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數學獎章上的數學故事

Category: AMC美國數學競賽, 國際競賽 Date: 2018年4月16日下午12:43

其中許多是“單項獎”，獎勵在某些方面（往往是用來命名的數學家有所建樹的領域）成就卓著的數學家。如歐拉獎（Euler Prize）自1993 起在每年的國際組合數學年會上頒發給在組合數學領域有突出貢獻的數學家。也有不少“終身成就獎”，著名的有2001 年設立的阿貝爾獎。該獎由挪威王室一年一度頒給杰出數學家，獎金達80 萬美元，媲美諾貝爾獎獎金，是世界上獎金最高的數學獎。

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本文我們將從國際數學家大會四大獎項和國際數學教育大會兩大獎項，欣賞獎章，了解相關的數學家和數學知識。?

菲爾茲獎

菲爾茲（John Charles Fields,1863-1932 年）

菲爾茲獎由加拿大數學家約翰? 查爾斯? 菲爾茲（John Charles Fields,1863-1932 年）建議設立。菲爾茲早年游學美國、歐洲，與諸多大數學家共事。其后返回加拿大致力于提升數學的地位。如在他努力下，1924 年世界數學家大會在加舉行。他自上個世紀20 年代末開始籌備該獎，并遺囑捐贈$47,000給獎項基金。菲獎在1936 年首頒；后從1950 年起每隔4 年頒發一次，獎勵40 歲以下數學成就杰出者，且旨在鼓勵獲獎者進一步的研究。獲獎者一般為2 至4 人。該獎有“數學界中諾貝爾獎”之稱，其實它早期并無今日如此聲譽，這很大程度上源于歷屆獲獎者給它帶來的榮耀。菲爾茲獎包括一面金質獎章和一筆不算多的獎金（目前為15,000 加元）。獎章正面有古希臘數學家阿基米德的頭像（Archimedes, 前287- 前212 年）和希臘文“ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ”，意為“阿基米德的（頭像）”；頭像周邊刻拉丁文“TRANSIRE SUUM PECTUS MUNDOQUE POTIRI”，此來源于一世紀羅馬詩人馬尼利烏斯（Manilius）的著作《天文學》，意為“超越他的心靈，掌握世界”。此外獎章設計者（Robert Tait McKenzie）名字之縮寫RTM 及設計年份MCNXXXIII（即1933 年，第二個M 字母以N 代）也刻在獎章上。獲獎者的名字則會被刻于獎章邊輪。

菲獎章背面刻有意為“聚全球數學家，為杰出著作而頒”的拉丁文“CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA?TRIBUERE”。文字和樹枝的背景為球體嵌進圓柱體（“圓柱容球”）的示意圖，這象征著阿基米德的得意之作《論球與圓柱》中最著名的一個結果：球與其外切柱體的面積（體積）之比為2 : 3。阿基米德對此如此驕傲，以致他希望人們在他的墓碑上刻下球與圓柱體的關系圖。確實，阿基米德計算各種面積所用的“窮竭法”可以被視作后世微積分學所用“無窮小分析”的起源。

球與其外切柱體的面積（體積）之比為2 : 3 ：若設球半徑為r，則球面積為4πr2，體積4/3πr3 ；而其外切柱體面積為6πr2，體積為2πr3

傳說正沉思于幾何問題的阿基米德被魯莽無知的羅馬士兵殺死之后，羅馬將軍馬塞勒斯悲傷不已，不但給阿基米德立墓，備極哀榮，并按他生前的愿望在碑上刻球內切于圓柱的圖形。在公元前73 年，時任西西里島財務官的羅馬著名政治家、哲學家西塞羅（Marcus Tullius Cicero, 前106- 前43 年）去敘拉古（Syracuse）探訪阿基米德之墓。其時阿基米德去世才137 年，當地人卻已對阿基米德之墓一無所知，否認有這樣一個墓。通過一番搜索，西塞羅終在雜草叢中憑此球內切圓柱圖案辨認出阿基米德的墓，并派人去清理繁蕪，鋪砌道路。西塞羅在他的文章中寫道，找到阿基米德之墓后，他告訴敘拉古人，此刻他和敘拉古最杰出的人在一起，而這正是他一直在尋求的。后來一些畫家還將此刻情景凝固在油畫中。其中著名的有美國畫家本杰明?威斯特（Benjamin West, 1738-1820）1797 所作的油畫“西塞羅發現阿基米德之墓”（1804 年他另作一幅稍有差別的畫）。兩個名人穿時空的重逢確是值得紀念的。這種對文明的尊重彌足珍貴的另一個原因是對數學家的尊重在西塞羅那個時代是少見的。西塞羅曾寫道“幾何學在希臘人中享有極高聲譽，沒有什么比數學更加榮光的了；但我們（羅馬人）卻只滿足于那些用來計算和測量的數學知識”。

