來自美國的超難奧數題思路解析

家長是孩子最好的老師

今天的題目是分數問題，題目來自美國的一次數學學術活動，解題所用知識不超過小學6年級。

題目（超5星難度）：

a和b都是非零的自然數，且b小于100。把分數a/b化為小數以后，小數點后會不會出現連續三位數是143的情況？

輔導方法：

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，

若20分鐘仍然沒有思路，再由家長進行提示性講解。

講解思路：

這道題屬于分數問題，雖然題目非常簡短，但難度很高簡直無從下手。

要想說明可能會出現143，需要構造出相應的a/b；

要想說明不會出現143，需要給出嚴格的證明。

在此說個小技巧，大部分問會不會的題目，答案多數是不會，思考時要重點從證明的角度著手。

由于143的位置是任意的，得要辦法固定它們的位置。

因此總的解題思路是：假設會出現連續三位數是143，看能否推出矛盾。

首先把小數化為0.143...的形式，然后利用b的范圍不大于100

步驟1：

先思考第一個問題，假設會出現連續三位數是143，把小數轉化為0.143...的形式。

如果小數點后第k+1個數字起，連續三位數是143，則a/b乘以10^k后，(注：10^k表示10的k次方。)就會變成0.143…的形式。

故存在自然數m,使a/b*10^k=m+0.143…,化簡即(a*10^k-m*b)/b=0.143…。

因此存在自然數n=a*10^k-m*b,使n/b=0.143…。

步驟2：

再思考第二個問題，考慮使用b的范圍。

由于0.143 <=0.143… <0.144,故0.143 <=n/b <0.144，

兩端同時乘以1000b可得：143b <= 1000n < 144b,注意到143*7=1001，144*7=1008，

兩端同時乘以7可得：1001b <= 7000n < 1008b,

兩端同時減去1000b有：b <= 7000n-1000b < 8b。由于b>=1,故1 <= 7000n-1000b；

由于b < 100,故7000n-1000b < 800。

因此1 <= 7000n-1000b< 800。

步驟3：

綜合上述幾個問題，考慮原題目的答案。

在步驟2中得到了7000n-1000b的范圍，由于7000n-1000b=1000(7n-b)，故7000n-1000b是1000的整數倍。

但1到800之間沒有1000的整數倍，出現矛盾。

這是因為假設的條件并不成立，

所以不會出現連續三位數是143。

思考題（3星難度）：

在十進制下的無限循環小數a，在7進制下還一定是無限循環小數嗎？