AMC系列 | 第二講：符合勾股定理的所有整數(shù)，都畫在坐標(biāo)系中是什么樣？

AMC美國數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)系列將連載12期，根據(jù)AMC10/12體系，來講解其涉及到的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并為公立學(xué)校和國際學(xué)校的學(xué)生提供中英文對(duì)照。本期要點(diǎn)1.勾股定理的歷史2.勾股定理的證明3.勾股定理的應(yīng)用4.純代數(shù)層面的勾股定理

先來做個(gè)小練習(xí)：已知一個(gè)直角三角形兩個(gè)斜邊長分別是2和3，問斜邊長為多少？ok，現(xiàn)在你腦子里一定在想平方、開方的事了。可你有沒有想過，為什么要平方和開方。三角形斜邊長的平方為什么就是兩個(gè)直角邊的平方和？誰先發(fā)現(xiàn)這個(gè)有趣性質(zhì)的？

這就得從勾股定理這個(gè)名字講起，古人把直角三角形較小的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦，描述三者關(guān)系的定理就叫勾股定理。早在春秋時(shí)期，它就被中國人發(fā)現(xiàn)，后記載于《九章算數(shù)》。

（上圖：勾三股四弦五）客觀的說，雖然中國人早于西方發(fā)現(xiàn)這一性質(zhì)，但最先將此性質(zhì)推廣到任意直角三角形并予以證明的是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯 (Pythagoras) ，因此這個(gè)定理也叫做畢達(dá)哥拉斯定理 (Pythagorean Theorem) ，我們常見到的黃金分割、整數(shù)、分?jǐn)?shù)這些概念也源于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派

這個(gè)定理怎么證明呢？中國古人的證法是用割補(bǔ)法，僅用正方形面積公式就能證明：

勾股定理新的證明方法不斷被人想出，有趣的是，有個(gè)叫加菲爾德的人在用他的方法證出本定理5年之后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱這個(gè)證法為“總統(tǒng)證法”。

利用梯形面積就是三個(gè)三角形面積之和，知道兩式相等，然后解出這個(gè)式子↓↓

以上兩個(gè)證法都是基于面積，如果用一些較為現(xiàn)代的數(shù)學(xué)工具，比如相似三角形 (similar triangles) 那么證明過程就會(huì)縮短不少：

事實(shí)上，勾股定理目前有500多種證法，是證明方法最多的數(shù)學(xué)定理之一。

知道了勾股定理的來源和證明，下面我們來看看它的應(yīng)用：

一個(gè)重要性質(zhì)（上圖性質(zhì)1）就是在直角三角形三邊上做三個(gè)相似的圖形，最大的圖形面積等于兩個(gè)小圖面積之和（如下圖右側(cè)三個(gè)例子），證明思路是：相似圖形面積比等于邊長比的平方，而邊長的平方之間的關(guān)系就是兩個(gè)小的加起來等于大的。

如果做的圖形是半圓，結(jié)合“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，可推出：以斜邊為直徑向內(nèi)做半圓，會(huì)經(jīng)過直角頂點(diǎn)（如下圖）。再用面積做差，推出一個(gè)新的性質(zhì)：兩個(gè)“月牙”面積之和等于三角形面積。

在前面的例子中，我們知道如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的三邊 (a,b,c) 就滿足 a 方加 b 方等于 c 方，并且在實(shí)際題目中，常常出現(xiàn) （3,4,5）/（6,8,10）/（5,12,13）這樣的 (a,b,c) ，這樣滿足勾股定理的整數(shù)，就叫“勾股數(shù)”（pythagorean triple) ,勾股數(shù)有兩個(gè)基本性質(zhì)一：如果一組數(shù)是勾股數(shù)，那么它們的倍數(shù)依然是勾股數(shù)。比如 (3,4,5) 是勾股數(shù)，那么 (6,8,10) / (9,12,15) / (12,16,20) 以及 (300,400,500) 一定都滿足勾股定理，這些勾股數(shù)就構(gòu)成了一類，即 (3k,4k,5k) 。

換個(gè)角度講，如果一組數(shù)中三個(gè)數(shù)可以約分，那么約分到互質(zhì) (relatively prime) 后的結(jié)果也是勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)是同類中最小的，這些已經(jīng)互質(zhì)的最小的勾股數(shù)叫做勾股方程的本原解。

（一部分本原解）二：所有的本原解可以被不重不漏地表示出。其實(shí)我們就是就是想知道 “a 方加 b 方等于 c 方”這個(gè)方程有哪些互質(zhì)的 (a,b,c) 解。利用數(shù)論知識(shí)可以求出，所有互質(zhì)的解是：

也就是說，有了這個(gè)表達(dá)式，任意選取兩個(gè)兩個(gè)符合條件的 m，n 就能立馬“生成”一組勾股數(shù)。更直觀來看，所有的勾股數(shù)，把兩直角邊的長度作為橫縱坐標(biāo)（下圖是實(shí)軸坐標(biāo)和虛軸坐標(biāo)），就能把所有的勾股數(shù)畫在圖上，每組勾股數(shù)的（a，b，c）分別對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、到原點(diǎn)的距離，這三個(gè)量都是整數(shù)。

好，今天你學(xué)習(xí)了《AMC系列》的第二講，了解了勾股定理的證明，也學(xué)會(huì)了它的用法和與代數(shù)的聯(lián)系。恭喜你，又解鎖了AMC數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的一個(gè)新章節(jié)。下次我們將學(xué)習(xí)學(xué)術(shù)活動(dòng)中的相似三角形。