參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的若干益處

今年我們參加了Math League和AMC (American Math Competition)兩項(xiàng)比賽, 不少學(xué)生努力參與嘗試，總體成績(jī)較去年取得了一些進(jìn)步。為了讓更多同學(xué)和家長(zhǎng)了解這項(xiàng)活動(dòng)，我總結(jié)了一些參加數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的益處列舉如下，希望今后更多同學(xué)能夠參與進(jìn)來(lái)： 磨練技能 數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)是數(shù)學(xué)課程的延續(xù)。準(zhǔn)備數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的過(guò)程能夠從廣度和深度上拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。

在深度上，數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)也并非“深不可測(cè)”，也并非提前學(xué)習(xí)高年級(jí)的內(nèi)容。靈活運(yùn)用課內(nèi)所學(xué)就能夠應(yīng)付絕大部分的學(xué)術(shù)活動(dòng)練習(xí)。但相比于“一成不變”的課內(nèi)練習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的習(xí)題更耐人尋味，有時(shí)考察學(xué)生對(duì)課內(nèi)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，有時(shí)需要將不同數(shù)學(xué)分支的知識(shí)結(jié)合運(yùn)用，尋找它們的聯(lián)系。
例如：今年數(shù)學(xué)大聯(lián)盟初賽8、9年級(jí)的14題

In a regular 10-sided polygon, two pairs of different vertices (four different vertices altogether) are chosen at random, so that all points chosen are distinct from each other. What is the probability that the line segments determined by each pair of points do not interest?
在正十邊形中隨機(jī)抽取兩對(duì)（四個(gè)）不同的頂點(diǎn)。求這兩對(duì)頂點(diǎn)相應(yīng)連成的兩條線段不相交的概率。 從十邊形的十個(gè)頂點(diǎn)中任意抽取4個(gè)，總共 種可能。如果按照正常思路去分析顯然是不明智的。單獨(dú)考慮其中一種情況，對(duì)于抽取得四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)連接成的線段，只有以下紅、橙、藍(lán)三種可能。 ?
只有AC和BD相交，所以對(duì)于這四個(gè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)相交的概率是2/3。任意四個(gè)點(diǎn)被抽中的幾率是等可能的，所以最后答案就是2/3。同樣的問(wèn)題，選取合適的思路，即使小學(xué)生也能夠理解。

按照常規(guī)的思路，通常會(huì)先去分母把方程化簡(jiǎn)為整式，但對(duì)于這道題，化簡(jiǎn)的結(jié)果是 這個(gè)結(jié)果并不能使我們有很大的收獲。是否還有其他有用的信息我們能夠用到？關(guān)鍵在于a, b, c都是正整數(shù)以及它們的大小關(guān)系。

解決這兩個(gè)問(wèn)題所用的方法都早已在課內(nèi)的學(xué)習(xí)中熟稔。劍已在我們手中，就看我們?nèi)绾稳]舞。

發(fā)展認(rèn)知

數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的本質(zhì)是鍛煉學(xué)生解決問(wèn)題的能力(Problem Solving)。學(xué)生在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的訓(xùn)練中能夠逐漸培養(yǎng)和運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。生活中遇到的問(wèn)題各不相同，但思考問(wèn)題的方法卻可以遷移參照。

例如解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的“化歸”的思想：是否能夠?qū)⒛繕?biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等價(jià)的問(wèn)題再解決(Sufficient and Necessary)？或者將大問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題再逐個(gè)擊破。根據(jù)現(xiàn)有條件，我可以推導(dǎo)出什么可利用的信息（Synthesis）？或者從想要取得的結(jié)果倒推，我還需要做到什么（Analysis）？
對(duì)于很困難的問(wèn)題，是否有一些特例(Zoom in)，亦或者對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，我是否能夠找到它更一般的形式（Zoom out）。通常這類問(wèn)題有什么規(guī)律(Induction), 分幾種情況？（classification），我能否將不同對(duì)象的關(guān)系通過(guò)圖表表示出來(lái)(Visualization)？問(wèn)題的本質(zhì)是什么？在問(wèn)題中，哪些是變量(Variables)？哪些是不變的(Constant)？

匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（George Polya）在他的書(shū)How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method中對(duì)解決問(wèn)題的方法做了很好的總結(jié)。在教育學(xué)中有一個(gè)概念叫“元認(rèn)知”(Metacognition)， 即“反思自己如何思考”的意思。

