Home » 國際競賽 » Details

從AwesomeMath看中美數學競賽教學體系

Category: 國際競賽, 數學國際競賽 Date: 2019年8月27日上午10:17

美國人是怎么學數學學術活動的

本文將以數學論文的形式呈現。

Abstract

今年暑假里，我在美國西雅圖普吉特灣大學參加了為期3周的AwesomeMaths數學培訓活動。這是一個為美國數學學術活動服務的高強度（intense）訓練營，有多種課程供不同程度的學生選擇。在營地的學習與活動中，我結交了許多來自世界各地的朋友，也對各個國家的情況稍作了一些了解，尤其是美國的數學學術活動培訓機制。令我意想不到的是，美國數學培訓的方方面面與中國大相徑庭，無論是從內容還是形式上來看，都有許多不同之處。在這篇論文中，我們將通過幾個定理系統地刻畫這兩者教育體系的不同點。

Theorem 1. 美國較高級別的學術活動課程往往會涉及一些高等知識。

Proof.?我們進行分類討論：

Case 1. 數論。

數論是一門非常神奇的學科。在中國，幾乎所有的數論課程最多也就涵蓋下面這些知識點：

素數與合數，最小公倍數與最大公約數，整除，進制，不定方程，高斯函數，同余，著名的數論定理，升冪定理，階與原根，二次剩余，多項式

也許有些課程中會提到狄利克雷（Dirchlet）定理等，不過老師們對這些定理的介紹千篇一律：順便提一句，有這么個定理，考試不能用。

某IMO金牌大神上課時也表示：我們對素數一無所知，像Dirchlet定理這樣的東西我們就不講了。

可是在AwesomeMaths Level 3 數論講義中的知識和定理，遠遠超出了上述的考綱。它與中國講義中對這些定理避之不及的態度恰恰相反，第一講就從研究素數開始，依次介紹了以下的幾個引理：

1. 不大于n的所有素數乘積有怎樣的上界？

2. 不大于n的所有素數倒數和有怎樣的下界？

3. 不大于n的素數個數有怎樣的上界？

4. 不大于n的素數個數有怎樣的下界？

并借助它們證明了Bertand's Postulate：對每個不小于4的正整數n，在(n, 2n-2]上存在素數。這些問題都需要借助一些較為困難的量級判斷與估算，顯然不在學術活動考題的研究范圍之內，但是據老師所說介紹這些知識是為了 “convince you that number theory is wonderful”。

這本講義的后面幾個部分引入了更為高深的知識：Group theory, euclidean rings, finite fields, Jacobi sum, Jacobi conjecture, Dirchlet theorem，不過同時也與它們在初等數學中的運用進行了有趣的結合。

Fun fact.?（1）每天下午的Level 3課程分為數論和幾何，數論教室非常冷清，只有6個人；而幾何教室則有二十余個學生。我也屬于那二十余個學生中的一員，只是偶爾也會和數論課的學生討論他們的問題。（2）數論課的同學音樂天賦超群，某位同學以Zsigmondy's theorem為主題創作了幾首“膾炙人口”的童謠。（3）數論課的老師是一位泰國的數學家。他說如果班上的6位學生加起來能做出習題集中50%的問題，第一周就沒有考試。這幾位同學每天晚上放棄娛樂時間，快馬加鞭地趕作業，最后在群眾（例如我）的幫助下完成了任務。到了第二周，老師故技重施，要求他們做出習題集中70%的問題；同學們果斷地放棄了……

Case 2. 組合幾何。

AwesomeMaths幾何課程的最后幾天講的是組合幾何知識，老師主要介紹并（艱難地）證明了一個不太熟知的定理：

Szemeredi-Trotter Theorem.?設P為一個點集，L為一個直線集，定義(P, L)的巧合數是滿足以下條件的二元組(A, l)的數量：A在P中，l在L中，A在直線l上。那么，(P, L)的巧合數?=O(|P|^(2/3)|L|^(2/3)+|P|+|L|)。

為了給出它的證明，老師又講解了許多其它定理，包括歐拉公式，有關平面圖的不等式，以及crossing number inequality。（到后面全班昏昏欲睡……）

當然，如果你不去關心這個定理的證明，考慮如何運用它解決問題也是很有意思的。例如以下幾個問題都可以被化為Szemeredi-Trotter Theorem：

設P是一個點集，T(P)是滿足以下條件的二元組(A, B)構成的集合：A, B都在P中，且|AB|=1。證明|T(P)|=O( |P|^(3/2))。

設P是一個點集，證明它們構成的直角三角形個數=O(|P|^(7/3))。（這個問題還需要反演！）

Fun fact. （1）我們的幾何老師Cosmin是羅馬尼亞人，曾經是羅馬尼亞IMO隊的一員。他當年沒有做出IMO的幾何題，但現在幾何能力卻非常強，甚至有一個以自己命名的三角形特殊點——X3333。（2）Cosmin給我們做的習題有很多都是他自己出的；然而他忘了應該怎么做……（3）Cosmin經典語錄：Stalking is the highest form of flattery. That's what I tell all the girls!（4）Cosmin的授課方式讓我聯想起了一位曾經的中國國家隊隊員：艾穎華老師。他上次在新星營介紹了Burnside引理、龐加萊猜想等令人望而生畏的高深知識，并談了談高等背景視角下的CMO命題。同學們紛紛感到崩潰……

