如何理解數(shù)學(xué)（下）

如何理解數(shù)學(xué)（上）

3數(shù)學(xué)中的“臺(tái)階”

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的范圍非常廣，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)有19個(gè)分會(huì)場(chǎng)，就是說(shuō)即使粗分也有19個(gè)大方向。要想全面了解這些方向當(dāng)然很不容易。雖然數(shù)學(xué)有很多分支，但“其理則一”，每個(gè)分支只是在某一個(gè)方面特別深入，但絕不是孤立的，不應(yīng)將數(shù)學(xué)看作一些互不相關(guān)的分支或課題。如果對(duì)數(shù)學(xué)的某一個(gè)方向有了深入了解，形成很好的數(shù)學(xué)理念，那么就有利于理解其他方向。

數(shù)學(xué)的發(fā)展不僅是內(nèi)容的豐富，而且有理念的提升。每個(gè)重要的新理念會(huì)促進(jìn)數(shù)學(xué)的整體發(fā)展，影響到很多數(shù)學(xué)分支甚至數(shù)學(xué)以外的學(xué)科。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面，這樣的新理念有：約 400年前的解析幾何，300多年前的微積分，200多年前的線性代數(shù)，180年前的群論，120年前的拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)理邏輯、李群，80年前的整體微分幾何、概率論，此后更多，有復(fù)幾何、模空間、動(dòng)力系統(tǒng)、算術(shù)代數(shù)幾何、幾何分析等等。

由此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不應(yīng)僅僅是知識(shí)的積累，還應(yīng)逐步提高哲學(xué)理念，如一個(gè)一個(gè)地上臺(tái)階。

解析幾何、微積分、線性代數(shù)都是近代數(shù)學(xué)的“臺(tái)階”，近二百年來(lái)這樣的臺(tái)階更多，下面選幾個(gè)做簡(jiǎn)單介紹。

1、群 論

“群”是1820年代伽羅瓦在研究代數(shù)方程的一個(gè)困難問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)的。群論在解決這個(gè)難題時(shí)的作用充分顯示出它的強(qiáng)大，逐漸引起數(shù)學(xué)界的普遍關(guān)注。由此開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)全新領(lǐng)域，其歷史意義是無(wú)論如何估計(jì)也不會(huì)過(guò)分的。

由今天的眼光看來(lái)，群的根本背景是物理的運(yùn)動(dòng)。在群論產(chǎn)生之前，盡管運(yùn)動(dòng)是數(shù)學(xué)不能回避的一個(gè)課題，但還沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)和強(qiáng)大的工具。群論的產(chǎn)生不僅使數(shù)學(xué)有了新的發(fā)展方向，而且有了新的理念，從而使群論滲透到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，改變了整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌。一個(gè)典型的例子是克萊因的“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”，將變換群看作幾何的核心課題；另一個(gè)典型例子是索弗斯·李將群論應(yīng)用于微分方程的研究，產(chǎn)生了李群論。

同時(shí)，群論也進(jìn)入了數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域，成為物理、化學(xué)等學(xué)科的重要工具和核心課題。

由此可見(jiàn)，不懂群論的人對(duì)于數(shù)學(xué)的理解，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)在相距太遠(yuǎn)，所以難免偏頗。

