中美并列數(shù)學(xué)奧賽冠軍能說明什么

中美在這一次數(shù)學(xué)奧林匹克比賽中總分并列第一，分享了冠軍?？此浦忻涝趭W數(shù)比賽上的水平現(xiàn)在是旗鼓相當(dāng)，但如果回顧一下奧數(shù)歷史，會發(fā)現(xiàn)幾個(gè)有趣的現(xiàn)象：中國隊(duì)比美國隊(duì)晚了十多年才開始參與奧數(shù)比賽，但已經(jīng)獲得了20次冠軍，美國雖然一直是傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)，但只獲得了8次；然而，美國的8次冠軍中，有4次是在過去5年中取得的，而中國在今年之前已經(jīng)連續(xù)4年與冠軍無緣。而如果更延伸開來，我們還會發(fā)現(xiàn)也有英法這種數(shù)學(xué)研究實(shí)力很強(qiáng)但奧數(shù)比賽成績非常一般的隊(duì)伍，所以也就有人會有疑問，奧數(shù)成績和一個(gè)國家的數(shù)學(xué)實(shí)力究竟有多少關(guān)系？正如我們之前所說的，袁老師在本屆奧數(shù)比賽之前，就與美國奧數(shù)隊(duì)總教練羅博深進(jìn)行過一次暢談，

部分評論

諾坎普白總：對于國家奧數(shù)的排名爭論從宇宙的視角看來，地球上國家之間的競爭都是雞蟲之爭，不值一題，人類有沒有掌握黎曼猜想孿生質(zhì)數(shù)猜想這樣的思想之光才是真正有意義的，決定了人類在宇宙之中的地位。袁老師這句話說的太牛了，知識學(xué)術(shù)活動(dòng)就該是這樣的初心。

布魯諾：樓層評論太精彩，忍不住收藏本視頻。大家各抒己見，獲益匪淺。我小時(shí)候生活在鄉(xiāng)下，教育是什么，尚且認(rèn)知模糊，素質(zhì)教育就更無從談起了。衷心希望年輕的小朋友們珍惜學(xué)習(xí)機(jī)會，不管什么樣的條件，都努力拼搏。

MuXIDusk：大多數(shù)人總是喜歡著眼于人類之間的斗爭，而科學(xué)家卻在想整個(gè)人類群體的進(jìn)步。

2019年7月20日，第60屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）的成績公布了。出現(xiàn)了最富有戲劇性的結(jié)果：中國隊(duì)和美國隊(duì)并列第一！

上一次出現(xiàn)并列第一，還是在整整20年前的1999年，當(dāng)時(shí)是中國隊(duì)和俄羅斯隊(duì)并列第一。再往前，并列第一就只有一次了，是1986年的美國隊(duì)和蘇聯(lián)隊(duì)。

這次的冠軍對許多中國人堪稱一場及時(shí)雨，因?yàn)橹袊?duì)上一次得到第一還是在2014年（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=CHN），已經(jīng)連續(xù)四年沒拿到第一了。

在2015年至2018年，中國隊(duì)拿了兩次第二、兩次第三。其實(shí)也都是很好的成績，但總是差這么一點(diǎn)，難免有些遺憾。當(dāng)你再注意到，中國隊(duì)在以前創(chuàng)造過四連冠甚至五連冠的驚人佳績，你就更會感到連續(xù)四年沒得第一是個(gè)顯著的下降了。再加上教育部對所謂“素質(zhì)教育”的推崇、對奧數(shù)培訓(xùn)的打壓，近年來，奧數(shù)成了中國輿論場上的一個(gè)熱門話題。因此，這次重返冠軍，令大家格外欣慰。

中國隊(duì)在國際數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)的排名歷史（橫軸是學(xué)術(shù)活動(dòng)的屆數(shù)。第一屆在1959年，此后除1980年外，每年都舉辦一屆，2019年是第60屆。黃色：參賽國的數(shù)量；黑色：反轉(zhuǎn)的排名，位置越高表示排名越高）

再來看美國隊(duì)，它也是IMO的一支傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)，不過拿第一的次數(shù)比中國隊(duì)少得多（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USA）。美國隊(duì)從1974年參賽以來，包括這次在內(nèi)總共得過8次冠軍。而中國隊(duì)參賽比美國隊(duì)晚了11年，從1985年才開始參賽，卻得到了20次冠軍！因此可以說，中國隊(duì)在開始參賽之后，就成了IMO的頭號主角。

