文：浣熊老師

AMC美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)系列將連載12期，根據(jù)AMC10/12體系，來講解其涉及到的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并為公立學(xué)校和國(guó)際學(xué)校的學(xué)生提供中英文對(duì)照。本期為第 6期。

本期要點(diǎn)：

1.坐標(biāo)系和解析幾何來源

2.直線方程

3.拋物線

4.雙曲線

咱們先從坐標(biāo)系的發(fā)明人——笛卡爾講起。

有一天，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復(fù)思考一個(gè)問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。

他拼命琢磨。通過什么樣的辦法、才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來。后來他把兩個(gè)有關(guān)系的數(shù)字 x 和 y ，分別畫到平面上水平方向和豎直方向，這樣兩個(gè)數(shù)字就能對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)了。

至于 x， y 兩個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，最常見的是直線、拋物線和雙曲線了。下面我們來分別畫一下。

當(dāng)我們寫下 y=mx + c 這個(gè)式子。m 和 c 無論取任何數(shù)，x 與 y 的關(guān)系都是一次的關(guān)系。把這個(gè)關(guān)系畫在坐標(biāo)系中，就形成了直線。

這條直線的斜率 （slope）受 x 前面這個(gè)數(shù)——m，影響；

這條直線和 y 軸的交點(diǎn) （y-intercept） 受常數(shù)項(xiàng) c 影響。

一次函數(shù)較為簡(jiǎn)單，只有兩個(gè) m 和 c 兩個(gè)影響因素，現(xiàn)在我們來看看有三個(gè)影響因素的二次函數(shù)。

a 對(duì)于圖像的影響是：

a 是正數(shù)則開口向上，a 是負(fù)數(shù)則開口向下。

a 的絕對(duì)值大小會(huì)影響開口的大小

b 這個(gè)數(shù)字會(huì)影響拋物線的對(duì)稱軸 （axis of symmetry），但是準(zhǔn)確的說，是 a 與 b 共同影響對(duì)稱軸，對(duì)稱軸為： x 等于負(fù) 2a 分之 b。

最后，c 就比較簡(jiǎn)單了，它和直線中的 c 一樣，都是控制圖像與 y 軸的交點(diǎn)，即使圖像產(chǎn)生上下平移的效果。

一次的和二次的線了解了，咱們?cè)僦v一個(gè)負(fù)一次的——即反比例函數(shù)。

大家仔細(xì)觀察上圖就明白：反比例函數(shù)圖像為雙曲線，只有一個(gè)變量 k 影響圖像的形狀。k 是正數(shù)的話，圖像在一、三象限；k 是負(fù)數(shù)的話，圖像在二、四象限。

好，今天你學(xué)習(xí)了《AMC系列》的第六講，了解了平面直角坐標(biāo)系的來源，也會(huì)了三種圖像和參數(shù)之間的聯(lián)系。

恭喜你，又解鎖了AMC數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的一個(gè)新章節(jié)。下次我們將學(xué)習(xí)代數(shù)運(yùn)算。

AMC8/AMC10/AMC12/AIME

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