它包括解決問(wèn)題前的準(zhǔn)備(Planning), 解決問(wèn)題時(shí)監(jiān)控自己的思路(Monitoring)，和解決問(wèn)題后的反思（Evaluating）。培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知的能力即是培養(yǎng)他們自主學(xué)習(xí)的能力。對(duì)他們今后的成長(zhǎng)和應(yīng)對(duì)新的問(wèn)題和環(huán)境非常關(guān)鍵。而數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)中對(duì)于解題的訓(xùn)練能夠使學(xué)生的元認(rèn)知能力得到充分發(fā)展。

鍛煉心態(tài)

學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)難題時(shí)往往會(huì)經(jīng)歷復(fù)雜的心理變化。從遇到一個(gè)有趣的問(wèn)題時(shí)的好奇心，到挑戰(zhàn)難題時(shí)的躍躍欲試。而在求解復(fù)雜的陌生問(wèn)題時(shí)又會(huì)忐忑不安：這么難的問(wèn)題我是否能夠解出來(lái)？

解題中嘗試的過(guò)程也是在不斷調(diào)整自己心態(tài)的過(guò)程。在問(wèn)題被攻克后隨著而來(lái)的是強(qiáng)烈而持久的喜悅。在這個(gè)過(guò)程中，面對(duì)困境敢于迎難而上(Grit)，并能夠不懈努力（Perseverance）的品質(zhì)尤其重要。數(shù)學(xué)圈流傳著一個(gè)笑話：

There are two ways to do great mathematics. The first is to be smarter than everybody else. The second way is to be stupider than everybody else – but persistent.
做數(shù)學(xué)有兩個(gè)途徑：第一個(gè)是比所有人都聰明；第二個(gè)是比所有人都笨但堅(jiān)持到底。——Raoul Bott

在數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)中培養(yǎng)的堅(jiān)韌不拔的精神會(huì)成為孩子一生的財(cái)富。

助推升學(xué)

AMC8是美國(guó)初中數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)，是針對(duì)八年級(jí)一下的數(shù)學(xué)科測(cè)試。它由美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)(Mathematical Association of America, 簡(jiǎn)稱MAA)舉辦。每年全球有3000多所名校參與，僅在北美地區(qū)，正式登記應(yīng)試的學(xué)生就超過(guò)600, 000人次。

此項(xiàng)測(cè)驗(yàn)已經(jīng)成美國(guó)中學(xué)校長(zhǎng)推介為每年的主要活動(dòng)之一，是世界上目前信度和效度最高的數(shù)學(xué)科測(cè)試。同系列的的比賽還有AMC10 & 12， 其中表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生會(huì)受邀參加美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(AIME, American Invitational Mathematics Examination), 為美國(guó)數(shù)學(xué)奧賽國(guó)家隊(duì)選拔人選參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)(IMO, International Mathematical Olympiad).

美國(guó)“數(shù)學(xué)大聯(lián)盟杯賽”(Math League)是美國(guó)及北美地區(qū)影響力最大的中小學(xué)數(shù)學(xué)賽事之一。比賽每年舉辦一次，分為初賽、復(fù)賽和決賽三個(gè)階段。初賽以激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神為主。

復(fù)賽的目的是為了啟發(fā)學(xué)生解決生活中的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、批判性思維、和實(shí)際解決問(wèn)題的能力。夏令營(yíng)和決賽的試題由美國(guó)“數(shù)學(xué)大聯(lián)盟杯賽”和普林斯頓大學(xué)、哥倫比亞大學(xué)、斯坦福大學(xué)、紐約州立大學(xué)聯(lián)合命題，具有很高的挑戰(zhàn)性，是數(shù)學(xué)超常少年展現(xiàn)才華的絕佳平臺(tái)。

享受快樂(lè) 除了以上提到的諸多益處，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是參加數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)最大的收獲。 國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)2002年在北京召開(kāi)，期間著名的數(shù)學(xué)家陳省身題詞：“數(shù)學(xué)好玩”。

數(shù)學(xué)好玩在什么地方？8年級(jí)的黃德愷同學(xué)有自己獨(dú)到的想法： “從因?yàn)閷W(xué)好數(shù)學(xué)會(huì)得到來(lái)自老師以及家長(zhǎng)的夸獎(jiǎng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理由一直在變化。直到幾年前，沒(méi)有別的很復(fù)雜的理由，單純的是數(shù)學(xué)好玩。

