如何理解數學（下）

如何理解數學（上）

3數學中的“臺階”

現代數學的范圍非常廣，國際數學家大會有19個分會場，就是說即使粗分也有19個大方向。要想全面了解這些方向當然很不容易。雖然數學有很多分支，但“其理則一”，每個分支只是在某一個方面特別深入，但絕不是孤立的，不應將數學看作一些互不相關的分支或課題。如果對數學的某一個方向有了深入了解，形成很好的數學理念，那么就有利于理解其他方向。

數學的發展不僅是內容的豐富，而且有理念的提升。每個重要的新理念會促進數學的整體發展，影響到很多數學分支甚至數學以外的學科。在基礎數學方面，這樣的新理念有：約 400年前的解析幾何，300多年前的微積分，200多年前的線性代數，180年前的群論，120年前的拓撲學、數理邏輯、李群，80年前的整體微分幾何、概率論，此后更多，有復幾何、?？臻g、動力系統、算術代數幾何、幾何分析等等。

由此，學習數學不應僅僅是知識的積累，還應逐步提高哲學理念，如一個一個地上臺階。

解析幾何、微積分、線性代數都是近代數學的“臺階”，近二百年來這樣的臺階更多，下面選幾個做簡單介紹。

1、群 論

“群”是1820年代伽羅瓦在研究代數方程的一個困難問題時發現的。群論在解決這個難題時的作用充分顯示出它的強大，逐漸引起數學界的普遍關注。由此開創了數學的一個全新領域，其歷史意義是無論如何估計也不會過分的。

由今天的眼光看來，群的根本背景是物理的運動。在群論產生之前，盡管運動是數學不能回避的一個課題，但還沒有一個系統和強大的工具。群論的產生不僅使數學有了新的發展方向，而且有了新的理念，從而使群論滲透到數學的其他領域，改變了整個數學的面貌。一個典型的例子是克萊因的“愛爾蘭根綱領”，將變換群看作幾何的核心課題；另一個典型例子是索弗斯·李將群論應用于微分方程的研究，產生了李群論。

同時，群論也進入了數學之外的領域，成為物理、化學等學科的重要工具和核心課題。

由此可見，不懂群論的人對于數學的理解，與現代數學實在相距太遠，所以難免偏頗。

順便說一點題外話?，F在中學數學教程中的“集合”概念，原本是由于群論的需要而產生的，因為群既不能解釋為“數量關系”也不能解釋為“空間形式”，只能解釋為“集合”。但群是無法回避的，因為它在數學中處于核心地位。由此集合論也就發展起來（實際上到20世紀才成熟），進而成為整個數學的一種方便的語言。

在中學數學教程中是否應該講“集合”，其實是很值得懷疑的。其一，引入集合的語言不過是為了講課方便，但可能是老師方便了學生苦了（因為“集合”比方程、直線等更抽象，因而對于很多學生更費解）；其二，集合概念對于學習中學數學的各課題都不是必需的（早年的中學數學教程中都沒有集合，但同樣可以講得很好，而且并不影響學生的數學素質）；其三，如果沒有實質性的應用，花了很多時間學習“集合”卻不能得到什么實際的好處，是很大的浪費（學生質疑“有什么用”的一個主要對象就是集合）；其四，在中學課程中不可能系統地講清集合論的基本概念，至多只是“樸素直觀”而已，但這樣的直觀是不嚴謹的（在這方面，數學界也只是在羅素發現“集合論悖論”后才明白）。

2、拓撲學

拓撲學是 1900年前后以龐加萊為首的法國學派建立的，研究連續變形下的空間整體結構。下面一個例子可以解釋整體性和局部性的區別。

球面和環面（圖1）的局部結構是一樣的，如果在球面或環面上取一小塊（如圖1中的小圓片），它們的結構都等價于平面上的一小塊；但球面和環面的整體結構是截然不同的，如果將球面想象為橡皮的，可以隨意拉伸變形，甚至還可以剪開翻個身再按原縫粘回去，那么不管怎樣做這樣的“拓撲變換”，也還是不能把球面變成環面。用拓撲學的術語說，就是球面與環面不“同胚”。由此可見，即使完全了解局部結構，仍然可能對整體結構毫無所知。