順便說(shuō)一點(diǎn)題外話。現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教程中的“集合”概念，原本是由于群論的需要而產(chǎn)生的，因?yàn)槿杭炔荒芙忉尀椤皵?shù)量關(guān)系”也不能解釋為“空間形式”，只能解釋為“集合”。但群是無(wú)法回避的，因?yàn)樗跀?shù)學(xué)中處于核心地位。由此集合論也就發(fā)展起來(lái)（實(shí)際上到20世紀(jì)才成熟），進(jìn)而成為整個(gè)數(shù)學(xué)的一種方便的語(yǔ)言。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教程中是否應(yīng)該講“集合”，其實(shí)是很值得懷疑的。其一，引入集合的語(yǔ)言不過(guò)是為了講課方便，但可能是老師方便了學(xué)生苦了（因?yàn)椤凹稀北确匠獭⒅本€等更抽象，因而對(duì)于很多學(xué)生更費(fèi)解）；其二，集合概念對(duì)于學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的各課題都不是必需的（早年的中學(xué)數(shù)學(xué)教程中都沒(méi)有集合，但同樣可以講得很好，而且并不影響學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)）；其三，如果沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的應(yīng)用，花了很多時(shí)間學(xué)習(xí)“集合”卻不能得到什么實(shí)際的好處，是很大的浪費(fèi)（學(xué)生質(zhì)疑“有什么用”的一個(gè)主要對(duì)象就是集合）；其四，在中學(xué)課程中不可能系統(tǒng)地講清集合論的基本概念，至多只是“樸素直觀”而已，但這樣的直觀是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模ㄔ谶@方面，數(shù)學(xué)界也只是在羅素發(fā)現(xiàn)“集合論悖論”后才明白）。

2、拓?fù)鋵W(xué)

拓?fù)鋵W(xué)是 1900年前后以龐加萊為首的法國(guó)學(xué)派建立的，研究連續(xù)變形下的空間整體結(jié)構(gòu)。下面一個(gè)例子可以解釋整體性和局部性的區(qū)別。

球面和環(huán)面（圖1）的局部結(jié)構(gòu)是一樣的，如果在球面或環(huán)面上取一小塊（如圖1中的小圓片），它們的結(jié)構(gòu)都等價(jià)于平面上的一小塊；但球面和環(huán)面的整體結(jié)構(gòu)是截然不同的，如果將球面想象為橡皮的，可以隨意拉伸變形，甚至還可以剪開(kāi)翻個(gè)身再按原縫粘回去，那么不管怎樣做這樣的“拓?fù)渥儞Q”，也還是不能把球面變成環(huán)面。用拓?fù)鋵W(xué)的術(shù)語(yǔ)說(shuō)，就是球面與環(huán)面不“同胚”。由此可見(jiàn)，即使完全了解局部結(jié)構(gòu)，仍然可能對(duì)整體結(jié)構(gòu)毫無(wú)所知。

20世紀(jì)的數(shù)學(xué)與此前的數(shù)學(xué)相比，最顯著的特點(diǎn)就是整體性。粗糙地說(shuō)，20世紀(jì)前的數(shù)學(xué)都是“局部的”數(shù)學(xué)，即使涉及整體的研究對(duì)象（如射影空間），也是采用局部的研究方法。研究整體性的根本方法是從拓?fù)鋵W(xué)的建立開(kāi)始的。而關(guān)于整體結(jié)構(gòu)的研究，是在此前關(guān)于局部結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

拓?fù)鋵W(xué)給出數(shù)學(xué)的一個(gè)新的深刻理念，這個(gè)理念和各種方法逐漸滲透到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，改變了整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌，并且影響到數(shù)學(xué)之外的學(xué)科如物理、化學(xué)等。

不懂拓?fù)鋵W(xué)的人，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)也難免有誤解和偏見(jiàn)。

3、整體幾何

空間不僅有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而且還有其他結(jié)構(gòu)如微分結(jié)構(gòu)。如上所說(shuō)，早期微分幾何是“局部”的微分幾何，但關(guān)于整體的問(wèn)題是有的，只是沒(méi)有系統(tǒng)的方法和工具。在1930年代拓?fù)鋵W(xué)已有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，進(jìn)一步將其他結(jié)構(gòu)加入應(yīng)該提到研究日程中來(lái)。在解決具體問(wèn)題中，陳省身做了這一開(kāi)創(chuàng)性的工作，從此產(chǎn)生了“整體微分幾何”。

此后，整體微分幾何的理念和方法滲透到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，如多復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)幾何、數(shù)論等，改變了整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌，并且影響到數(shù)學(xué)之外的學(xué)科如物理等。

4、幾何分析

在1970年代，丘成桐在解決卡拉比猜想中采用了硬分析（微分方程的深刻方法和結(jié)果），這一新的有力方法可用于解決很多其他難題，從而產(chǎn)生了一個(gè)新的學(xué)科“幾何分析”，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最富有活力且發(fā)展最快的領(lǐng)域之一，且影響到數(shù)學(xué)之外的學(xué)科如物理等。