很多人覺(jué)得數(shù)學(xué)很難，很復(fù)雜，很枯燥。但其實(shí)我覺(jué)得數(shù)學(xué)的趣味性是非常高的。在我眼中，數(shù)學(xué)仿佛是一只萬(wàn)能膠，各種毫不相干的東西都能結(jié)合起來(lái)。雖然這跟數(shù)學(xué)本來(lái)就是因?yàn)樾枰褂枚l(fā)展出來(lái)有關(guān)系，但依舊不影響數(shù)學(xué)的趣味。

當(dāng)你發(fā)現(xiàn)一些貌似毫不相干的知識(shí)點(diǎn)背后的原理其實(shí)是一樣的時(shí)候，那種突破自己腦洞的感覺(jué)真的不知如何去形容。比如說(shuō)楊輝三角，排列組合以及兩數(shù)之和的n次方的每一項(xiàng)的系數(shù)。這貌似毫不相干的知識(shí)點(diǎn)其實(shí)是背后有很多的原理是相同的。”

不同的學(xué)習(xí)階段對(duì)“數(shù)學(xué)好玩”的體會(huì)不一樣。“世之奇?zhèn)ァ⒐骞帧⒎浅Ｖ^，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)”，數(shù)學(xué)好玩在于它的“難”（The challenges of doing math are often its rewards）,在于攻克難關(guān)的喜悅，在于發(fā)現(xiàn)不同問(wèn)題背后本質(zhì)上的聯(lián)系的驚喜，在于獲得一個(gè)新的有效的視角的收獲，在于應(yīng)用數(shù)學(xué)理解生活中實(shí)際問(wèn)題的自豪，也在于欣賞深刻的數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的贊嘆。

當(dāng)代最杰出的數(shù)學(xué)家陶哲軒(Terence Tao)從小就通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)展現(xiàn)了驚異的能力。他8歲半就升入了中學(xué)，10歲、11歲、12歲參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)，分別獲得銅牌、銀牌、金牌。他在Solving Mathematical Problems-A Personal Perspective的前言中說(shuō)道：

“當(dāng)我是小學(xué)生時(shí)，形式運(yùn)算的抽象美及其令人驚嘆的、通過(guò)簡(jiǎn)單法則的重復(fù)而得出非凡結(jié)果的能力吸引了我；當(dāng)我是高中生時(shí)，通過(guò)學(xué)術(shù)活動(dòng)，我把數(shù)學(xué)當(dāng)做一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，并享受解答設(shè)計(jì)巧妙的數(shù)學(xué)趣味題和解開(kāi)每一個(gè)奧秘的“竅門(mén)”時(shí)的快樂(lè)；當(dāng)我是大學(xué)生時(shí)，初次接觸到構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)核心的豐富、深刻、迷人的理論和體系，使我頓起敬畏之心；當(dāng)我是研究生時(shí)，我為擁有自己的研究課題而感到驕傲，并從對(duì)以前未解決的問(wèn)題提供原創(chuàng)性證明的過(guò)程中得到無(wú)以倫比的滿足。直到自己開(kāi)始作為一名研究型數(shù)學(xué)家的職業(yè)生涯后，我才開(kāi)始理解隱藏在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和問(wèn)題背后的直覺(jué)力與原動(dòng)力。”

數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)能讓學(xué)生更好地欣賞到數(shù)學(xué)美，但也可能因?yàn)閷?duì)成績(jī)的過(guò)度追求導(dǎo)致壓力過(guò)大，最終使學(xué)生喪失對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。純粹的非功利的追求更能夠堅(jiān)持下去。哪怕知識(shí)少學(xué)一些，以后還有系統(tǒng)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的道路上興趣最重要。只要能夠把對(duì)數(shù)學(xué)的興趣保持下去，就會(huì)有不斷探索的欲望。每攻克一道難題，就好像爬上一座山頂，與其糾結(jié)于誰(shuí)爬的山高，不如縱情欣賞山頂一覽無(wú)余的美景。

除了以上羅列的幾點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)還有很多其他益處。數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)能為有好奇心、愛(ài)思考、勇于探索、有恒心的孩子們提供一個(gè)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的平臺(tái)，在這個(gè)平臺(tái)里他們相互一起學(xué)習(xí)，相互促進(jìn)，往往能夠迸發(fā)出1+1>2的學(xué)習(xí)效應(yīng)。