20世紀的數學與此前的數學相比，最顯著的特點就是整體性。粗糙地說，20世紀前的數學都是“局部的”數學，即使涉及整體的研究對象（如射影空間），也是采用局部的研究方法。研究整體性的根本方法是從拓撲學的建立開始的。而關于整體結構的研究，是在此前關于局部結構的研究已經相當成熟的基礎上產生的。

拓撲學給出數學的一個新的深刻理念，這個理念和各種方法逐漸滲透到數學的其他領域，改變了整個數學的面貌，并且影響到數學之外的學科如物理、化學等。

不懂拓撲學的人，對現代數學也難免有誤解和偏見。

3、整體幾何

空間不僅有拓撲結構，而且還有其他結構如微分結構。如上所說，早期微分幾何是“局部”的微分幾何，但關于整體的問題是有的，只是沒有系統的方法和工具。在1930年代拓撲學已有了堅實的基礎，進一步將其他結構加入應該提到研究日程中來。在解決具體問題中，陳省身做了這一開創性的工作，從此產生了“整體微分幾何”。

此后，整體微分幾何的理念和方法滲透到數學的其他領域，如多復變函數論、代數幾何、數論等，改變了整個數學的面貌，并且影響到數學之外的學科如物理等。

4、幾何分析

在1970年代，丘成桐在解決卡拉比猜想中采用了硬分析（微分方程的深刻方法和結果），這一新的有力方法可用于解決很多其他難題，從而產生了一個新的學科“幾何分析”，這是現代數學中最富有活力且發展最快的領域之一，且影響到數學之外的學科如物理等。

由上面這些例子不難看出，每一個“臺階”都有新的哲學理念。因此，在學習數學時每上一個臺階，數學水平都會有本質的提高，是沒有上這個臺階的人所無法相比的。不僅如此，每個臺階一旦上去，終生都不會下來了。

上一個臺階很難嗎？其實未必，因為每個臺階都是始于一個原始的理念，既不深奧也不復雜，更沒有上面所說的“技巧”。很多人上不去倒是因為心理障礙造成的，具體地說，如果對于數學已經有了成見，那么遇到一個新的理念與成見沖突時，就可能從心理上拒絕接受。

4數學派生出的交叉學科

很多介紹數學的作用的文章，會介紹數學的應用領域：物理、化學、生命科學、工程、大數據、人工智能、機器人等等。但非專業的讀者一般只能膚淺地理解。

我們可以從另一個角度說明數學的作用。近一百多年來，數學的應用產生出很多新的交叉學科，它們原屬于數學，但后來獨立出去。這樣的大學科有十幾個：統計學、管理科學、計算機科學、系統科學、非線性科學、邏輯學、經濟學、機器證明、博弈論、編碼與密碼學等等。

我們下面做一點簡單的介紹。

01邏輯學

邏輯學原來屬于文科，那時并沒有嚴格的科學方法。直到大約一百年前，數學的方法進入了邏輯學領域，此后從根本上改變了邏輯學的面貌（參看 [3] ）。

起先是“命題演算”的產生，由此可用數學方法做“零級邏輯”推理。例如現在常見的“推理練習”題都可以轉換成數學運算，而且可以機械化（即用電腦計算解決）。由此還產生了“布爾代數”。后來進入更深一級的“謂詞演算”，實際上一般的數學命題都含有“謂詞”（“存在”或“一切”），如加法交換律的準確陳述是“對任意兩個數 a、b， 都有 a+b=b+a”，平面幾何中的第一條結合公理的準確陳述是“對任意兩個點，存在一條直線同時經過它們”。命題演算和謂詞演算形成一個新學科“數理邏輯”。

在今天，數理邏輯已經成為一個范圍很廣且內容深刻的學科，影響到很多其他領域，如純粹數學、計算機科學等，它本質上是研究邏輯的科學方法。由此，今天不懂數理邏輯的人是沒有資格研究邏輯學的。