今日意大利西西里島阿基米德家鄉敘拉古的“阿基米德的墳墓”遺址

類似于阿基米德的“窮竭法”和圓柱容球的比例2 : 3，我國三國時代魏國數學家劉徽也應用類似的極限思想求出了圓面積、一些錐體（如陽馬與鱉臑）的體積。而且他還在評注我國算術名著《九章算術》時正確地猜測了球體積與其外切牟合方蓋體積之比等于圓與其外接正方形的面積之比（即π :4）。這里所謂的“牟合方蓋”是一個立方體從縱橫兩個方向做內切圓柱的共同部分，因其外型酷似上下相對（牟合）的方傘（蓋）。中國家庭日常生活中常用的食物罩就類似牟合方蓋的一半。

原來在《九章算術》的“少廣”章中記有“開立圓術”，認為直徑為D的球體積公式為

如果將π 取值為3，則該公式相當于認為球體積與其外切圓柱體積之比為3:4。劉徽指出這是錯誤的，但他自己沒能求出牟合方蓋的體積從而得出正確的球體積計算公式，而是將這個問題留給了后人，“以俟能言者”。

半球體積與圓柱體去掉錐體剩余部分體積相同（橫截面（圖中藍色部分）面積相同）

劉徽去世之后200 余年，南北朝時期的祖沖之、祖暅父子共同提出了祖暅原理：所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等（“緣冪勢既同，則積不容異”）。該原理在西方常被稱為卡瓦列里原理，因由意大利幾何學家卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598 年-1647 年）重新發現。這可以看作是微積分學發展歷程中自阿基米德的窮竭法之后的一大進步。祖氏父子正是利用此原理算出牟合方蓋的體積從而得出球體體積。

劉徽提出的球體體積與牟合方蓋的體積之比則是祖暅原理的直接推論：因為我們可將球體當作由橫截的圓累積而成；若將這些橫截圓改為外接該圓的正方形，則所得立體即是牟合方蓋。我們這里僅簡單介紹如何用祖暅原理來理解阿基米德提出的比例。在底面半徑和高均為r 的圓柱體中倒立一個以圓柱體上表面為底，下底面圓心為頂點的圓錐。易由勾股定理得知半徑為r 的半球“赤道”上方y處橫截面（半徑為 √（r2—y2）?的圓）的面積為π(r2?－ y2) ；而等高處圓柱體的橫截面的面積（恒為πr2）去掉錐體的橫截面積（πy2）為π(r2－ y2)。由祖暅原理，半球體積等于圓柱體中除去圓錐體所剩部分之體積。我們知道內嵌圓錐體體積是柱體體積的三分之一，因此半球體積是三分之二倍此圓柱體體積。

奈望林納獎

奈望林納獎由國際數學聯盟于1981 年設立，獎勵在信息科學的數學方面有突出貢獻的年輕數學家。它類似于菲爾茲獎，得獎者必須在獲獎那一年不大于40 歲。該獎包括一枚獎章和部分獎金，每四年在國際數學家大會頒發，且獲獎者的名字也會被刻在獎章邊輪。奈望林納獎于1982 年首頒，有“計算機科學中諾貝爾獎”之稱。奈望林納獎是以紀念在1980 年去世的芬蘭最著名的數學家之一羅爾夫? 奈望林納（Rolf Herman Nevanlinna, 1895-1980 年）。奈望林納在函數論方面貢獻卓著，且在20 世紀50 年代開啟了芬蘭的計算機項目。

1982 年，國際數學聯盟接受赫爾辛基大學對該獎的資助。獎章正面為奈望林納的頭像以及文字“ROLF NEVANLINNA PRIZE”（“奈望林納獎”）以及很小的字符“RH 83”（示意此獎章由設計者 Raimo Heino 于1983 年首次鑄造），反面的兩個圖案都和赫爾辛基大學有關。奈望林納是赫爾辛基大學的教授，并曾任校長。右下角是赫爾辛基大學的?；?，環繞?；沼泻諣栃粱髮W的名字“UNIVERSITAS HELSINGIENSIS”。左上角是文字“Helsinki”的編碼，這和該獎的表彰內容相得益彰。例如，2010 年獲得奈望林納獎的Daniel Spielman 的一個主要貢獻即是關于編碼理論的。

