計(jì)算共形幾何講義：阿貝爾定理

暑假期間，老顧在清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)中心講學(xué)，在周邊參加了一些學(xué)術(shù)活動(dòng)，感慨良多。前幾日，老顧在中科院數(shù)智講壇給了一次有關(guān)計(jì)算共形幾何的演講，旁征博引，傾情投入，聽眾也聚精會(huì)神，熱情高漲，大家共同體驗(yàn)了一次數(shù)學(xué)之美。

聽眾中有一位三十年未見的朋友，子睿教授。

他不辭辛勞，橫越京城，前來捧場。記得分別那年，大家都是青蔥少年，玉樹臨風(fēng)，豪氣萬丈；重逢時(shí)都已年屆不惑，雙鬢斑白，閱盡滄桑。當(dāng)年我們的代數(shù)老師常若蘭認(rèn)為我們兩人具有數(shù)學(xué)潛質(zhì)，為我們傾盡心血，苦心栽培。

多年之后，我們依然在學(xué)術(shù)界孜孜以求，絲毫不敢辜負(fù)師恩。數(shù)十年后不期重逢，子睿兄依照學(xué)者的最高禮儀，送給我一本他的近期學(xué)術(shù)著作。子睿兄嘔心瀝血十?dāng)?shù)載，才得以完成。

書中寫盡他的人生感悟和思想精髓，捧讀他的大作，宛如直面他的靈魂，從中可以體悟他所經(jīng)歷的驚濤駭浪和愛恨情仇。我們彼此凝視著對(duì)方飽受歲月摧殘的面龐和身軀，似乎努力尋找一些彼此寬慰的言語，又似乎沒有必要，一切盡在不言中。

一天傍晚，老顧和朋友們參加一個(gè)拓?fù)溲杏憰?huì)。教室外狂風(fēng)大作，暴雨傾盆。教室內(nèi)擠滿了年輕學(xué)生，有的少年憨厚率真，用家鄉(xiāng)話不時(shí)地進(jìn)行點(diǎn)評(píng)；有的少年精靈古怪，問著刁鉆深?yuàn)W的問題。

從講者到學(xué)生，大家都沉浸在三維流形的拓?fù)涫澜纾缱砣绨V，酣暢淋漓。空氣中洋溢著純粹而亢奮的氣氛，少年人的才氣恣肆汪洋。講到精妙之處，所有人都情難自禁地爆笑不已，少年人更是興奮地敲擊或者蹬踹課桌。望著滿教室青春洋溢的面龐，老顧難抑深深的羨慕，同時(shí)更加堅(jiān)信中國的數(shù)學(xué)充滿希望！

暑期老顧和學(xué)生們重溫了經(jīng)典黎曼面理論，包括全純線叢、陳類、黎曼-羅赫定理、阿貝爾-雅可比定理等等。數(shù)十年前，老顧在哈佛大學(xué)和丘先生學(xué)習(xí)過這些理論，那時(shí)年少輕狂，對(duì)這些理論不求甚解，淺嘗則止。數(shù)十年后，積累了豐富的人生閱歷之后，老顧漸漸領(lǐng)悟了這些理論的深意，對(duì)這些前輩數(shù)學(xué)家肅然起敬。

阿貝爾（Niels Henrik Abel）是挪威的驕傲，但個(gè)人際遇卻極度凄慘，堪稱數(shù)學(xué)界的梵高。

從某種角度而言，阿貝爾是幸運(yùn)的，他在少年時(shí)代遇到了恩師霍姆伯（Holmboe）。霍姆伯洞察到阿貝爾的數(shù)學(xué)天賦，引導(dǎo)他學(xué)習(xí)了牛頓、歐拉、拉格朗日和高斯的原著，后來無私資助阿貝爾游學(xué)歐洲，拜訪名家，在阿貝爾去世后，收集整理他的數(shù)學(xué)工作，使其光輝的思想得以留存于世。

阿貝爾的另一位朋友克雷勒（Crelle）是位土木工程師，對(duì)數(shù)學(xué)極有熱誠，雖然不懂阿貝爾的工作，但卻慷慨解囊，出版阿貝爾的論文，使得阿貝爾的才華昭著于世。

阿貝爾也是不幸的，雖然他在十九歲就證明了高于四次的代數(shù)方程沒有一般形式的代數(shù)解，但是高斯不相信這個(gè)其貌不揚(yáng)的少年能夠解決困擾人類上千年的難題，從而從未閱讀過阿貝爾寄來的論文；在巴黎，來自窮鄉(xiāng)僻壤的阿貝爾外表靦腆、衣著寒酸，受到了勒讓德和柯西的冷落。生活的貧困，學(xué)術(shù)的失意，令阿貝爾染上當(dāng)時(shí)的不治之癥，肺結(jié)核，不幸英年早逝，年僅27歲。阿貝爾死后兩天，克雷勒的一封信寄到，告知柏林大學(xué)決定聘任他擔(dān)任數(shù)學(xué)教授。