由上面這些例子不難看出，每一個(gè)“臺(tái)階”都有新的哲學(xué)理念。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)每上一個(gè)臺(tái)階，數(shù)學(xué)水平都會(huì)有本質(zhì)的提高，是沒(méi)有上這個(gè)臺(tái)階的人所無(wú)法相比的。不僅如此，每個(gè)臺(tái)階一旦上去，終生都不會(huì)下來(lái)了。

上一個(gè)臺(tái)階很難嗎？其實(shí)未必，因?yàn)槊總€(gè)臺(tái)階都是始于一個(gè)原始的理念，既不深?yuàn)W也不復(fù)雜，更沒(méi)有上面所說(shuō)的“技巧”。很多人上不去倒是因?yàn)樾睦碚系K造成的，具體地說(shuō)，如果對(duì)于數(shù)學(xué)已經(jīng)有了成見(jiàn)，那么遇到一個(gè)新的理念與成見(jiàn)沖突時(shí)，就可能從心理上拒絕接受。

4數(shù)學(xué)派生出的交叉學(xué)科

很多介紹數(shù)學(xué)的作用的文章，會(huì)介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域：物理、化學(xué)、生命科學(xué)、工程、大數(shù)據(jù)、人工智能、機(jī)器人等等。但非專業(yè)的讀者一般只能膚淺地理解。

我們可以從另一個(gè)角度說(shuō)明數(shù)學(xué)的作用。近一百多年來(lái)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用產(chǎn)生出很多新的交叉學(xué)科，它們?cè)瓕儆跀?shù)學(xué)，但后來(lái)獨(dú)立出去。這樣的大學(xué)科有十幾個(gè)：統(tǒng)計(jì)學(xué)、管理科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、非線性科學(xué)、邏輯學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、機(jī)器證明、博弈論、編碼與密碼學(xué)等等。

我們下面做一點(diǎn)簡(jiǎn)單的介紹。

01邏輯學(xué)

邏輯學(xué)原來(lái)屬于文科，那時(shí)并沒(méi)有嚴(yán)格的科學(xué)方法。直到大約一百年前，數(shù)學(xué)的方法進(jìn)入了邏輯學(xué)領(lǐng)域，此后從根本上改變了邏輯學(xué)的面貌（參看 [3] ）。

起先是“命題演算”的產(chǎn)生，由此可用數(shù)學(xué)方法做“零級(jí)邏輯”推理。例如現(xiàn)在常見(jiàn)的“推理練習(xí)”題都可以轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且可以機(jī)械化（即用電腦計(jì)算解決）。由此還產(chǎn)生了“布爾代數(shù)”。后來(lái)進(jìn)入更深一級(jí)的“謂詞演算”，實(shí)際上一般的數(shù)學(xué)命題都含有“謂詞”（“存在”或“一切”），如加法交換律的準(zhǔn)確陳述是“對(duì)任意兩個(gè)數(shù) a、b， 都有 a+b=b+a”，平面幾何中的第一條結(jié)合公理的準(zhǔn)確陳述是“對(duì)任意兩個(gè)點(diǎn)，存在一條直線同時(shí)經(jīng)過(guò)它們”。命題演算和謂詞演算形成一個(gè)新學(xué)科“數(shù)理邏輯”。

在今天，數(shù)理邏輯已經(jīng)成為一個(gè)范圍很廣且內(nèi)容深刻的學(xué)科，影響到很多其他領(lǐng)域，如純粹數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等，它本質(zhì)上是研究邏輯的科學(xué)方法。由此，今天不懂?dāng)?shù)理邏輯的人是沒(méi)有資格研究邏輯學(xué)的。

02統(tǒng)計(jì)學(xué)

統(tǒng)計(jì)學(xué)原來(lái)也屬于文科，那時(shí)并沒(méi)有嚴(yán)格的科學(xué)方法，所用到的數(shù)學(xué)很初等。直到1930年代概率論奠定基礎(chǔ)后，產(chǎn)生了“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”這個(gè)新學(xué)科，從此統(tǒng)計(jì)有了科學(xué)的研究方法，從根本上改變了統(tǒng)計(jì)學(xué)的面貌。

