如何理解數學（上）

整個宇宙就存在于一杯葡萄酒中，這是詩人的話語。物理學家費曼就此評論道：如果我們微不足道的有限智力為了某種方便將這杯葡萄酒——這個宇宙——分為幾個部分：物理學、生物學、地質學、天文學、心理學等等，那么要記住，大自然并不知道這一切。數學這門古老的學科經歷了數千年發展，在近一百多年來更是開拓出眾多分支，分離出多種應用學科。而一般人所學的則是約400年前的解析幾何、300多年前的微積分、200多年前的線性代數，更新一些的可能包括180年前的群論、120年前的拓撲學和數理邏輯。再后來的數學多被認為過于深奧抽象，難以得其門而入。

然而，這篇文章指出，這種印象不過是不當教育導致的偏見，數學學科雖多，但其理則一，數學中的每個臺階都是始于一個原始的理念，既不深奧也不復雜，都是研究來自自然界的問題。

作者?| 其故

來源?|?返樸（ID：fanpu2019）

1對于數學的普遍偏見

當今的教育使得一般人都學過一些數學，而且學習的時間相當長（參看 [4] ），這使得很多人認為自己懂得數學，甚至妄談數學。但一般人所學的最新的也才是二百多年前的數學，往往對于近二百年來的數學一無所知，所以難免對于數學有誤解甚至偏見（參看例如 [5] ）。

妄談數學的人并非完全不懂數學，如果完全不懂倒不至于妄談了。問題在于近一百多年來數學有了巨大和根本的發展，一方面有了更深刻的理念，另一方面其應用領域極大地擴展了。如果對此完全不了解，那么對于數學的看法難免過于狹隘，簡直可以說是管窺蠡測了。教科書中“數學是研究數量關系和空間形式的科學”（參看 [1]?）這個教條，也是導致很多人對于數學有偏見的一個原因。這個說法始于恩格斯，后來列入前聯的教科書中，繼而進入我國的教科書。恩格斯是唯物主義者，他反對將數學看作純粹意識的觀點，認為數學所研究的是客觀世界，而受時代的局限他還不了解群論（即使高斯也難以接受），所以從哲學上這對于恩格斯是最好的理解了。但現代人應該知道，數學的領域非常寬闊，沒有邊界，是不能由研究對象來界定的。即使俄國人也早已摒棄了這個教條。

多年前在數學界的一個會議上有專家呼吁，在數學界的報告（如發展規劃）?中不要再寫“數學是研究數量關系和空間形式的科學”這樣的話，因為它不僅過時、錯誤，而且對于數學的發展不利。這個建議得到與會者的一致贊同。但在數學界不能主導的領域，這個教條仍在起著誤導作用，使得很多人對于數學的了解局限于一個很狹窄的范圍，更不會主動地將數學應用于以往不曾屬于數學的領域。

如?[5] 中所看到的，很多網民認為“數學基礎就是初等數學+高等數學+算法+奧數”，“數學對很多人來說是枯燥的、深奧的、抽象的”，甚至是乏味的、無用的、無聊的。這是教育壟斷造成的嚴重后果。

陳省身先生說過：“數學是一切科學的基礎，數學的訓練普遍的有用。”但對于數學有嚴重偏見的人是不可能理解這兩句話的。

這些偏見來自多方面的原因，其中一個重要原因是教育方面的失誤。而糾正偏見對于數學教育是一個不能回避的任務。

2對于數學的偏見的背景

如上所說，很多人對于數學的嚴重偏見，是由不當的數學教育造成的。

數學教育有其特有的規律（參看 [4] ），不僅學習時間長，應用廣泛，而且需要激勵興趣，培養科學的嚴謹性，因材施教，以及提升科學理念。

數學教育領域有一個共識，就是一個現代人學習數學的歷程大體上沿著數學發展史的歷程，類似于一個胎兒成長的過程大體上沿著生物進化的歷程。胎兒的發育過程大體要經過從單細胞生物到人類的進化過程，要經過類似原生動物、腔腸動物、脊索動物、靈長類等各個階段，最后才長成人類的樣子。而學習數學的過程，要先走過有數萬年歷史的識數過程，再學習古典（有數千年歷史的）?代數和幾何，再學習更近代的內容，直到費爾馬和笛卡兒建立的解析幾何，爾后可以學習微積分及更近代的數學。識數的時間相當長，可能在數學的學習中占大半，這和數學史上人類識數的時間長是一致的。

