適當工具的合適的人以前沒有注意到這個問題，但是対于研究很透徹的問題一般不會這樣——尤其是那些已經有很多“不行”理論和反例的問題，這些理論和反例完全排除了一些著手的策略。）

因為類似的原因，你絕不應該以得獎或受到賞識為從事數學的主要原因。從長期來看，更好的方式是去做好的數學和對你的領域有所貢獻，最終獎勵和賞識自然會來的（實至名歸）。

6、學習和再學習你的領域

數學研究中（包括你選擇的專業）學無止境。

例如我仍然在學習基礎調和分析中的驚人之處，而我寫出此領域的論文已經十年之久了。只因為你知道一條基本引理X及其證明，你不應低估這條引理的價值——你能找到替代證明嗎？你知道為何需要那些假設？已有了哪種推廣，或是作為猜想的推廣，抑或推廣的思路？對某些應用，X是否有較弱的或是簡單的形式？X在模型例子中起到何種作用？何時適合使用X？X能解決何種問題，而對哪些無能為力？在其他領域有哪些相似的引理？X是否可以歸入一個更廣泛的綱領？對你的領域作講演尤其有用，或者寫下講稿或其他的說明材料，即使只為你個人服務。

通過內心的速記，你最終能夠吸收即使是很難的結果，這不僅是你能夠輕松使用它們，而且可以省下精力來學習更多的東西。

7、不要害怕學習你的領域外的東西

人們普遍有數學恐懼癥。不幸的是，有時專業數學家也有數學恐懼癥。如果為了在你的問題中取得進展需要學習其他數學領域，這是件好事——你將拓寬掌握的數學領域，同時你的工作將変得更有吸引力，不論是對你領域內的人還是對其他領域的人。

如果一個數學領域很活躍，那就值得去了解它為何如此引人，人們都在做些什么問題，有些什么棒的或者令人驚訝的見解（insight）、現象、結果。那樣的話，如果你碰到了類似的問題、障礙或現象，你就知道從哪去找解決方法。

8、了解你的工具的局限性

數學教育（和研究論文）很自然地傾向于關注有效的技術。但是同等重要的是，知道你的工具何時失效，從而避免在從開始就注定失敗的方法上浪費時間，轉而尋找解決問題的新手段（或尋找新問題）。因而，知道一些反例，或容易分析的典型狀況，就非常重要，同樣重要的是知道你的工具能夠處理的障礙和沒希望解決的障礙。同樣，你也應知道在什么情況下其他方法可以替代你選擇的工具，而各種方法之間的優劣各是什么。

如果你把最喜歡的工具視為一種“魔杖”，一點就把問題神奇地給解了，可你卻沒有別的解法或其他方法來理解這個解答，這就表示你需要更好的理解這種工具（及其局限性）。