從今天的眼光看來(lái)，統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)是“大數(shù)據(jù)處理”。由于大數(shù)據(jù)難以避免“模糊性”，所以概率論是不可或缺的基本工具。但今天統(tǒng)計(jì)學(xué)中所需要的數(shù)學(xué)工具遠(yuǎn)不止概率論。

在今天，統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究者若沒(méi)有很好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是不可能在高端的統(tǒng)計(jì)學(xué)雜志發(fā)表文章的。

統(tǒng)計(jì)學(xué)的廣泛應(yīng)用使其成為一個(gè)很發(fā)達(dá)的學(xué)科。在很多高水平的大學(xué)里，統(tǒng)計(jì)系不僅獨(dú)立，而且比數(shù)學(xué)系大。

03運(yùn)籌學(xué)

運(yùn)籌學(xué)可以看作應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)方面。在很多應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題中有特定的“目標(biāo)”，例如速度、質(zhì)量、成本、效率等，希望對(duì)此目標(biāo)做得盡可能好。在數(shù)學(xué)中這稱為“優(yōu)化”，它經(jīng)常可以表達(dá)為一個(gè)函數(shù)的最大值問(wèn)題。

運(yùn)籌學(xué)廣泛應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)、城市規(guī)劃、金融、軍事等很多領(lǐng)域，是一個(gè)很發(fā)達(dá)的學(xué)科。在今天，很多高水平的大學(xué)里有運(yùn)籌學(xué)系（如加州大學(xué)的 IEOR），比數(shù)學(xué)系大得多。

04信息科學(xué)

“信息”是一個(gè)物理對(duì)象，但并沒(méi)有進(jìn)入古典的物理學(xué)。信息科學(xué)的建立起源于香農(nóng)在1940年代對(duì)通訊的研究。

通訊會(huì)遇到噪聲干擾，香農(nóng)尋求一個(gè)可以刻畫“混亂程度”的物理量，他發(fā)現(xiàn)所得到的公式竟與熱力學(xué)中“熵”的公式一致，就把它也稱作“熵”。多年后經(jīng)過(guò)很多人的研究，終于明白“信息熵”與熱力學(xué)熵的一致性。由此可見(jiàn)，香農(nóng)的“熵”揭示了一個(gè)深刻的物理奧秘，有極重要的哲學(xué)意義。

信息科學(xué)也是從數(shù)學(xué)中派生出來(lái)的，公認(rèn) 1948 年香農(nóng)發(fā)表的論文“通信的數(shù)學(xué)理論”是信息論的奠基之作。

在今天的“信息社會(huì)”中，信息科學(xué)所起的作用無(wú)疑是巨大的。現(xiàn)代信息科學(xué)是一個(gè)獨(dú)立學(xué)科，但其數(shù)學(xué)性很強(qiáng)。

05控制論

與“信息”相似，“控制”也是一個(gè)物理對(duì)象，但并沒(méi)有進(jìn)入古典的物理學(xué)。

一般認(rèn)為1948年維納發(fā)表的《控制論——關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中控制和通訊的科學(xué)》一書是控制論的奠基之作。維納將控制論看作是一門研究機(jī)器、生命社會(huì)中控制和通訊的一般規(guī)律的科學(xué)，是研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在變的環(huán)境條件下如何保持平衡狀態(tài)或穩(wěn)定狀態(tài)的科學(xué)。這也是有極重要的哲學(xué)意義的。

控制論也是從數(shù)學(xué)中派生出來(lái)的。在今天，控制論的思想和方法已經(jīng)滲透到幾乎所有的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。

泛言之，運(yùn)籌學(xué)、信息科學(xué)、控制論等都可以歸入“系統(tǒng)科學(xué)”這個(gè)大類。

06編碼與密碼學(xué)

在通訊中常要將字母轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，這就是“編碼”。編碼的方法多而廣，例如為了通訊保密故意改編原文（即“加密”），但要使接收者能夠再改編回原文（即“解密”）。這方面的發(fā)展形成了“密碼學(xué)”。