高斯獎

高斯獎由德國數學家聯合會和國際數學聯盟共同設立，以紀念“數學王子”高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），主要用于獎勵在數學之外的應用領域，如經濟、技術乃至日常生活中有深刻影響的數學家。高斯獎設立于2002 年，并于2006 年在馬德里召開的第25 屆國際數學家大會上首次頒發。高斯獎包含一筆獎金和一枚獎章；獎金目前為一萬歐元，資金來源于1998 年在柏林召開的ICM 的結余。高斯獎章正反圖案均以數學中的基本元素點、線、曲線來構圖。正面勾勒出高斯的頭像，并刻文“For Applications of Mathematics”（“為應用數學”）；反面為一曲線、一點和一方框組成的圖以表示高斯的偉大成就之一：以最小二乘法來確定行星的軌跡。這是應用數學的典范。

1801 年元旦，意大利天文學家皮亞齊（Giuseppe Piazzi）發現了后來被命名為谷神星的小行星。皮亞齊跟蹤觀測了40 天后由于谷神星運行至太陽背后而丟失?？茖W家們開始了利用皮亞齊的觀測數據來預測谷神星出現位置的學術活動。時年只有24 歲的高斯運用早在1794 年就創立的最小二乘法理論，準確地預測了谷神星的軌跡。同年底，天文學家Zack 在很接近高斯預測的位置上重新發現了谷神星。

高斯繪谷神星的軌跡圖

1809 年高斯在題為《圍繞太陽沿圓錐曲線軌道公轉的天體的運動理論》一文中，正式發表了最小二乘法理論。此前法國的勒讓德（Adrien-Marie?Legendre）也獨立發現了最小二乘法原理。不過高斯對最小二乘法的貢獻確實很大。他在1822 年證明了回歸分析中最小二乘法在一定意義上是最優的。他還利用最小二乘理論，得出了拉普拉斯等人苦思不得的誤差分布——現在常稱的高斯分布。德國曾經流通的10 馬克紙幣，以及一枚紀念高斯的紀念幣上，都有象征正態分布密度函數的“鐘形”曲線圖。獲得首屆高斯獎的日本著名數學家伊藤清（Kiyoshi Itō, 1915-2008）的工作即是高斯獎表彰對象的范例。伊藤清揭示了隨機王國的牛頓定律，開創了“隨機分析”學。獲得1997 年的諾貝爾經濟學獎的美國經濟學家Robert Merton 和Myron Scholes 提出進行期權定價的Black- Scholes 模型即基于伊藤清的工作。雖然早在1900 年，法國數學家Bachelier 就已經在他的博士論文中應用布朗運動來研究金融問題了，但伊藤清還是對他自己所研究的純粹概率理論能在金融數學里有著深刻的應用感到吃驚。

2006 年9 月，國際數學聯盟主席鮑爾爵士前往日本將首屆高斯獎頒給伊藤清

陳省身獎

陳省身獎是首個以華人名字命名的國際數學大獎，它由陳省身基金和國際數學聯盟共同設立，以紀念我們都很熟悉的數學家陳省身（Shiing-Shen Chern, 1911-2004），獎勵給那些在數學領域有杰出終身成就的個人。陳省身獎于2010 年在印度海德拉巴市（Hyderabad）舉行的第26 屆國際數學家大會上首頒。

天津南開大學陳省身樓旁的陳省身先生及其夫人鄭士寧女士的紀念碑（附：左下角為碑頂）（王龍攝）

陳獎含一筆獎金和一枚獎章。獎金為50 萬美元，一半獎勵給數學家本人，另一半獎金由獲獎人捐助給一些支持數學的研究、教育和其它活動的社會機構，以推動數學的發展。陳獎也獲得哈里斯? 西蒙斯基金的支持。西蒙斯（James Harris?Simons，1938 年出生）算是陳省身先生的學生，也是他數學上的“六個朋友”（參《陳省身傳》）之一，他們曾合作得到幾何理論對理論物理學具有重要意義的Chern-Simons 理論。西蒙斯在1970 年代放棄數學去經商，現為著名的投資家。他還大力支持科學事業，特別是數學事業。

陳省身獎章正面為時年73 歲的陳省身頭像，左為陳先生的中文簽名，右為英文簽名，右邊簽名下方刻“1911-2004”，表明他的出生和去世年份。獎章反面為陳省身1944 年證明的廣義高斯- 博內定理（又名陳- 高斯- 博內定理）

這個公式的最簡單情形就已經足夠有趣：曲面上測地三角形的總曲率（高斯曲率的曲面積分）等于它的三角之和與π 的差。因此正曲率曲面（如球面）上的三角形三角之和大于π，而負曲率曲面（如雙曲幾何曲面）上的三角形三角之和小于π。零曲率曲面（歐幾里得平面）上，三角之和正好為π。