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UKMT-SMC英國高級數學挑戰賽落幕！

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2025 SMC英國數學競賽考情

基礎部分（低難度題）

得分關鍵集中于數論，其次是幾何。確保這部分題目的正確率是基石。

進階部分（中高難度題）

代數是核心區分點。學生需在掌握公式的基礎上，靈活運用換元法等技巧解決中檔題；而對于第17、18題等非常規創新題型，則需融會貫通特殊值法、整體換元法等高級策略，并強化分類討論與邏輯分析能力。

知識交叉應用

沖刺高分的同學重點關注代數（特殊值法，整體換元法），提升分類討論、分析能力。另外需要掌握函數及其圖像的基礎（比如基本的函數圖像，單調特性），可以嘗試使用三角函數公式、解析幾何的方式解答較難幾何問題。

SMC數學競賽核心考察的知識點

一、核心知識領域

數論 ? 整除性：

質數、合數、因數、倍數、最大公約數、最小公倍數。

模運算：

奇偶性分析、余數問題、數的性質判斷。這是SMC的高頻考點，雖然不要求掌握高深的模運算理論，但需要會用余數進行巧妙分類討論。

數字謎與數字性質：

涉及數字排列、特定數字組成的數的性質等。

典型題型： “找到一個數滿足某些余數條件”、“判斷一個較大數的某位數字是多少”、“關于質數的證明或找反例”。

代數 ? 方程與方程組：

一元二次方程（韋達定理的應用）、高次方程、對稱方程組、巧妙的代換消元技巧。

數列與求和： 等差數列、等比數列，以及一些非常規數列的模式識別和求和技巧。

代數式變形與因式分解：

恒等變形、對稱式、輪換式的處理。

函數： 主要考察一次函數和二次函數的圖像與性質，以及對新定義函數的理解。

不等式： 基礎的不等式比較，均值不等式、柯西不等式等基本形式的簡單應用（更多是靠觀察和拼湊，而非復雜證明）。

幾何 ? 平面幾何：

三角形（全等、相似、面積、四心）、圓（切線、弦、圓周角、圓心角）、多邊形（內角和、面積計算）、勾股定理。

解析幾何： 直線方程、圓的方程、點到直線的距離。但SMC更傾向于用純幾何或向量方法簡潔地解決問題。

立體幾何： 相對較少，但可能涉及簡單幾何體的體積、表面積計算，或者空間想象問題。

核心思想： SMC的幾何題非常注重 添加輔助線、尋找相似關系、利用對稱性 等洞察力。

組合數學 這是SMC最具特色和挑戰性的部分，完全考察邏輯思維和計數技巧。

計數原理：

加法原理、乘法原理。有重復或限制條件的排列組合問題。

鴿巢原理： 經常出現，需要學生能構造出合適的“鴿子”和“鴿巢”。

概率： 基礎的概率計算，通常與計數問題結合。

圖論與操作問題： 例如“最少需要多少步完成一個任務”、“能否實現某種狀態”等問題。

邏輯推理： 需要根據題目條件進行嚴密的邏輯推演。

數學思維與解題策略（隱性但最重要的知識點） ? 模式識別： 快速發現數字、圖形或操作中的規律。

極端原理： 考慮最大值、最小值、邊界情況等。

不變量與單變量： 在變化過程中找到保持不變的量或單調變化的量。

對稱性： 利用對稱性簡化問題。

枚舉與分類討論： 有條理地列出所有可能情況。

二、題型與解題技巧特點

● ? 選擇題形式：

SMC是25道單項選擇題，答對得4分，答錯扣1分，不答得0分。這要求學生在“猜測”時需要謹慎，必須有足夠把握才可猜題。

● ? 題目順序：

通常前10題相對基礎，中間10題難度上升，最后5題是真正的挑戰。知識點分布是混合的。

● ? 技巧性強：

很多題目都有“巧解”，可能繞過繁瑣的計算，通過一個關鍵的洞察就能快速解答。例如，代入特殊值、檢驗選項、利用幾何直觀等。