因此，判斷一般人（尤其是中學生）?的數學水平的基本標準是歷史的，即看他懂的是哪個時代的數學。

如今的數學文獻浩如煙海，很多人容易有一個錯覺，就是數學的發展就是數學研究成果的積累。那么，成果越積越多，遲早會使得任何人都不能全面把握，甚至只能懂得其中很狹窄的一部分。其實不然，成果的積累是華羅庚先生所說的“由薄到厚”的過程，但他還說過有一個“由厚到薄”的過程，這恐怕不是很多人都明白的。

對于數學，很多人崇拜技巧高的人，甚至看不起技巧不高的人。很多人以為數學是聰明人的游戲。

其實數學的發展方向，是老的數學越來越成熟，越成熟就越簡單，越容易，越接近普通人。這個過程，主要是通過理念的提升來實現的。

舉例說，中學平面幾何中有很多習題是很難的，即使很好的學生也未必都能做出來。這樣的習題對于鍛煉學生探索和解決問題的能力是有好處的，但很多習題難在對解題方法的苛刻限制，即只能使用平面幾何教程中講授過的方法。如果學了解析幾何，對其中很多習題就可以建立坐標系通過計算來解決，不需要什么技巧，難度也大為降低，普通學生都能做出。即使對于很好的學生，像上面那樣做平面幾何難題也應適可而止，有精力和興趣可早些進入解析幾何，那么以前學的很多方法和技巧即使忘掉也沒有關系，不需要全都記住而成為沉重的負擔。這就是“由厚到薄”的過程。

再舉個例子：球的體積怎樣算？在高中教科書中是用祖暅原理計算的。祖暅原理本身就不很容易懂，而利用祖暅原理計算球的體積，需要相當高的技巧，實際上大多數高中生沒學明白。更大的問題是，如果換一個計算體積的問題，還得再尋求新的方法，無法保證一定能算出來。但是，如果學了微積分就會算很多面積、體積，其中球的體積只是一個很容易的問題。這樣，學了微積分就可以“忘掉”很多計算面積、體積的初等方法和技巧，這也是“由厚到薄”的過程。

不幸的是，很多中學教師所教的，很多中學生所學的，是在“初等”層次上反復練習，掌握“題型”和技巧等（都屬于“由薄到厚”的范圍），然而這樣的學生無論“題型”掌握了多少，技巧有多高，比起一個學好了微積分的學生還是差一個檔次。簡言之，前者的數學水平還在牛頓的時代之前，后者已進入近三百年。

由此可見，很多中學生，尤其是聰明學生，將大部分時間和精力耗費在學習初等“題型”和技巧上，是很大的浪費，有那功夫，數學分析、高等代數等更高的臺階都能上去了。不僅如此，還常見他們很困惑，問諸如“數學有什么用”之類的問題，因為他們做的很多習題，學的很多“題型”和技巧，并無應用背景（除了考試以外）。反之，例如學了微積分就會算很多面積體積，自然就不會問“數學有什么用”了。

理念的提升，遠比技巧的提高重要。以解析幾何為例，如果一個學生經過學習，深刻領會了代數與幾何的內在聯系，那么在多年后即使忘記了教科書的大部分細節，遇到問題仍能主動地將代數與幾何問題相互轉化，其創新能力絕不是僅掌握了很多技巧（即使不忘）?的人所能比的。

還有一個對于數學的誤解源于“高等數學”這個詞，其實它只是高等學校非數學專業的基礎數學課程的名稱（這個名稱當然不恰當，國外都不用，但國內沿用了多年很難改），并非“高深”，更不是“最高”。其內容為大約三百年前的數學，主要是牛頓（1643-1727）?時代的數學，最高的也不超過歐拉（1707-1783）?時代。某些非數學專業的學生還需要學習更深一些的數學，例如電工專業的學生要學習拉普拉斯變換、傅里葉變換等二百年前的數學。

說到這里可能有些讀者望而生畏：需要學的數學這么多而且越來越難，怕是這輩子沒法學好了。其實不然，即使是一個小學生也可能有很好的數學素質，而中學生中有很多可以達到相當高的數學素質。數學學科雖多，但“其理則一”，都是研究來自自然界的問題，在這一點上與其他科學并無不同，所不同之處是其絕對真理性（參看 [8] ）。一個人的數學素質的標志不是數學知識的多少，而是數學理念的高度。下面我們會對此詳細解釋。

如何理解數學（下）