02統計學

統計學原來也屬于文科，那時并沒有嚴格的科學方法，所用到的數學很初等。直到1930年代概率論奠定基礎后，產生了“數理統計”這個新學科，從此統計有了科學的研究方法，從根本上改變了統計學的面貌。

從今天的眼光看來，統計的基本任務是“大數據處理”。由于大數據難以避免“模糊性”，所以概率論是不可或缺的基本工具。但今天統計學中所需要的數學工具遠不止概率論。

在今天，統計學的研究者若沒有很好的數學素質，是不可能在高端的統計學雜志發表文章的。

統計學的廣泛應用使其成為一個很發達的學科。在很多高水平的大學里，統計系不僅獨立，而且比數學系大。

03運籌學

運籌學可以看作應用數學的一個方面。在很多應用數學問題中有特定的“目標”，例如速度、質量、成本、效率等，希望對此目標做得盡可能好。在數學中這稱為“優化”，它經?？梢员磉_為一個函數的最大值問題。

運籌學廣泛應用于工程、經濟、城市規劃、金融、軍事等很多領域，是一個很發達的學科。在今天，很多高水平的大學里有運籌學系（如加州大學的 IEOR），比數學系大得多。

04信息科學

“信息”是一個物理對象，但并沒有進入古典的物理學。信息科學的建立起源于香農在1940年代對通訊的研究。

通訊會遇到噪聲干擾，香農尋求一個可以刻畫“混亂程度”的物理量，他發現所得到的公式竟與熱力學中“熵”的公式一致，就把它也稱作“熵”。多年后經過很多人的研究，終于明白“信息熵”與熱力學熵的一致性。由此可見，香農的“熵”揭示了一個深刻的物理奧秘，有極重要的哲學意義。

信息科學也是從數學中派生出來的，公認 1948 年香農發表的論文“通信的數學理論”是信息論的奠基之作。

在今天的“信息社會”中，信息科學所起的作用無疑是巨大的。現代信息科學是一個獨立學科，但其數學性很強。

05控制論

與“信息”相似，“控制”也是一個物理對象，但并沒有進入古典的物理學。

一般認為1948年維納發表的《控制論——關于在動物和機器中控制和通訊的科學》一書是控制論的奠基之作。維納將控制論看作是一門研究機器、生命社會中控制和通訊的一般規律的科學，是研究動態系統在變的環境條件下如何保持平衡狀態或穩定狀態的科學。這也是有極重要的哲學意義的。

控制論也是從數學中派生出來的。在今天，控制論的思想和方法已經滲透到幾乎所有的自然科學和社會科學領域。

泛言之，運籌學、信息科學、控制論等都可以歸入“系統科學”這個大類。

06編碼與密碼學

在通訊中常要將字母轉換為數字信號，這就是“編碼”。編碼的方法多而廣，例如為了通訊保密故意改編原文（即“加密”），但要使接收者能夠再改編回原文（即“解密”）。這方面的發展形成了“密碼學”。

編碼的作用遠不止于保密。另一個重要作用是“糾錯”。在通訊中難免出現信號傳輸錯誤，采用適當的編碼可以減少錯誤，或在發生錯誤時自動糾正。在計算機和網絡中大量使用編碼。

最早的編碼可能是由“聰明人”拍腦袋想出來的，但編碼的深度發展離不開數學。常用的數學工具有代數、數論、組合學等，但不排除使用其他數學方法。

07計算機科學

計算機最早的任務目標是將數學計算機械化，其可能性建筑在早期的數理邏輯基礎之上。由于這個背景，數理邏輯是今天計算機專業的學生都要學習的基礎課。

計算機發明出來以后，在使用中遇到很多新問題，如計算機系統結構分析、計算機可靠性論證等，遂形成專門研究這些問題的一個新學科，即“計算機科學”。

當今的計算機科學是數學、電子科學、信息科學等學科和技術科學的交叉。不過早年的計算機科學是由一些數學家奠定基礎的。我國計算機科學的創始人全是數學家。

計算機科學所用到的數學遠不止數理邏輯，數學物理的很多工具都要用到，此外還有“離散數學”、代數、拓撲等。

08數理經濟學

與統計學相似，早年經濟學所用到的數學很初等，但19世紀有一些經濟學家使用了較深的數學，后來他們的工作被稱為“數理經濟學”。不過現代的數理經濟學主要是1960年代以后的工作，這些工作所用到的數學相當深。