Case 3. 代數。

雖然在中國函數方程并不熱門，但柯西方程總還是比較“家喻戶曉”的。可是，最近閱讀Titu Andreescu 等人所寫的一本函數方程書卻讓我發現：我對柯西方程完全一無所知！

原來，這些作者感興趣的并不是柯西方程在特定條件下的解。他們研究的問題是：如何用某種一一映射來表示出柯西方程的非平凡解？不同的值域與不同的定義域導致了許多種復雜的情形。第一章主要介紹這些內容，充斥著各種高等的記號：他們提到了選擇公理，Hamel Basis等。

然后在第二章，他們又開始介紹柯西方程的推廣：琴生方程，線性柯西方程，Pexider方程，Vincze方程，冪平均方程。

還有更多你從來沒見過的名字：D'Alembert方程，Aczel-Golab-Schinzel方程……

Fun fact.?（1）給我們上代數課的是印度IMO國家隊教練，他的課上得還不錯，唯一的問題就是……他的英語有著濃重的印度口音，讓我有時實在難以理解。例如，我想要告訴他有一道題他的解法錯了，能夠5分鐘講清楚的事情，我們兩個人有時要討論20分鐘，一句話要講幾遍才能講明白……（2）代數課上的大部分同學都是華裔，有一位俄羅斯的學生也會說一點中文，在大家的激勵下老師也學了一點中文。然而最后這位印度教練只學會了三句中文：“你好！”，“你很好！” 和 “你不好！”

結合以上的所有情況，我們已經證明了：美國較高級別的學術活動課程往往會涉及一些高等知識。□Remark.?于是我們會自然想到一個問題：這些高等知識實用嗎？例如，在中國的學術活動課程中“組合幾何”很少會作為一個獨立的分支，更不會介紹一些看似生僻刁鉆的定理。因為說實話，這類定理對數學學術活動中的解題并不會起到多少實質性的幫助。當然，從非功利性的角度來看，學習新知識總是多多益善，因此我們得到推論：

Corollary 1.?美國頂尖學生的數學水平在一些情況下不及中國的同齡學生，但有些學生在數學上眼界更寬闊。

我在美國的時候，聽到某些和我一樣大的同學能關于選擇公理、群論這些我從未接觸過的知識侃侃而談——這是令我非常驚訝的。但另一方面，他們的基本功就沒那么扎實，對學術活動中常出現的一些簡單模型了解不多。

Theorem 2. 美國數學學術活動培訓系統較為分散，除了暑寒假以外線下課程很少。

Proof. 為了證明這個命題，我們利用三個引理：Lemma 1. 美國最流行的課程都是線上課程。Proof of Lemma. AoPS是全世界最有名、最有影響力的數學論壇，而美國的整個數學培訓系統幾乎都基于AoPS。在某種程度上AoPS就是美國的XES；但作為一個網站，AoPS顯然很少組織線下課程。另一個日益壯大的機構——AwesomeMaths——在學年里的所有課程也都是網課。□

Fun fact.?這次去美國，我結識了一位很好的朋友。我們6年級時就在AoPS上相識，互相分享題目，而這次竟然在AwesomeMath的同一個班里相遇了，簡直不可思議；這也說明了AoPS在美國的影響力非常強大。AoPS是一個真正將全世界連接起來的平臺。Facebook與Instagram這些社交媒體在中國都無法直接使用，微信在美國也并不流行。而AoPS卻第一次讓我找到了與美國朋友長久地、便捷地保持聯系的方式。

Lemma 2. 美國學校（尤其是初中）很少組織數學學術活動課程。Proof of Lemma.?美國同學們向我抱怨過這個情況，在中國我們經常以學校為單位開展數學學術活動課程，但美國往往不得不以州為單位。美國絕對沒有以數學聞名的初中；我本來以為幾所著名的高校（例如Andover與Philips Exeter）應該是有學術活動課程的，而同學們也表示他們并不清楚。□

