世界著名的數(shù)學(xué)猜想介紹

四色定理

19世紀末，德國有位天才的數(shù)學(xué)教授叫閔可夫斯基，他曾是愛因斯坦的老師。愛因斯坦因為經(jīng)常不去聽課，便被他罵作“懶蟲”。萬萬沒想到，就是這個“懶蟲”后來創(chuàng)立了著名的狹義相對論和廣義相對論。閔可夫斯基受到很大震動，他把相對論中的時間和空間統(tǒng)一成“四維時空”，這是近代物理發(fā)展史上的關(guān)鍵一步。

閔可夫斯基

在閔可夫斯基的一生中，把愛因斯坦罵作“懶蟲”恐怕還算不上是最尷尬的事…… 一天，閔可夫斯基剛走進教室，一名學(xué)生就遞給他一張紙條，上面寫著：“如果把地圖上有共同邊界的國家涂成不同顏色，那么只需要四種顏色就足夠了，您能解釋其中的道理嗎？”

閔可夫斯基微微一笑，對學(xué)生們說：“這個問題叫四色問題，是一個著名的數(shù)學(xué)難題。其實，它之所以一直沒有得到解決，僅僅是由于沒有第一流的數(shù)學(xué)家來解決它。” 為證明紙條上寫的不是一道大餐，只是小菜一碟，閔可夫斯基決定當堂掌勺，問題就會變成定理……
下課鈴響了，可“菜”還是生的。一連好幾天，他都掛了黑板。后來有一天，閔可夫斯基走進教室時，忽然雷聲大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在責備我狂妄自大呢，我解決不了這個問題。”

發(fā)展

當時，由大數(shù)學(xué)家黎曼、康托爾、龐加萊等創(chuàng)立的拓撲學(xué)之發(fā)展可謂一日千里，后來竟蓋過大數(shù)學(xué)家高斯寵愛的數(shù)論，成為雍容華貴的數(shù)學(xué)女王。四色問題就是屬于拓撲學(xué)范疇的一個大問題。拓撲學(xué)不僅引進了全新的研究對象，也引進了全新的研究方式。對數(shù)學(xué)來說，它不啻是一場革命。回顧拓撲學(xué)的歷史，就可以說明為什么四色問題對于20世紀數(shù)學(xué)來說是重要的。通俗地說，連續(xù)變換就是你可以捏、拉一個東西，但不能將其扯破，也不能把原先不在一起的兩個點粘在一起。比如，對于26個（大寫）英文字母，一些拓撲學(xué)家就認為可將其分成6類：

第一類：D，O；

第二類：H、I

第三類：C，L，M，N，S，U，V，W，Z。

第四類：K、X

第五類：A、R

第六類：E、F、G、J、T

第一類在連續(xù)變換下都可以變成O，第二類都可變成H,第三類則都可變成一條直線，第四類是一個叉，第五類是A，第六類是T。還有一些字母單獨歸一組：Y、Q、B、P

因為4是平面的色數(shù)（它也是一種示性數(shù)，可見示性數(shù)有很多種），體現(xiàn)了平面的拓撲性質(zhì)，與國家的形狀無關(guān)，將平面彎成曲面也沒關(guān)系。數(shù)學(xué)家必須確定這個數(shù)究竟是5還是4，這很重要。如果國家分布在一個環(huán)面上，畫地圖最多得要七種顏色。

吊起數(shù)學(xué)家胃口的還有一個原因。乍一看，環(huán)面似乎更復(fù)雜，事實上，環(huán)面的七色定理卻比較容易證明，希伍德當時就做到了；到1968年，其他所有復(fù)雜曲面的色數(shù)均已確定，唯有平面（或球面）的四色問題依然故我。看來，平面沒有人們想象的那么簡單。

1913年，伯克霍夫引進了一些新的技巧，導(dǎo)致1939年弗蘭克林證明22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，溫恩將22國提高為35。1968年，奧爾又達到了39國。1975年有報道，52國以下的地圖用四色足夠。可見，其進展極其緩慢。

圓夢

不過，情況也不是過分悲觀。數(shù)學(xué)家希奇早在1936年就認為，討論的情況是有限的，不過非常之大，大到可能有10000種。對于巨大而有限的數(shù)，最好由誰去對付？今天的人都明白，計算機！