在今天，經濟學的研究者若沒有很好的數學素質，是不可能在高端的經濟學雜志發表文章的。

09博弈論

博弈論始于1920年代策墨羅、波萊爾、馮·諾依曼等數學家研究對抗性的游戲，而對策不僅存在于游戲中，也存在于生物行為、經濟、軍事、政治、社會關系、外交等領域，所以后來有了廣泛的應用。

有多位博弈論專家獲得諾貝爾經濟學獎。

10數學機械化

數學機械化起源于機器證明問題，即能否用計算機來證明一個數學定理。1976年計算機被用來證明圖論中的四色定理。不能期待用計算機證明一般的數學定理，但可期望對某個數學領域有一個一般的方法，可以證明限定范圍的所有定理。

1970年代，吳文俊給出了歐幾里德幾何中一般的標準類型定理的機器證明方法，這可以理解為一大類數學定理可用計算機證明。后來實現的計算機程序，可通過人機對話將問題輸入，計算機可自動尋找有關所輸入的幾何圖形的所有定理，并給出每個定理的證明（證明一般較為冗長但人可讀，參看?[10]?）。具體的實現過程使用符號計算。

數學機械化可使數學證明的工作大為減輕，不需要傷腦筋的工作即可解決。它可以看作一種人工智能。上述機器證明不僅比AlphaGo早得多，也強得多（AlphaGo只能大概率地保證給出解決方案，而上述機器證明能絕對保證給出解決方案）。

迄今為止在其他多個領域也有數學機械化的研究，但尚未在其他領域得到如歐幾里德幾何領域那樣完善的結果。

11管理科學

管理原屬社會經驗領域，并無基本的科學的方法。自 1920 年代后數學家嘗試用系統科學的方法研究管理，逐漸產生了管理科學。

我國的管理科學的開創者都是數學家。

12非線性科學

“線性”是數學中的一種具有廣泛應用的性質，例如在通訊中需要將信號放大而不改變信號的結構，這就是“線性放大”。但另一方面，通訊中的載波、檢波等要改變信號的結構，這是需要通過非線性的方法才能達到的。

“非線性”現象在物理學、天文學、地球科學、生命科學等很多學科和公共工程、電子技術等很多應用領域普遍存在，所涉及的問題相距甚遠，但在數學上有共性。由此形成一個專門研究非線性的交叉學科。

13金融數學

信貸、股票、期貨、保險等金融課題的研究離不開數學，而且深入的研究需要相當多的數學工具如微積分、概率論、組合學、微分方程等等。甚至還用到一些高深的數學工具，例如山東大學彭實戈教授因對“倒向隨機微分方程”的研究成果而受邀在國際數學家大會上做一小時報告，就是因為這項成果可以應用于金融。

在 1950年代后，數學在金融研究中的日益重要作用形成了金融數學。當今不懂金融數學的人很難在高水平的金融雜志發表論文。

14精算學

精算學是針對金融領域的應用技術科學。

銀行業、保險業、證券業等對社會提供各種服務“產品”，需要服從一系列法規和其他規則，而提供服務就要使客戶盈利，但同時自身也要獲利，這就涉及合理定價、避險等很多問題（例如分期付款的房貸應如何確定月供，怎樣安全地分散投資等等）。

對每個具體問題都需要專門建立數學模型來解決，這樣就形成了大量的數學模型和方法。一個“精算師”需要在微積分、概率統計等方面達標，并掌握很多重要的數學模型。

除了上述學科外，數學還在不斷滲透到其他領域，如生命科學、醫學、軍事、認知科學等等。今天人們已經認識到，沒有什么學科是數學不能進入的，而數學的進入意味著新科學的形成。由此可見“數學是研究數量關系和空間形式的科學”之類觀點實在太狹隘了。