Lemma 3. 美國部分數學學術活動書非常流行。Proof of Lemma. 談到美國的數學學術活動學習，就不得不講幾本非常著名的參考書籍。在中國，我們有《數學奧林匹克小叢書》、《數學學術活動研究教程》、《命題人講座》等多套書籍，但他們大多是被作為習題集使用的。而在美國卻有一本書不可不讀——EGMO（Euclidean Geometry in Mathematical Olympiad）。這是Evan Chen寫的一本幾何書，包含了基本的倒角倒邊，幾何定理，計算方法（解析、復數、Barycentric），以及射影幾何基礎。學學術活動的人基本全部都完完整整地讀過這本書，仔細地看過它的例題分析與知識點講解。當我提到自己從未聽說過Barycentric coordinate是什么計算方法時，美國同學顯得極其震驚。與中國學術活動教程不同的是，它并不是一本用來刷的書，而是一本用來學、用來看的書。很多人評價說，看完這本書的效果和上完幾期幾何課沒有什么區別。在線下課程資源較少的美國，書反而是最好的老師。

由Lemma 1、Lemma 2與Lemma 3，原命題是顯然的。□//Sidenote: 我告訴美國同學自己沒讀過EGMO后，他熱心地注冊了微信賬號并將EGMO的pdf文件發給了我。第二天，他的賬號就因某種神秘的原因（detected suspicious activity）被封了……

Theorem 3. 美國數學學術活動授課以定理為主，而不是以例題為主。

Proof. 正如這篇文章一般，美國的大多數課程注重于對定理的介紹、證明，習題是幫助你熟練掌握定理的輔助工具；而中國的許多課程注重的是對例題的分析、講解，定理是幫助你迅速解決習題的輔助工具。美國的講義形式一般是：【定理1】【推論1.1】【推論1.2】

【推論1.3】

【例題1.4】

【定理2】

【推論2.1】

【例題2.2】

【定理3】

【定理4】

【推論4.1】

【習題】

而中國的講義形式一般是：

【例題1】

【例題2】

【例題3】

【例題4】

【例題5】

【例題6】

【習題】

這也決定了兩個國家數學學術活動系統的知識結構框架不同。在中國的幾何課我們學習的大多是一些寬泛、普適的技巧，至少在不那么高級的幾何課中涉及的定理與模型較少。而在AwesomeMath的Geo3課程中，光是四邊形基礎就涵括了如下的定理：No Name Theorem 1. 四邊形ABCD對角線互相垂直的三個等價條件。Pitot's Theorem. 四邊形ABCD有內切圓的等價條件。No Name Theorem 2. 四邊形ABCD有外接圓的等價條件。（有關對角線交點到四邊的距離）

Brethshneider's Formula. 四邊形ABCD邊與對角線之間的數量關系。

Casey's Theorem. 四個與同一個圓內切，且互相外切的圓之間公切線的數量關系。

Sawayama's Theorem & Thebault's Theorem. 沢山引理。

Erdos-Mordell Inequality. 三角形內部一點到三邊距離的不等關系。

相比之下例題的數量就很少，每個定理至多有2~3道簡單的例題幫助理解；這些例題在大多數情況下也是比較有名的推論與運用。

老師會先花不到2個小時介紹這些定理，剩余的1個小時是所謂的“Problem Session”。每節課設置了10~15道習題，后1個小時就由同學們自己完成這些習題。這些習題的難度同樣是由淺入深，也有相應的提示，這樣就能讓同學們掌握定理的運用方式。當然，到了后面有些題目難度系數很高，老師也會偶爾幫助解決一些“疑難雜癥”；還有一些老師也忘了怎么解決的題目……

上面好像扯得有點遠；無論如何，我們的定理得到了證明。□

Remark. 這樣的教學方式當然有好處也有壞處。好處是學生有更多的思考時間，課堂的時間可以更有效地用來講有價值的定理。但壞處也不少：有些學生無法靜下來獨立思考，Problem session有時紀律較差，非常混亂。有時我只能通過GoT中小指頭的名言來安慰自己：Chaos is a ladder...

另外，老師只會講解一兩道最難的題目，而有時習題中大部分題目難度都不小。習題數量又多，難度又高，這就導致了老師講不完，學生做不完，整個課程結束了之后還留下一些懸而未決的題目。

Conclusion

綜上，我們從三方面刻畫了美國與中國的數學學術活動教育體系的不同：美國較高級別的學術活動課程往往會涉及一些高等知識；美國數學學術活動培訓系統較為分散，除了暑寒假以外線下課程很少；美國數學學術活動授課以定理為主，而不是以例題為主。美國與中國都是世界上頂尖的數學學術活動強國，而兩者的教育系統卻天差地別。這證明了培養出優秀的數學學術活動選手有許多不同的方法，并非只有唯一解。無論如何，在AwesomeMaths的三周很充實，也很快樂。借用mfang92在AoPS上所寫的：

I'll miss getting distracted in alg 3.5 due to sriraamster's strange noises
I'll miss "accidentally" throwing cards out the windowI'll miss being way too loud in the third floor lounge
I'll miss throwing frisbees around while laughing at sriraamster's misfortunesI'll miss starting my sentences with either "imagine" or "DUUUDE imagine"I'll miss people that think that australia is real