從1950年起，希奇就與其學(xué)生丟萊研究怎樣用計算機去驗證各種類型的圖形。這時計算機才剛剛發(fā)明。兩人的思想可謂十分超前。

1972年起，黑肯與阿佩爾開始對希奇的方法作重要改進。到1976年，他們認為問題已經(jīng)壓縮到可以用計算機證明的地步了。于是從1月份起，他們就在伊利諾伊大學(xué)的IBM360機上分1482種情況檢查，歷時1200個小時，作了100億個判斷，最終證明了四色定理。在當?shù)氐男欧馍仙w“Four colorssutfice”（四色足夠了）的郵戳，就是他們想到的一種傳播這一驚人消息的別致的方法。

費馬大定理

費馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術(shù)》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”

（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）

費馬

冰雹猜想

冰雹猜想來歷

1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條數(shù)學(xué)新聞。文中記敘了這樣一個故事：

70年代中期，美國各所名牌大學(xué)校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學(xué)游戲。這個游戲十分簡單：任意寫出一個自然數(shù)N（N≠0），并且按照以下的規(guī)律進行變換：

如果是個奇數(shù)，則下一步變成3N+1。
如果是個偶數(shù)，則下一步變成N/2。

不單單是學(xué)生，甚至連教師、研究員、教授與學(xué)究都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經(jīng)久不衰？因為人們發(fā)現(xiàn)，無論N是怎樣一個非零自然數(shù)，最終都無法逃脫回到谷底1。準確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環(huán)，永遠也逃不出這樣的宿命。

這就是著名的“冰雹猜想”。

強悍的27

冰雹的最大魅力在于不可預(yù)知性。英國劍橋大學(xué)教授John Conway找到了一個自然數(shù)27。雖然27是一個貌不驚人的自然數(shù)，但是如果按照上述方法進行運算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經(jīng)過77步驟的變換到達頂峰值9232，然后又經(jīng)過32步驟到達谷底值1。全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9232，達到了原有數(shù)字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2的N次方）來比較，則具有同樣雹程的數(shù)字N要達到2的111次方。其對比何其驚人！

但是在1到100的范圍內(nèi)，像27這樣的劇烈波動是沒有的（54等27的2的次方倍數(shù)的數(shù)除外）。經(jīng)過游戲的驗證規(guī)律，人們發(fā)現(xiàn)僅僅在兼具4k和3m+1（k,m為自然數(shù)）處的數(shù)字才能產(chǎn)生冰雹猜想中“樹”的分叉。所以在冰雹樹中，16處是第一處分叉，然后是64……以后每隔一節(jié)，產(chǎn)生出一支新的支流。

自從Conway發(fā)現(xiàn)了神奇的27之后，有專家指出，27這個數(shù)字必定只能由54變來，54又必然從108變來，所以，27之上，肯定可以出現(xiàn)不亞于2n的強大支流——33*2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1數(shù)列和本流2到4-2-1數(shù)列要遙遠的多。按照機械唯物論的觀點，從27開始逆流而上的數(shù)列群才能叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點，一般依然把1-2-4-8……2n的這一支看作是“干流”。

等差數(shù)列驗證法，此方法是根據(jù)冰雹猜想的驗證規(guī)則而建立的一種驗證方法，是以無限的等差數(shù)列來對付無限的自然數(shù)。首項偶數(shù)，公差是偶數(shù)，那么數(shù)列上的所有自然數(shù)都是偶數(shù)，全體數(shù)列除于2，如果首項是奇數(shù)公差是偶數(shù)，那么數(shù)列上全體自然數(shù)都是奇數(shù)，全體乘上3再加1。如果公差是奇數(shù)，首項也是奇數(shù)，那么第奇數(shù)項必定都是奇數(shù)則乘上3再加1，第偶數(shù)項必定都是偶數(shù),則除于2。如果公差是奇數(shù)，首項是偶數(shù)，那么第奇數(shù)項必定都是偶數(shù)，則除于2，第偶數(shù)項必定都是奇數(shù)，則乘上3再加1。按照這樣的計算規(guī)則計算下去，會遇到許多新的問題，考驗驗證者的智商。比如偶數(shù)的通項公式是2n，因為都是偶數(shù)所以除于2，得到n，這就是自然數(shù)。