在中國隊(duì)參賽之前，成績最好的是蘇聯(lián)隊(duì)（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USS），他們從1959年開始參賽到1991年國家解體，一共拿了13次第一，其中從1963年到1967年更是創(chuàng)造了五連冠的偉業(yè)。甚至在1991年，蘇聯(lián)解體的那一年，他們還拿到了最后一次冠軍，令人唏噓不已。

在蘇聯(lián)解體后，俄羅斯隊(duì)也稱得上一支強(qiáng)隊(duì)（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=RUS），不過只拿到了兩次冠軍，跟中美相比就有顯著的差距了。

有一點(diǎn)值得注意的是，美國隊(duì)雖然總共只拿過8次冠軍，但其中4次就是在最近的5年中拿的。具體而言，從2015年到2019年的5年中，美國隊(duì)驚人地拿了4次第一，只有2017年是第四。由于這個(gè)第四卡在中間，使得美國隊(duì)的連續(xù)奪冠紀(jì)錄只有兩次，連三連冠都還沒到。不過無論如何，這五年的美國隊(duì)就像開掛一樣，創(chuàng)造了歷史最佳成績，這是非常了不起的。

更加有趣的是，在這五年的開掛期間，美國隊(duì)的總教練都是同一個(gè)人，就是我的朋友、卡內(nèi)基梅隆大學(xué)數(shù)學(xué)系的羅博深教授。你猜，我們是因?yàn)槭裁凑J(rèn)識的？當(dāng)然是因?yàn)榕目萍荚斯?jié)目了！

羅博深

我和羅博深的對話是在5月30日做的，視頻預(yù)計(jì)將在7月31日上線，敬請期待。下面，我們先來看看這屆學(xué)術(shù)活動(dòng)以及IMO整體的一些基本情況。

一個(gè)基本的問題是，國家的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)成績和數(shù)學(xué)研究水平之間是什么樣的關(guān)系呢？

整體而言，兩者之間顯然存在正相關(guān)。例如中國、美國、俄羅斯、德國、韓國、匈牙利在IMO中都拿過冠軍，稱得上學(xué)術(shù)活動(dòng)強(qiáng)國，而這些國家的數(shù)學(xué)研究水平也都不錯(cuò)。

不過，這個(gè)相關(guān)程度并不是很強(qiáng)。例如法國和英國都是歷史悠久的數(shù)學(xué)強(qiáng)國，出過許多偉大的數(shù)學(xué)家，但在學(xué)術(shù)活動(dòng)中卻一次冠軍都沒拿過，這次的排名分別是25和20。

再仔細(xì)看的話，中國在數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)中成績超群，但在數(shù)學(xué)研究中就離頂尖很遠(yuǎn)了。我的一些數(shù)學(xué)家朋友告訴我，在數(shù)學(xué)研究中，現(xiàn)在是美國最強(qiáng)，法國、俄羅斯、德國、英國緊隨其后，再往下才是中國、巴西、日本、意大利等等。

你也許會感到很詫異：巴西？其實(shí)巴西的數(shù)學(xué)真的不可小覷，他們的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)每年有1800萬學(xué)生參加，號稱世界最大，而且2014年有一位巴西數(shù)學(xué)家阿圖爾·阿維拉（Artur Avila）獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。中國本土還從來沒有數(shù)學(xué)家得到菲爾茲獎(jiǎng)呢！

阿圖爾·阿維拉

在大家熟悉的國際頂尖華人數(shù)學(xué)家中，陳省身沒有得菲爾茲獎(jiǎng)，得了沃爾夫獎(jiǎng)，國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會專門設(shè)立了“陳省身獎(jiǎng)”作為國際數(shù)學(xué)界最高級的終身成就獎(jiǎng)。

陳省身

丘成桐是第一個(gè)獲得菲爾茲獎(jiǎng)的華人，不過他是以美國籍得的。

丘成桐

陶哲軒是第二個(gè)獲得菲爾茲獎(jiǎng)的華人，不過他是出生在澳大利亞的華裔。

陶哲軒

張益唐的成果配得上菲爾茲獎(jiǎng)，不過他的年齡超過40歲了，不能得這個(gè)獎(jiǎng)。

張益唐

所以大家要努力哦，你還有機(jī)會成為第一個(gè)中國本土獲得菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家！

以上的這些討論，可以讓我們認(rèn)識到，數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)是重要的，但遠(yuǎn)不是最重要的。它可以作為一個(gè)引子，引導(dǎo)大家關(guān)心數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)，就像莊子說的“得魚忘筌”。明白了這些，就可以以平常心看待學(xué)術(shù)活動(dòng)了。

