拓撲數據分析研究

Category: STEM國際競賽 Date: 2020年3月15日上午1:35

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題，在后來的拓撲學的形成中占著重要的地位。今天小編推薦的學研項目就是【科研論文】拓撲數據分析研究。

什么是拓撲定義

拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。中國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。

拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。

舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。

拓撲的性質

拓撲的中心任務是研究拓撲性質中的不變性。

拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。

在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。

應指出，環面不具有這個性質。設想，把環面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。

我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個側面。

課題簡介

在過去的幾年里，商業、科學和技術的許多進步都依賴于深度學習和人工智能的驚人進步。這些成就更加彰顯了在各種實際情況下產生的大數據分析、提取和應用的重要性。拓撲數據分析(TDA)，顧名思義，就是把拓撲學與數據分析結合的一種分析方法，用于深入研究大數據中潛藏的有價值的關系。拓撲學研究的是一些特殊的幾何性質，這些性質在圖形連續改變形狀后還能繼續保持不變，稱為“拓撲性質”，而在復雜的高維數據內部也存在著類似的結構性質。相比于主成分分析、聚類分析這些常用的方法，TDA 不僅可以有效地捕捉高維數據空間的拓撲信息，而且擅長發現一些用傳統方法無法發現的小分類，具有更大的研究價值。在本課程中，教授將帶領大家學習基本的拓撲數據分析知識，并講述更多實際應用案例，在理論與實踐相結合的基礎上，幫助學生實現學以致用。

★ 學習拓撲的基本理論和技術

★ 拓撲理論在數據科學領域的實際應用

★ 通過問題的解決，提升自我科研分析能力，擴大知識理解范圍

★ 如何進科學調研以及如何撰寫科研報告和學術文章