常微分方程科學研究

Category: STEM國際競賽 Date: 2020年3月15日上午12:39

喜歡數學的同學可能會對常微分方程有所了解，常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。研究常微分方程對于認識自然有著巨大的力量。今天小編想要向大家介紹一下翰林國際教育的一個科研項目：【科研論文】常微分方程數值解法及其代碼實現與分析。

什么是常微分方程

學過中學數學的人對于方程是比較熟悉的；在初等數學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關系找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。

但是在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：物質在一定條件下的運動變化，要尋求它的運動、變化的規律；某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規律；火箭在發動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等，要以現有數據求得出形式上的函數解析式，而不是以已知函數來計算特定的未知數。

物質運動和它的變化規律在數學上是用函數關系來描述的，因此，這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個或者幾個未知函數。也就是說，凡是這類問題都不是簡單地去求一個或者幾個固定不變的數值，而是要求一個或者幾個未知的函數。

了解這類問題的基本思想和初等數學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數和未知函數之間的關系找出來，從列出的包含未知函數的一個或幾個方程中去求得未知函數的表達式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面，都和初等數學中的解方程有許多不同的地方。

在數學上，解這類方程，要用到微分和導數的知識。因此，凡是表示未知函數的導數以及自變量之間的關系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微積分同時先后產生的，蘇格蘭數學家耐普爾創立對數的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解。后來瑞士數學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。數學的其他分支的新發展，如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展產生了深刻的影響，當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。

牛頓研究天體力學和機械動力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發現的海王星的位置。這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數學分支。

課題介紹

常微分方程數值解法是計算數學領域的一個分支，是解常微分方程各類定解問題的數值方法。現有的解析方法只適用于求解一些特殊類型常微分方程的定解問題，很多有價值的常微分方程的解是無法直接用初等函數來表示的，而通過數值方法可以得出在求解區間內一系列離散點的真解的近似值，這些數值解及其算法在實際中有很大的實用價值。該課題會介紹一些常見的數值解法，以及他們各自適用的方程類型，并寫一些簡單的代碼實現它們，比較效果。