編碼的作用遠(yuǎn)不止于保密。另一個(gè)重要作用是“糾錯(cuò)”。在通訊中難免出現(xiàn)信號(hào)傳輸錯(cuò)誤，采用適當(dāng)?shù)木幋a可以減少錯(cuò)誤，或在發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)自動(dòng)糾正。在計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)中大量使用編碼。

最早的編碼可能是由“聰明人”拍腦袋想出來(lái)的，但編碼的深度發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)。常用的數(shù)學(xué)工具有代數(shù)、數(shù)論、組合學(xué)等，但不排除使用其他數(shù)學(xué)方法。

07計(jì)算機(jī)科學(xué)

計(jì)算機(jī)最早的任務(wù)目標(biāo)是將數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)械化，其可能性建筑在早期的數(shù)理邏輯基礎(chǔ)之上。由于這個(gè)背景，數(shù)理邏輯是今天計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生都要學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課。

計(jì)算機(jī)發(fā)明出來(lái)以后，在使用中遇到很多新問(wèn)題，如計(jì)算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析、計(jì)算機(jī)可靠性論證等，遂形成專門研究這些問(wèn)題的一個(gè)新學(xué)科，即“計(jì)算機(jī)科學(xué)”。

當(dāng)今的計(jì)算機(jī)科學(xué)是數(shù)學(xué)、電子科學(xué)、信息科學(xué)等學(xué)科和技術(shù)科學(xué)的交叉。不過(guò)早年的計(jì)算機(jī)科學(xué)是由一些數(shù)學(xué)家奠定基礎(chǔ)的。我國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)的創(chuàng)始人全是數(shù)學(xué)家。

計(jì)算機(jī)科學(xué)所用到的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不止數(shù)理邏輯，數(shù)學(xué)物理的很多工具都要用到，此外還有“離散數(shù)學(xué)”、代數(shù)、拓?fù)涞取?/p>

08數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)

與統(tǒng)計(jì)學(xué)相似，早年經(jīng)濟(jì)學(xué)所用到的數(shù)學(xué)很初等，但19世紀(jì)有一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家使用了較深的數(shù)學(xué)，后來(lái)他們的工作被稱為“數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)”。不過(guò)現(xiàn)代的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)主要是1960年代以后的工作，這些工作所用到的數(shù)學(xué)相當(dāng)深。

在今天，經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究者若沒(méi)有很好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是不可能在高端的經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志發(fā)表文章的。

09博弈論

博弈論始于1920年代策墨羅、波萊爾、馮·諾依曼等數(shù)學(xué)家研究對(duì)抗性的游戲，而對(duì)策不僅存在于游戲中，也存在于生物行為、經(jīng)濟(jì)、軍事、政治、社會(huì)關(guān)系、外交等領(lǐng)域，所以后來(lái)有了廣泛的應(yīng)用。

有多位博弈論專家獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

10數(shù)學(xué)機(jī)械化

數(shù)學(xué)機(jī)械化起源于機(jī)器證明問(wèn)題，即能否用計(jì)算機(jī)來(lái)證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理。1976年計(jì)算機(jī)被用來(lái)證明圖論中的四色定理。不能期待用計(jì)算機(jī)證明一般的數(shù)學(xué)定理，但可期望對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域有一個(gè)一般的方法，可以證明限定范圍的所有定理。

1970年代，吳文俊給出了歐幾里德幾何中一般的標(biāo)準(zhǔn)類型定理的機(jī)器證明方法，這可以理解為一大類數(shù)學(xué)定理可用計(jì)算機(jī)證明。后來(lái)實(shí)現(xiàn)的計(jì)算機(jī)程序，可通過(guò)人機(jī)對(duì)話將問(wèn)題輸入，計(jì)算機(jī)可自動(dòng)尋找有關(guān)所輸入的幾何圖形的所有定理，并給出每個(gè)定理的證明（證明一般較為冗長(zhǎng)但人可讀，參看?[10]?）。具體的實(shí)現(xiàn)過(guò)程使用符號(hào)計(jì)算。

