數學最終學什么？

美國的數學學術活動對于大部分的中國孩子而言，除了語言上的障礙外，題目本身的難度并不高，尤其對于中國被稱為“學術活動黨”的這批孩子而言，更是小菜一碟。但是，我很喜歡解美國數學學術活動題。因為在我看來，判斷題目的好壞并不在于題目本身的難度，而在于從題目中我們可以學到多少數學思維。在數學思維的訓練方面，我認為美國的數學學術活動是有其過人之處的。

讓我先從一道簡單的美國數學學術活動題開始。題目大致是這樣的：請問下圖中至少有一個點接觸到外邊界的三角形占了所有三角形數量的百分之幾？

這似乎是個非常簡單的題。當然，對于答案而言確實再簡單不過了。這里唯一有那么一點難度的，無非就是很多人讀不懂題目，無法理解什么叫做“至少有一個點接觸到外邊界”這句話。當然，還有人理解為要計算各種邊長的三角形數量，這個似乎把問題復雜化了。這里我們暫且只考慮最小的那種三角形。

我先來解釋這句話。我們知道，三角形由三條直線所構成，三條直線同時產生了三個角，顧名思義叫做“三角形（triangle）”。那么，顯而易見的是，下面的三角形是符合題目要求的。

這里很容易忽視的情況是，下面的這些三角形也同樣是符合題目要求的：

清楚了題目的意思，問題就變成簡單的數數了。但往往越是簡單的問題，越容易成為真正的問題。這道題我給很多孩子做過，但我發現他們很多人都是一個一個在數，這顯然并非出題者的本意。讓我從計算全部的小三角形開始說起。

如何計算全部的小三角形數量呢？我們可以從幾個不同的角度來思考這個問題。

解法一：最常規的思路，直接每層的三角形數加總求和。我們觀察發現，這是一個10層由等邊三角形堆積而成的圖形。第一層1個三角形，第二層3個三角形，第三層5個三角形，……，第十層19個三角形。于是，問題就變為進行等差數列“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”求和了。對于大部分孩子而言，這是很簡單的高斯求和問題，答案是：（1＋19）×10÷2＝100個。假如孩子熟悉平均數移多補少的思想，直接用這10個數字中間的兩個數9和11的平均數來計算：（9＋11）÷2×10＝100個，也可以得到同樣的結果。

解法二：按照三角形的形狀分步計算，先計算△形狀的三角形，再計算▽形狀的三角形，最后兩者相加求和?！餍螤畹娜切螖禐椋?＋2＋3＋…＋9＋10＝55個；▽形狀的三角形數為：1＋2＋3＋…＋9＝45個；兩者相加：55＋44＝100個。

解法三：大膽探索，尋找規律。對于等差數列“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”，大部分人的做法無非是解法一中的兩種方法，要么高斯求和，要么用平均數的思想。其實，這里還有更加巧妙的計算方法。由于這是一個累加的計算，那么我們來尋找一下累加的過程中可以發現什么有趣的規律呢？我把累加過程做了一個表格。

我們經過計算發現，最后的結果居然是一個平方數。這是一個重要的發現，因為這意味著哪怕問題變為20層、50層、100層甚至更多的三角形堆積，我們同樣可以快速而又準確地知道全部三角形的數量。這可能是這道題最重要的啟發之一。

那么為何“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”求和會是一個平方數呢？我們看下面的圖形應該馬上可以明白其中的原因了，證明過程可謂是“proof without words”。

知道了如何快速計算這個結果，我們再回頭看如何計算題目所要求的“至少有一個點接觸到外邊界的三角形”數量。這里同樣有不同的角度可以進行計算。

解法一：因為這個堆積而成的大三角形本身也和小三角形一樣，是一個等邊三角形，那么我們只要計算其中一條邊就可以了。先計算△形狀的三角形，數量有10個，因為有10層；▽形狀的三角形是穿插在兩個△形狀的三角形中間，熟悉間隔問題的同學們很快可以報出答案，是9個。于是，每條邊上符合題目要求的三角形有：10＋9＝19個。因而，三條邊一共有19×3＝57個。這里容易忽略的是邊與邊之間還有重復計算的三角形數，每個角有兩個三角形是重復計算的，故而有3×2＝6個三角形是重復計算的，需要減去。因此，符合“至少有一個點接觸到外邊界的三角形”數量為57－6＝51個。于是，最終的答案就是：51÷100＝51%。

解法二：通過全部三角形數量減去不符合條件的三角形數量而得到答案。前面已經計算，全部的三角形數一共是100個。那么不符合條件的三角形數量有幾個呢？我們觀察發現，不符合題目條件的三角形是一個7層小三角形堆積而成的形狀，因此根據我們前面發現的規律，一共有：7×7＝49個。兩者相減為：100－49＝51個。同樣可以得到答案。

通過如此簡單的一道題目，我們學到了很多的數學知識和思維方式。這就是為什么我認為從啟發數學思維的角度來看，美國的數學學術活動題是我喜歡的類型。

再來解一道題，很常見的問題：將一個圓形紙片用直線劃分成若干部分，請問：用5條直線最多可將圓形紙片劃分成多少部分？

同樣，只要多試幾次，我們很容易知道答案為16。但是，其實這不重要，這個答案不是這個問題想要傳達給我們的知識，重要的是我們要從簡單的數字中去發現規律，哪怕最后問題變為10條線、20條線甚至100條線，我們也可以快速回答出來。

題目要求的是5條直線，我們一開始是很難知道16這個答案的，我們需要從簡單的數字中去探索規律。1條和2條因為數字太簡單，似乎很難發現一般性的規律，那么我們通常選擇一個折中的數字，比如3條線。為了發現如何畫可以盡可能多地分割這個圓，我給孩子們進行了示范。如下圖所示：

我們經過觀察發現，3條線要分割出盡可能多的塊數，應該使得新劃上去的直線與原有的直線在圓的內部都相交，而且交點要不出現重合。為了讓規律來得更加顯而易見，我列了一個表格，其中一列為直線數，第二列為分割的快數，第三列為新增的快數，最后一列為我們可以發現的規律。如圖所示：

這是一個非常美妙的結果，也意味著哪怕題目要求50條直線甚至100條直線，我們都能馬上得到準確的答案。

這兩道題之所以拿出來說，是因為我發現，很多孩子學數學只關心答案而不注重思考的過程。我多次說過：答案對很多時候只是巧合，不代表真正理解；思維方式和思考過程對了，答案只是水到渠成的事情。

我們從小學到大學，大部分的數學知識在我們走上社會之后都是用不到的，只有少部分人會用到復雜的數學知識。學習數學，最重要的不是追求那個答案，而是從數學解題過程中我們能得到不斷訓練的思維能力、推理能力、創造能力，等等。這些才是伴隨我們終生的能力，也是學習數學可以給予我們的最重要的東西。

很可惜，現在的教育在這方面做得很糟糕，出現了很多的問題。教孩子機械地背公式、記答案、學解題套路，而忽略了學數學要掌握的最重要的方面。我遇到過一些孩子，看到問題先是告訴我這是“某某問題”，然后背一下這個問題可能會用到的公式。然后，遺憾的是，背完公式之后就沒有然后了……還有一些孩子告訴我，他們的老師都是這么教他們的，叫他們必須背公式，從來不問為什么。如果我認同這樣的方法，我就不做現在的事情了。

然而，這究竟是為什么呢？我想，很多方面都是值得我們反思的！