AMC10/12試題分析之2008AMC12A25數(shù)列與矩陣

[vc_btn title="2021 AMC10/AMC12 報(bào)名" style="classic" color="primary" size="lg" align="center" link="url:https%3A%2F%2Fjinshuju.net%2Ff%2FXq7Rke%3Fx_field_1%3Dweb||target:%20_blank|rel:nofollow"]

2008AMC12A25數(shù)列與矩陣

題目用遞推關(guān)系定義了一個(gè)序列，我們先來(lái)理解這個(gè)遞推關(guān)系：

由(1)易知：

將(2)代入(1)，得：

化簡(jiǎn)得到：

由(2)得：

同理，

因此，

所以：

所以：

故選D.

我們都知道，很多AMC的學(xué)術(shù)活動(dòng)題有這樣的特點(diǎn)：如果僅借助現(xiàn)階段的知識(shí)體系，往往解法很繁瑣。這是因?yàn)檫@類題目往往來(lái)自高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的前置，如果掌握了該前置的知識(shí)點(diǎn)，就能得到出人意料的簡(jiǎn)潔解法。以這道題目為基礎(chǔ)，我們希望一起感受矩陣的妙用。

首先，請(qǐng)大家觀察遞推關(guān)系：

我們發(fā)現(xiàn)，該遞推關(guān)系可以用一個(gè)2*2矩陣來(lái)表示，而且每個(gè)2*2矩陣與??到??的線性變換一一對(duì)應(yīng)。由于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?角對(duì)應(yīng)的矩陣為：

因此，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?角對(duì)應(yīng)的矩陣為：

因此，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度角對(duì)應(yīng)的矩陣為：

在這種觀點(diǎn)下，我們發(fā)現(xiàn)題目中給出的遞推關(guān)系的矩陣可表示為：

因此，

至此，我們把一個(gè)看似很復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性變換的問(wèn)題，然后用矩陣的工具加以解決，避免了繁雜的運(yùn)算。經(jīng)過(guò)這個(gè)例子，我們得以一窺矩陣的作用。本題中，我們用到了線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)際上，對(duì)這一問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們有更深入的認(rèn)識(shí)，例如，可逆線性變換與可逆矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步的，可逆線性變換的全體構(gòu)成一個(gè)群，我們稱之為一般線性變換群。而一般線性變換群是群論表示理論以及代數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一個(gè)工具，數(shù)學(xué)家們用它去刻畫(huà)各種群變換的表示，以及給各種重要的代數(shù)做分類。