美國數學競賽題——符號金字塔

Hello，大家好，今天我們分享一道美國數學學術活動題。

先看題目：

我們先看一下這道題目的意思：在一個符號金字塔中，如果下面兩個符號相同，那么上面的符號就是+，如果下面兩個符號不同，那么上面的符號就是-。圖中的符號金字塔有四層，為了讓頂層的符號是+，那么底層的4個符號有多少種可能性？

首先需要理解這個題目的意思，上一層的符號是由下一層決定的。反過來，上一層的符號也決定了下一層的符號。

這題讓我們給出最底層的4個符號有多少種組合可能性？而頂層的要求已經給出來了，就是頂層必須是一個+。

我們可以采用反推的方法，如果想讓頂層是一個+，那么它們的下一層應該是兩個+或者兩個-。

而要讓上面的第二層是兩個+，那么第三層就應該是三個+或者三個-。

以此類推，要讓第三層是三個+，那么第四層就應該是4個+或者4個-。

于是，我們最終就得到下面的圖形，這是一個樹形圖，我們用枚舉方法將所有的可能性都列舉了出來。

列舉出來之后，我們發現上一層的每種情況都對應著下一層的兩種情況。即，最上層的每種情況對應第二層的2種情況，第二層的2種情況對應第三層的4種情況，而第三層的4種情況對應第四層的8種情況。

所以，從上到下數第n層的符號組合數量就有2的n-1次方。

這樣即使讓我們給出第100層的情況，我們也能立刻得到答案。