下面我們來具體看看這屆學(xué)術(shù)活動(dòng)的情況。

首先來看一下考題，在IMO的網(wǎng)站可以下載到各種語言的版本（http://www.imo-official.org/problems.aspx）。考試分為兩天，每天3道題，做4個(gè)半小時(shí)，總共6道題。每道題7分，滿分42分。

在這屆的考題中，有些似乎連看懂題意都不容易，例如第2題和第6題這兩道幾何題。也有些看起來似乎很容易理解，例如代數(shù)的第1題和數(shù)論的第4題。

但無論哪道，找到思路都是很不容易的。即使是表面最親民的第1題，也很可能在寫寫畫畫一大堆之后無法前進(jìn)。我就是這樣，推了不少，但在看網(wǎng)友寫的答案之前，還是找不到辦法確定函數(shù)的形式。差可告慰的是，在看了答案之后，仔細(xì)琢磨一下就理解了。

2019年國際數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)第1題網(wǎng)友解答

有興趣的觀眾，可以仔細(xì)去推演。在這里我解釋一句：關(guān)鍵在于看出，這個(gè)函數(shù)在任意的n、n + 1和n + 2這相鄰三點(diǎn)的取值構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，所以這個(gè)等差數(shù)列的公差即f(n + 1) - f(n)是一個(gè)常數(shù)，因此這個(gè)函數(shù)只能是線性函數(shù)。一旦想通這一點(diǎn)，后面的推導(dǎo)就都是順理成章的了。

你看，這道題在本質(zhì)上不難嘛。對于高手來說，應(yīng)該算是送分題。事實(shí)上，IMO網(wǎng)站給出了每道題的得分分布圖（http://www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=2019）。

在參賽的621位選手中，有超過一半的382人在第1題上得到了滿分7分。由此可見，IMO也和平時(shí)見到的考試一樣，上來先會出一些送分題，穩(wěn)定一下考生的心情。不過即使對于這樣一道送分題，也有73人得了0分。這讓我們說什么好呢？如果你太菜了，那么老師再怎么努力地想把分?jǐn)?shù)送給你，也送不成啊！

其他題目的得分分布，跟第1題就大相徑庭。最有趣的是第3題和第6題，它們分別是第一天和第二天的壓軸題目。第3題有520人吃了鴨蛋，第6題更是有558人一分沒得！

第3題和第6題得到滿分的人，分別只有28人和27人。顯然，奪冠的關(guān)鍵就在這最難的兩道題。

羅博深跟我說的非常有趣的一點(diǎn)，就是個(gè)人奪金與國家奪冠之間的關(guān)系。如果你只想拿塊金牌的話，那么你做五道題就夠了。咦，什么叫“只”想拿塊金牌？

因?yàn)閵W賽的金牌并不是根據(jù)絕對成績來發(fā)的，而是根據(jù)相對成績，只要你排名在前50位左右，就可以拿到金牌。例如這次學(xué)術(shù)活動(dòng)總共有52人獲得金牌，門檻是在滿分42分中得到31分。你看，是不是做五道題就夠了？

以前美國隊(duì)多年不能奪冠，一個(gè)原因就是隊(duì)員們覺得自己反正也贏不了，做對五道就夠了，第六道直接放棄。2015年美國隊(duì)奪冠，就是因?yàn)槟菍藐?duì)員特別想贏，在做完五道題后還去竭盡全力做最難的。他們贏了以后，后面的幾屆看到自己真的能贏，斗志也被點(diǎn)燃了，從此也竭盡全力做所有的題。

由此可見，今年的中美并列第一，是雙方的能力、技巧、斗志旗鼓相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果。讓我們?yōu)閮蓢年?duì)員喝彩！

下面我們來看一下這屆學(xué)術(shù)活動(dòng)的結(jié)果。

在國家層面（http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2019），中國和美國以227分并列第一。然后是韓國，以一分之差位列第三。

第四是朝鮮，187分。我們祝賀朝鮮追平自己的歷史最好成績（它在2015年也得了第四），不過它的得分跟前三位就有明顯的差距了。第五到第十位分別是泰國、俄羅斯、越南、新加坡、塞爾維亞和波蘭。

在個(gè)人層面（http://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2019&column=total&order=desc），這屆學(xué)術(shù)活動(dòng)一共有6人拿到42分的滿分，其中兩人來自中國，兩人來自美國，另外兩人分別來自韓國和波蘭。

中國隊(duì)的6名選手都拿到了金牌，美國隊(duì)和韓國隊(duì)也是。這里一個(gè)有趣的問題是，美國隊(duì)的6人中有5人是華裔，他們的總教練和副教練也是華裔。因此，有不少人開玩笑說美國隊(duì)是中國二隊(duì)，也有不少人在抱怨所謂人才外流的問題。