按照忽略偶數(shù)不記錄的驗證方法進行驗證，第一個被驗證的奇數(shù)有可能是能被3整除的奇數(shù)，也有可能是不能被3整除的奇數(shù)。但是所到達所歸結(jié)的第二個奇數(shù)，以及第三個奇數(shù)（假設(shè)存在），整個過程所到達所遇到所歸結(jié)所訪問到的每一個奇數(shù)，必定都不能再被3整除了。如果都從從能被3整除的奇數(shù)開始驗證，路徑上所遇到所歸結(jié)的所到達所訪問到的每一個奇數(shù)都必定不能再被3整除了，最終都能歸結(jié)于1，那么必定遍歷所有的奇數(shù)（遍歷是離散數(shù)學(xué)的概念）。如果都從不能被3整除的奇數(shù)開始驗證，那么路徑上所遇到所到達所歸結(jié)的所訪問到的每一個奇數(shù)必定都不可能再被3整除了，最終都歸結(jié)于1（等于說是漏下能被3整除的奇數(shù)沒有被驗證）。

所以在順向的冰雹猜想驗證過程中，可以把能被3整除的奇數(shù)都命名為最起始點的奇數(shù)，1是終止點的奇數(shù)，而在逆向的冰雹猜想驗證過程中則是相反的，1是最起始點的奇數(shù)，而能被3整除的奇數(shù)則是終止點的奇數(shù)。事實上在驗證的過程中，不能被3整除的奇數(shù)，都在存在數(shù)量無窮多的上一步的奇數(shù)，占1/3的比例是能被3整除的奇數(shù)，占2/3的比例是不能被3整除的奇數(shù)，這一現(xiàn)象都跟自然數(shù)的情況出奇地巧合了。

又稱為角谷猜想，因為是一個名叫角谷的日本人把它傳到中國。

克拉茨問題

角谷猜想又叫敘古拉猜想。它的一個推廣是克拉茨問題，下面簡要說說這個問題：

50年代開始,在國際數(shù)學(xué)界廣泛流行著這樣一個奇怪有趣的數(shù)學(xué)問題：任意給定一個自然數(shù)x，如果是偶數(shù)，則變換成x/2；如果是奇數(shù)，則變換成3x+1。此后，再對得數(shù)繼續(xù)進行上述變換。例如x=52，可以陸續(xù)得出26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。如果再做下去就得到循環(huán)：(4，2，1)。再試其他的自然數(shù)也會得出相同的結(jié)果。這個叫做敘古拉猜想。

上述變換,實際上是進行下列函數(shù)的迭代

{ x/2 (x是偶數(shù))

C(x)=3x+1 (x是奇數(shù)) }

問題是，從任意一個自然數(shù)開始,經(jīng)過有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1)，或者等價地說，最終得到1?據(jù)說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國際數(shù)學(xué)家大會上談起過，因而許多人稱之為克拉茨問題。但是后來也有許多人獨立地發(fā)現(xiàn)過同一個問題，所以，從此以后也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻稱之為3x+1問題。

懸賞征解

克拉茨問題吸引人之處在于C迭代過程中一旦出現(xiàn)2的冪，問題就解決了，而2的冪有無窮多個，人們認為只要迭代過程持續(xù)足夠長，必定會碰到一個2的冪使問題以肯定形式得到解決。正是這種信念使得問題每到一處，便在那里掀起一股“3x+1問題”狂熱，不論是大學(xué)還是研究機構(gòu)都不同程度地卷入這一問題。許多數(shù)學(xué)家開始懸賞征解，有的500美元，有的1000英鎊。

數(shù)學(xué)難題

日本東京大學(xué)的米田信夫已經(jīng)對240大約是11000億以下的自然數(shù)做了檢驗.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經(jīng)對5.6*1013的自然數(shù)進行了驗證,均未發(fā)現(xiàn)反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學(xué)生都能看懂的問題,卻難到了20世紀許多大數(shù)學(xué)家.著名學(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標題.經(jīng)過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家厄特希(P.Erdos)的說法：“數(shù)學(xué)還沒有成熟到足以解決這樣的問題！”有人提議將3x+1問題作為下一個費爾馬問題。

初步研究

下面是我對克拉茨問題的初步研究結(jié)果,只是發(fā)現(xiàn)了一點點規(guī)律,距離解決還很遙遠。

克拉茨命題：設(shè) n∈N，并且f(n)= n/2 (如果n是偶數(shù)) 或者 3n+1 (如果n是奇數(shù))

現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...))。

則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1。(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)