AMC10/12試題分析之2008AMC12A25數(shù)列與矩陣

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2008AMC12A25數(shù)列與矩陣

題目用遞推關(guān)系定義了一個序列，我們先來理解這個遞推關(guān)系：

由(1)易知：

將(2)代入(1)，得：

化簡得到：

由(2)得：

同理，

因此，

所以：

所以：

故選D.

我們都知道，很多AMC的學(xué)術(shù)活動題有這樣的特點：如果僅借助現(xiàn)階段的知識體系，往往解法很繁瑣。這是因為這類題目往往來自高等數(shù)學(xué)知識點的前置，如果掌握了該前置的知識點，就能得到出人意料的簡潔解法。以這道題目為基礎(chǔ)，我們希望一起感受矩陣的妙用。

首先，請大家觀察遞推關(guān)系：

我們發(fā)現(xiàn)，該遞推關(guān)系可以用一個2*2矩陣來表示，而且每個2*2矩陣與??到??的線性變換一一對應(yīng)。由于逆時針旋轉(zhuǎn)?角對應(yīng)的矩陣為：

因此，順時針旋轉(zhuǎn)?角對應(yīng)的矩陣為：

因此，逆時針旋轉(zhuǎn)度角對應(yīng)的矩陣為：

在這種觀點下，我們發(fā)現(xiàn)題目中給出的遞推關(guān)系的矩陣可表示為：

因此，

至此，我們把一個看似很復(fù)雜的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成線性變換的問題，然后用矩陣的工具加以解決，避免了繁雜的運算。經(jīng)過這個例子，我們得以一窺矩陣的作用。本題中，我們用到了線性變換與矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，實際上，對這一問題，數(shù)學(xué)家們有更深入的認識，例如，可逆線性變換與可逆矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，進一步的，可逆線性變換的全體構(gòu)成一個群，我們稱之為一般線性變換群。而一般線性變換群是群論表示理論以及代數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一個工具，數(shù)學(xué)家們用它去刻畫各種群變換的表示，以及給各種重要的代數(shù)做分類。

以上就是關(guān)于【AMC10/12試題分析之2008AMC12A25數(shù)列與矩陣】的解答，如需了解學(xué)校/賽事/課程動態(tài)，可至翰林教育官網(wǎng)獲取更多信息。

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