如何理解數(shù)學(xué)（上）

整個(gè)宇宙就存在于一杯葡萄酒中，這是詩人的話語。物理學(xué)家費(fèi)曼就此評論道：如果我們微不足道的有限智力為了某種方便將這杯葡萄酒——這個(gè)宇宙——分為幾個(gè)部分：物理學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)、天文學(xué)、心理學(xué)等等，那么要記住，大自然并不知道這一切。數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科經(jīng)歷了數(shù)千年發(fā)展，在近一百多年來更是開拓出眾多分支，分離出多種應(yīng)用學(xué)科。而一般人所學(xué)的則是約400年前的解析幾何、300多年前的微積分、200多年前的線性代數(shù)，更新一些的可能包括180年前的群論、120年前的拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)理邏輯。再后來的數(shù)學(xué)多被認(rèn)為過于深?yuàn)W抽象，難以得其門而入。

然而，這篇文章指出，這種印象不過是不當(dāng)教育導(dǎo)致的偏見，數(shù)學(xué)學(xué)科雖多，但其理則一，數(shù)學(xué)中的每個(gè)臺(tái)階都是始于一個(gè)原始的理念，既不深?yuàn)W也不復(fù)雜，都是研究來自自然界的問題。

作者?| 其故

來源?|?返樸（ID：fanpu2019）

1對于數(shù)學(xué)的普遍偏見

當(dāng)今的教育使得一般人都學(xué)過一些數(shù)學(xué)，而且學(xué)習(xí)的時(shí)間相當(dāng)長（參看 [4] ），這使得很多人認(rèn)為自己懂得數(shù)學(xué)，甚至妄談數(shù)學(xué)。但一般人所學(xué)的最新的也才是二百多年前的數(shù)學(xué)，往往對于近二百年來的數(shù)學(xué)一無所知，所以難免對于數(shù)學(xué)有誤解甚至偏見（參看例如 [5] ）。

妄談數(shù)學(xué)的人并非完全不懂?dāng)?shù)學(xué)，如果完全不懂倒不至于妄談了。問題在于近一百多年來數(shù)學(xué)有了巨大和根本的發(fā)展，一方面有了更深刻的理念，另一方面其應(yīng)用領(lǐng)域極大地?cái)U(kuò)展了。如果對此完全不了解，那么對于數(shù)學(xué)的看法難免過于狹隘，簡直可以說是管窺蠡測了。教科書中“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”（參看 [1]?）這個(gè)教條，也是導(dǎo)致很多人對于數(shù)學(xué)有偏見的一個(gè)原因。這個(gè)說法始于恩格斯，后來列入前聯(lián)的教科書中，繼而進(jìn)入我國的教科書。恩格斯是唯物主義者，他反對將數(shù)學(xué)看作純粹意識(shí)的觀點(diǎn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)所研究的是客觀世界，而受時(shí)代的局限他還不了解群論（即使高斯也難以接受），所以從哲學(xué)上這對于恩格斯是最好的理解了。但現(xiàn)代人應(yīng)該知道，數(shù)學(xué)的領(lǐng)域非常寬闊，沒有邊界，是不能由研究對象來界定的。即使俄國人也早已摒棄了這個(gè)教條。

多年前在數(shù)學(xué)界的一個(gè)會(huì)議上有專家呼吁，在數(shù)學(xué)界的報(bào)告（如發(fā)展規(guī)劃）?中不要再寫“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”這樣的話，因?yàn)樗粌H過時(shí)、錯(cuò)誤，而且對于數(shù)學(xué)的發(fā)展不利。這個(gè)建議得到與會(huì)者的一致贊同。但在數(shù)學(xué)界不能主導(dǎo)的領(lǐng)域，這個(gè)教條仍在起著誤導(dǎo)作用，使得很多人對于數(shù)學(xué)的了解局限于一個(gè)很狹窄的范圍，更不會(huì)主動(dòng)地將數(shù)學(xué)應(yīng)用于以往不曾屬于數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。