依照世俗的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)來衡量，阿貝爾無疑是一個(gè)徹頭徹尾的失敗者，沒有社會(huì)地位，一文不名，情感生活坎坷；但是在人類文明史上，阿貝爾是一顆璀璨的明星，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)思想的歷史進(jìn)程。

與阿貝爾時(shí)代相比，老顧所處的現(xiàn)代無疑進(jìn)步了許多，但是一如阿貝爾這般具有原始獨(dú)創(chuàng)性的思想未必很多。這一時(shí)代的根本性標(biāo)志是計(jì)算機(jī)工業(yè)的蓬勃發(fā)展。

作為一名計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)科研人員，老顧經(jīng)常思考的問題就是：

1）計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家各自用自身的語言，依照自身的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，在各自的王國，自圓其說地講述著自己的故事。那么他們是否在說同樣的事情？

2）如果計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家是對(duì)同一事物進(jìn)行不同表述，他們是在同義反復(fù)，還是風(fēng)馬牛不相及？誰說得更加嚴(yán)密而精準(zhǔn)，誰說得更加深刻而本質(zhì)？例如多年以來，老顧經(jīng)常困惑的一個(gè)問題是：天下所有的數(shù)學(xué)家都知道黎曼面的概念，都知道阿貝爾微分和阿貝爾定理，那么在現(xiàn)實(shí)生活中，黎曼面和阿貝爾微分究竟在哪里？物理學(xué)家有超弦理論，每根弦都是一張黎曼面。那么在觸手可及的日常生活中，是否存在如此抽象概念的實(shí)在對(duì)應(yīng)呢？

由陳省身先生關(guān)于等溫參數(shù)的存在性證明，我們已經(jīng)知道現(xiàn)實(shí)生活中所有的曲面都是黎曼面，從嶙峋的巉巖到精致的面龐，都是黎曼面，因而都有共形結(jié)構(gòu)；但是阿貝爾微分究竟對(duì)應(yīng)著現(xiàn)實(shí)生活中的什么事物、阿貝爾定理究竟如何影響日常生活，這個(gè)問題一直沒有圓滿的解釋，直至最近的一次頓悟。

老顧每天開車上下班，在長島高速公路上飛馳近一個(gè)半小時(shí)，因此對(duì)于機(jī)械工程中的計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）有著切身體會(huì)。在和很多機(jī)械領(lǐng)域的學(xué)者朋友深入交往之后，老顧突然意識(shí)到機(jī)械設(shè)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)之一就是阿貝爾微分。

從這個(gè)角度而言，阿貝爾定理無時(shí)不刻在控制著人類的日常生活，只是我們?nèi)狈垩郏瑹o法直接洞察到而已。數(shù)十年后，大夢(mèng)初醒的老顧急忙將這一心得和朋友與學(xué)生分享，大家都無比激動(dòng)，立刻投入到鉆研阿貝爾理論的熱潮之中！我們期待這一新穎視角會(huì)給工程應(yīng)用帶來突破。

這里，我們概述黎曼面的阿貝爾定理，在后繼的文章中我們會(huì)介紹為什么阿貝爾定理是現(xiàn)代機(jī)械幾何輔助設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)之一。很多基本的概念，可以參看前面的文章：計(jì)算共形講義：纖維叢和陳類。

黎曼面的周期矩陣

假設(shè)是一張緊致黎曼曲面，虧格為g。選定基點(diǎn)和一族基本群的典范基底：

，

代數(shù)相交數(shù)滿足條件：

，

圖1. 基本群的基底和一個(gè)基本域。

 

我們選擇全純微分空間的對(duì)偶典型基底 ，滿足條件：

。

黎曼面的周期矩陣定義成：

在這里周期陣為單位矩陣。周期矩陣是黎曼面的全系不變量，其系數(shù)并不獨(dú)立，由Teichmuller理論，周期矩陣的自由度為。周期矩陣具有一些特殊性質(zhì)。

---

我們考察亞純微分的雙線性關(guān)系。

定理（亞純微分的雙線性關(guān)系） 令是緊黎曼面上的全純微分；是亞純微分，具有單極點(diǎn)，并且假設(shè)基本群基底不經(jīng)過這些極點(diǎn)，記這些微分的周期為

,

則有雙線性關(guān)系：

進(jìn)一步

，

這里是亞純微分在極點(diǎn)處的留數(shù)，積分路徑在基本域內(nèi)選取。

證明：在基本域內(nèi)，我們定義函數(shù)