我想說的是，這些都不重要，不要讓負(fù)能量沾染自己。正能量的思維是，美國隊(duì)以及其他很多參賽隊(duì)伍中有大量的華人，這說明華人是完全可以搞好數(shù)學(xué)的。我們應(yīng)該更加努力，早日把中國建設(shè)成頂尖的數(shù)學(xué)強(qiáng)國。

還有一些有趣之處，出現(xiàn)在榜單的末尾。在參賽的112個(gè)國家和地區(qū)中，有3個(gè)國家的總分是0！這3個(gè)并列倒數(shù)第一的國家是：安哥拉、肯尼亞和阿聯(lián)酋。

在這三國當(dāng)中，尤其特別的是阿聯(lián)酋，因?yàn)樗沙隽艘粋€(gè)完全由女生組成的隊(duì)伍（2019IMO開幕式視頻及最新照片來啦！竟然有個(gè)國家隊(duì)全員女生?。?，在賽前吸引了很多關(guān)注。我看到這則消息時(shí)感到很奇怪：這個(gè)國家的男生到哪里去了？難道他們的數(shù)學(xué)都這么差嗎？沒想到結(jié)果是，這6位女生一分未得。

不過如大家所知，有些宗教國家平時(shí)嚴(yán)禁女人拋頭露面，甚至還有宗教警察四處巡視。因此這次讓女生出來參賽，總是一件值得鼓勵(lì)的事。讓我們希望，數(shù)學(xué)之光和自由之光普照世界。

如果前面講的學(xué)術(shù)活動(dòng)題讓你“不明覺厲”，那么下面，我們就來介紹一個(gè)簡單而精妙的數(shù)學(xué)定理，而且它還很有實(shí)用價(jià)值。為什么在這里提到這個(gè)定理呢？因?yàn)檫@個(gè)定理是我第一次見到羅博深的時(shí)候，他正在講的，講給上海市延安初級中學(xué)的師生們。

這個(gè)定理叫做皮克定理（Pick’s theorem），它說的是：在一個(gè)平面上標(biāo)出那些橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)，把這些點(diǎn)叫做格點(diǎn)。以任意多個(gè)格點(diǎn)作為頂點(diǎn)，做一個(gè)多邊形，那么這個(gè)多邊形的

面積 = 內(nèi)點(diǎn)數(shù) + 邊界點(diǎn)數(shù)/2 - 1。

也就是說，數(shù)出有多少個(gè)格點(diǎn)完全包含在多邊形中，每個(gè)這樣的格點(diǎn)貢獻(xiàn)1的面積。再數(shù)出有多少個(gè)格點(diǎn)在多邊形的邊界上，每個(gè)這樣的格點(diǎn)貢獻(xiàn)1/2的面積。把兩部分貢獻(xiàn)加起來，再減去1，就得到了多邊形的面積。

舉個(gè)例子，在下面這個(gè)四邊形中，內(nèi)點(diǎn)有7個(gè)，邊界點(diǎn)有8個(gè)，因此它的面積等于7+ 8/2 - 1 = 10。是不是很方便啊？

皮克定理

我跟羅博深交流的時(shí)候，說我們在物理和化學(xué)中研究晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，就經(jīng)常用類似的方法。如何確定一個(gè)晶胞中包含多少個(gè)原子呢？例如下圖所示的，體心立方和面心立方的晶胞。

體心立方和面心立方晶胞

簡便的算法是，一個(gè)原子如果位于一個(gè)晶胞之內(nèi)，那么就把它完全歸于這個(gè)晶胞。一個(gè)原子如果位于一個(gè)面上，即被兩個(gè)晶胞分享，那么就給每個(gè)晶胞1/2個(gè)原子。一個(gè)原子如果位于一條棱上，即被四個(gè)晶胞分享，那么就給每個(gè)晶胞1/4個(gè)原子。一個(gè)原子如果位于一個(gè)角上，即被八個(gè)晶胞分享，那么就給每個(gè)晶胞1/8個(gè)原子。基本的思想就是“均分”。

根據(jù)這種算法，你很快就會發(fā)現(xiàn)，雖然看起來眼花繚亂，但體心立方只包含2個(gè)原子，面心立方只包含4個(gè)原子。這就是跟皮克定理的一個(gè)有趣的類比。

因此，你能從直覺看出皮克定理是正確的嗎？你能從直覺看出這個(gè)定理可以用數(shù)學(xué)歸納法證明嗎？