如?[5] 中所看到的，很多網(wǎng)民認(rèn)為“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是初等數(shù)學(xué)+高等數(shù)學(xué)+算法+奧數(shù)”，“數(shù)學(xué)對很多人來說是枯燥的、深?yuàn)W的、抽象的”，甚至是乏味的、無用的、無聊的。這是教育壟斷造成的嚴(yán)重后果。

陳省身先生說過：“數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的訓(xùn)練普遍的有用。”但對于數(shù)學(xué)有嚴(yán)重偏見的人是不可能理解這兩句話的。

這些偏見來自多方面的原因，其中一個(gè)重要原因是教育方面的失誤。而糾正偏見對于數(shù)學(xué)教育是一個(gè)不能回避的任務(wù)。

2對于數(shù)學(xué)的偏見的背景

如上所說，很多人對于數(shù)學(xué)的嚴(yán)重偏見，是由不當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教育造成的。

數(shù)學(xué)教育有其特有的規(guī)律（參看 [4] ），不僅學(xué)習(xí)時(shí)間長，應(yīng)用廣泛，而且需要激勵(lì)興趣，培養(yǎng)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，因材施教，以及提升科學(xué)理念。

數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域有一個(gè)共識(shí)，就是一個(gè)現(xiàn)代人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的歷程大體上沿著數(shù)學(xué)發(fā)展史的歷程，類似于一個(gè)胎兒成長的過程大體上沿著生物進(jìn)化的歷程。胎兒的發(fā)育過程大體要經(jīng)過從單細(xì)胞生物到人類的進(jìn)化過程，要經(jīng)過類似原生動(dòng)物、腔腸動(dòng)物、脊索動(dòng)物、靈長類等各個(gè)階段，最后才長成人類的樣子。而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，要先走過有數(shù)萬年歷史的識(shí)數(shù)過程，再學(xué)習(xí)古典（有數(shù)千年歷史的）?代數(shù)和幾何，再學(xué)習(xí)更近代的內(nèi)容，直到費(fèi)爾馬和笛卡兒建立的解析幾何，爾后可以學(xué)習(xí)微積分及更近代的數(shù)學(xué)。識(shí)數(shù)的時(shí)間相當(dāng)長，可能在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占大半，這和數(shù)學(xué)史上人類識(shí)數(shù)的時(shí)間長是一致的。

因此，判斷一般人（尤其是中學(xué)生）?的數(shù)學(xué)水平的基本標(biāo)準(zhǔn)是歷史的，即看他懂的是哪個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)。

如今的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)浩如煙海，很多人容易有一個(gè)錯(cuò)覺，就是數(shù)學(xué)的發(fā)展就是數(shù)學(xué)研究成果的積累。那么，成果越積越多，遲早會(huì)使得任何人都不能全面把握，甚至只能懂得其中很狹窄的一部分。其實(shí)不然，成果的積累是華羅庚先生所說的“由薄到厚”的過程，但他還說過有一個(gè)“由厚到薄”的過程，這恐怕不是很多人都明白的。

對于數(shù)學(xué)，很多人崇拜技巧高的人，甚至看不起技巧不高的人。很多人以為數(shù)學(xué)是聰明人的游戲。

其實(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展方向，是老的數(shù)學(xué)越來越成熟，越成熟就越簡單，越容易，越接近普通人。這個(gè)過程，主要是通過理念的提升來實(shí)現(xiàn)的。

舉例說，中學(xué)平面幾何中有很多習(xí)題是很難的，即使很好的學(xué)生也未必都能做出來。這樣的習(xí)題對于鍛煉學(xué)生探索和解決問題的能力是有好處的，但很多習(xí)題難在對解題方法的苛刻限制，即只能使用平面幾何教程中講授過的方法。如果學(xué)了解析幾何，對其中很多習(xí)題就可以建立坐標(biāo)系通過計(jì)算來解決，不需要什么技巧，難度也大為降低，普通學(xué)生都能做出。即使對于很好的學(xué)生，像上面那樣做平面幾何難題也應(yīng)適可而止，有精力和興趣可早些進(jìn)入解析幾何，那么以前學(xué)的很多方法和技巧即使忘掉也沒有關(guān)系，不需要全都記住而成為沉重的負(fù)擔(dān)。這就是“由厚到薄”的過程。