,

由此，我們有

，

由留數(shù)定理，

。

另一方面，在基本域的邊界上，我們有

這里和對(duì)應(yīng)著黎曼面上的同一個(gè)點(diǎn)。由于是閉的，

,

由此，我們得到

,

同理可得

,

兩個(gè)等式合起來就推出

。

證明完畢。

推論（周期矩陣的對(duì)稱正定性）：如果亞純微分也是全純的，那么沒有極點(diǎn)，等式右側(cè)為0，我們有全純微分的雙線性關(guān)系，

。

將帶入上式，我們得到

,

即周期矩陣是對(duì)稱陣。令，這里系數(shù)為實(shí)數(shù)，由

和雙線性關(guān)系

，

因此周期矩陣的虛部為正定矩陣。

亞純微分的雙線性關(guān)系可以推廣成一般閉微分形式的雙線性關(guān)系。假設(shè)和是光滑閉微分形式，則我們有等式：

。

圖2. 曲面上的全純二次微分，和對(duì)應(yīng)的因子。

阿貝爾定理

黎曼面上的亞純函數(shù)可以由其零極點(diǎn)來刻畫，給定亞純函數(shù)的因子，基本上就已經(jīng)確定了亞純函數(shù)本身。亞純函數(shù)的因子被稱為是主要因子。但是黎曼面上任給次數(shù)為0的因子，未必是主要因子，即未必存在相應(yīng)的亞純函數(shù)。阿貝爾定理給出了主要因子的充分必要條件。

---

Abel-Jacobi 映射定義如下，給定黎曼面上的任意一點(diǎn)，任選一條從基點(diǎn)到的路徑，進(jìn)行積分：,

。

如果我們選擇兩條不同的路徑來連接和，

,

則。由此，我們定義格點(diǎn)群，從而定義Jacobi簇 。Abel-Jacobi映射實(shí)際上是從黎曼面到Jacobi簇的映射：。

我們需要證明Abel-Jacobi映射是非退化的。這可以由下面的引理得出。

引理 對(duì)于任意，存在基底全純微分，使得。

證明：反之，則存在，對(duì)于一切全純微分，都有，那么全純微分空間

,

從而 。由黎曼-羅赫公式，

,

這說明和球面同構(gòu)，矛盾。證明完畢。

---

引理：給定黎曼面上的相異兩點(diǎn)，則存在唯一的亞純微分，滿足：

1. 以p,q為單極點(diǎn)，沒有其他極點(diǎn)，且在p處的留數(shù)為+1，在q處的留數(shù)為-1；

2. 的A-周期為0，

   。

證明：考慮因子-p-q，由黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch）：

,

這里亞純函數(shù)空間為空，因此亞純微分空間的維數(shù)。全純微分空間的維數(shù)為，存在為全純的亞純微分，它只能以p或者q為極點(diǎn)，且只能為單極點(diǎn)。由亞純微分的留數(shù)之和必為0知道，必然同時(shí)以p和q為極點(diǎn)，并且在p點(diǎn)和q點(diǎn)處的留數(shù)相反。通過歸一化，不妨設(shè)在p點(diǎn)和q點(diǎn)處的留數(shù)分別為+1和-1。不妨設(shè)

，

減去全純微分，則為符合條件的唯一亞純微分。證明完畢。

引理：上述亞純微分滿足條件

這里積分路徑在基本域中選取。

證明：對(duì)全純微分和亞純微分運(yùn)用雙線性關(guān)系：

更進(jìn)一步，我們有：

。

---

引理：設(shè)是閉曲線，為附近有定義的處處非零的光滑復(fù)函數(shù)，則積分

為整數(shù)。

證明：設(shè)的萬有覆迭空間，將閉曲線提升為，函數(shù)提升為。萬有覆迭空間單連通，處處非零，因而可以求對(duì)數(shù)，，g為覆迭空間上的光滑函數(shù)，滿足

,

同理，由此。我們得到：

,

因此為整數(shù)。證明完畢。

---

定理（Abel）給定次數(shù)為零的因子，則因子為主要因子當(dāng)且僅當(dāng)。

證明：當(dāng)是次數(shù)為0的因子時(shí)，可以寫成

，

構(gòu)造引理中的亞純微分，這里。

如果是主要因子，令

亞純微分和具有相同的極點(diǎn)和留數(shù)，從而

為全純微分，我們得到

另外，我們有

,

整理后得到：

，

即

得到等式

這里

換言之，。

反之，如果，則存在整數(shù)，，使得

。

構(gòu)造亞純微分

，

則有

,

同理有

,

這里右側(cè)第一項(xiàng)

并且右側(cè)第二項(xiàng)

,

由此得到

。

因此，對(duì)于所有不經(jīng)過的封閉曲線, 我們都有，同時(shí)所有極點(diǎn)的留數(shù)都是整數(shù)。我們可以恰當(dāng)?shù)囟x亞純函數(shù)：

,

那么我們有。證明完畢。

小結(jié)

阿貝爾定理斷言，黎曼面上的一個(gè)次數(shù)為零的因子是主要因子的充要條件是其Abel-Jacobi的像為零。理論上，我們可以從主要因子反解出相應(yīng)的亞純函數(shù)，這對(duì)于很多工程問題起到了決定性的作用。但是，迄今為止，一般高虧格曲面上亞純函數(shù)、亞純微分的構(gòu)造性算法依然沒有被發(fā)明出來。我們希望有志青年投身到這個(gè)問題中去，早日取得實(shí)質(zhì)性突破。