數(shù)學(xué)機(jī)械化可使數(shù)學(xué)證明的工作大為減輕，不需要傷腦筋的工作即可解決。它可以看作一種人工智能。上述機(jī)器證明不僅比AlphaGo早得多，也強(qiáng)得多（AlphaGo只能大概率地保證給出解決方案，而上述機(jī)器證明能絕對(duì)保證給出解決方案）。

迄今為止在其他多個(gè)領(lǐng)域也有數(shù)學(xué)機(jī)械化的研究，但尚未在其他領(lǐng)域得到如歐幾里德幾何領(lǐng)域那樣完善的結(jié)果。

11管理科學(xué)

管理原屬社會(huì)經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)域，并無(wú)基本的科學(xué)的方法。自 1920 年代后數(shù)學(xué)家嘗試用系統(tǒng)科學(xué)的方法研究管理，逐漸產(chǎn)生了管理科學(xué)。

我國(guó)的管理科學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者都是數(shù)學(xué)家。

12非線性科學(xué)

“線性”是數(shù)學(xué)中的一種具有廣泛應(yīng)用的性質(zhì)，例如在通訊中需要將信號(hào)放大而不改變信號(hào)的結(jié)構(gòu)，這就是“線性放大”。但另一方面，通訊中的載波、檢波等要改變信號(hào)的結(jié)構(gòu)，這是需要通過(guò)非線性的方法才能達(dá)到的。

“非線性”現(xiàn)象在物理學(xué)、天文學(xué)、地球科學(xué)、生命科學(xué)等很多學(xué)科和公共工程、電子技術(shù)等很多應(yīng)用領(lǐng)域普遍存在，所涉及的問(wèn)題相距甚遠(yuǎn)，但在數(shù)學(xué)上有共性。由此形成一個(gè)專門研究非線性的交叉學(xué)科。

13金融數(shù)學(xué)

信貸、股票、期貨、保險(xiǎn)等金融課題的研究離不開(kāi)數(shù)學(xué)，而且深入的研究需要相當(dāng)多的數(shù)學(xué)工具如微積分、概率論、組合學(xué)、微分方程等等。甚至還用到一些高深的數(shù)學(xué)工具，例如山東大學(xué)彭實(shí)戈教授因?qū)Α暗瓜螂S機(jī)微分方程”的研究成果而受邀在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做一小時(shí)報(bào)告，就是因?yàn)檫@項(xiàng)成果可以應(yīng)用于金融。

在 1950年代后，數(shù)學(xué)在金融研究中的日益重要作用形成了金融數(shù)學(xué)。當(dāng)今不懂金融數(shù)學(xué)的人很難在高水平的金融雜志發(fā)表論文。

14精算學(xué)

精算學(xué)是針對(duì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用技術(shù)科學(xué)。

銀行業(yè)、保險(xiǎn)業(yè)、證券業(yè)等對(duì)社會(huì)提供各種服務(wù)“產(chǎn)品”，需要服從一系列法規(guī)和其他規(guī)則，而提供服務(wù)就要使客戶盈利，但同時(shí)自身也要獲利，這就涉及合理定價(jià)、避險(xiǎn)等很多問(wèn)題（例如分期付款的房貸應(yīng)如何確定月供，怎樣安全地分散投資等等）。

對(duì)每個(gè)具體問(wèn)題都需要專門建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，這樣就形成了大量的數(shù)學(xué)模型和方法。一個(gè)“精算師”需要在微積分、概率統(tǒng)計(jì)等方面達(dá)標(biāo)，并掌握很多重要的數(shù)學(xué)模型。

除了上述學(xué)科外，數(shù)學(xué)還在不斷滲透到其他領(lǐng)域，如生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、軍事、認(rèn)知科學(xué)等等。今天人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，沒(méi)有什么學(xué)科是數(shù)學(xué)不能進(jìn)入的，而數(shù)學(xué)的進(jìn)入意味著新科學(xué)的形成。由此可見(jiàn)“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”之類觀點(diǎn)實(shí)在太狹隘了。