再舉個(gè)例子：球的體積怎樣算？在高中教科書中是用祖暅原理計(jì)算的。祖暅原理本身就不很容易懂，而利用祖暅原理計(jì)算球的體積，需要相當(dāng)高的技巧，實(shí)際上大多數(shù)高中生沒學(xué)明白。更大的問題是，如果換一個(gè)計(jì)算體積的問題，還得再尋求新的方法，無法保證一定能算出來。但是，如果學(xué)了微積分就會(huì)算很多面積、體積，其中球的體積只是一個(gè)很容易的問題。這樣，學(xué)了微積分就可以“忘掉”很多計(jì)算面積、體積的初等方法和技巧，這也是“由厚到薄”的過程。

不幸的是，很多中學(xué)教師所教的，很多中學(xué)生所學(xué)的，是在“初等”層次上反復(fù)練習(xí)，掌握“題型”和技巧等（都屬于“由薄到厚”的范圍），然而這樣的學(xué)生無論“題型”掌握了多少，技巧有多高，比起一個(gè)學(xué)好了微積分的學(xué)生還是差一個(gè)檔次。簡言之，前者的數(shù)學(xué)水平還在牛頓的時(shí)代之前，后者已進(jìn)入近三百年。

由此可見，很多中學(xué)生，尤其是聰明學(xué)生，將大部分時(shí)間和精力耗費(fèi)在學(xué)習(xí)初等“題型”和技巧上，是很大的浪費(fèi)，有那功夫，數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等更高的臺(tái)階都能上去了。不僅如此，還常見他們很困惑，問諸如“數(shù)學(xué)有什么用”之類的問題，因?yàn)樗麄冏龅暮芏嗔?xí)題，學(xué)的很多“題型”和技巧，并無應(yīng)用背景（除了考試以外）。反之，例如學(xué)了微積分就會(huì)算很多面積體積，自然就不會(huì)問“數(shù)學(xué)有什么用”了。

理念的提升，遠(yuǎn)比技巧的提高重要。以解析幾何為例，如果一個(gè)學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)，深刻領(lǐng)會(huì)了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，那么在多年后即使忘記了教科書的大部分細(xì)節(jié)，遇到問題仍能主動(dòng)地將代數(shù)與幾何問題相互轉(zhuǎn)化，其創(chuàng)新能力絕不是僅掌握了很多技巧（即使不忘）?的人所能比的。

還有一個(gè)對于數(shù)學(xué)的誤解源于“高等數(shù)學(xué)”這個(gè)詞，其實(shí)它只是高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的名稱（這個(gè)名稱當(dāng)然不恰當(dāng)，國外都不用，但國內(nèi)沿用了多年很難改），并非“高深”，更不是“最高”。其內(nèi)容為大約三百年前的數(shù)學(xué)，主要是牛頓（1643-1727）?時(shí)代的數(shù)學(xué)，最高的也不超過歐拉（1707-1783）?時(shí)代。某些非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生還需要學(xué)習(xí)更深一些的數(shù)學(xué)，例如電工專業(yè)的學(xué)生要學(xué)習(xí)拉普拉斯變換、傅里葉變換等二百年前的數(shù)學(xué)。

說到這里可能有些讀者望而生畏：需要學(xué)的數(shù)學(xué)這么多而且越來越難，怕是這輩子沒法學(xué)好了。其實(shí)不然，即使是一個(gè)小學(xué)生也可能有很好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而中學(xué)生中有很多可以達(dá)到相當(dāng)高的數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科雖多，但“其理則一”，都是研究來自自然界的問題，在這一點(diǎn)上與其他科學(xué)并無不同，所不同之處是其絕對真理性（參看 [8] ）。一個(gè)人的數(shù)學(xué)素質(zhì)的標(biāo)志不是數(shù)學(xué)知識(shí)的多少，而是數(shù)學(xué)理念的高度。下面我們會(huì)對此詳細(xì)解釋。

如何理解數(shù)學(xué)（下）

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