陶哲軒：什么是好數(shù)學(xué)？

譯者序：

本文譯自澳大利亞數(shù)學(xué)家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?” (arXiv:math/0702396v1 [math.HO])。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學(xué)、 解析數(shù)論等領(lǐng)域的大師級(jí)的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng) Fields 獎(jiǎng)， 成為該獎(jiǎng)項(xiàng)七十年來最年輕的獲獎(jiǎng)?wù)咧弧?美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) (AMS) 對(duì) Tao 的評(píng)價(jià)是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的獨(dú)創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點(diǎn)融為一體”。 著名數(shù)學(xué)家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎(jiǎng)得主) 的評(píng)價(jià)則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 Tao 雖然已經(jīng)具有了世界性的聲譽(yù)， 但由于他的年輕， 多數(shù)人 (尤其是數(shù)學(xué)界以外的人) 對(duì)他的了解仍很有限。

Tao 的這篇短文在一定程度上闡述了他的數(shù)學(xué)觀， 在這點(diǎn)上類似于英國數(shù)學(xué)家 Hardy 的名著《A Mathematician's Apology》， 相信會(huì)讓許多讀者感興趣 (如果哪位讀者想接受 Fefferman 的忠告， 讓自己的問題有朝一日引起 Tao 的興趣， 那么讀一讀這篇文章可能會(huì)有所助益:-)。 不過 Tao 的這篇文章遠(yuǎn)比《A Mathematician's Apology》難讀得多。 從表面上看， 它不帶任何數(shù)學(xué)公式， 這點(diǎn)甚至比《A Mathematician's Apology》做得更為徹底 (后者還帶有一些諸如 12+12=2 之類的公式)， 但實(shí)際上， 文章的主要部分 - 即第二節(jié) (對(duì)應(yīng)于譯文?中篇?的全部及?下篇的大部分) - 所涉及的數(shù)學(xué)概念相當(dāng)密集， 足以給非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者造成很大的困難， 因此譯文對(duì)譯者知識(shí)所及且能用簡短方式加以說明的若干概念進(jìn)行了注釋。

1. 數(shù)學(xué)品質(zhì)的諸多方面

我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)家應(yīng)該努力創(chuàng)造好數(shù)學(xué)。 但 “好數(shù)學(xué)” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個(gè)問題。 我們幾乎立刻能夠意識(shí)到有許多不同種類的數(shù)學(xué)都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數(shù)學(xué)” 可以指 (不分先后順序)：

 

1. 好的數(shù)學(xué)題解 (比如在一個(gè)重要數(shù)學(xué)問題上的重大突破)；
2. 好的數(shù)學(xué)技巧 (比如對(duì)現(xiàn)有方法的精湛運(yùn)用， 或發(fā)展新的工具)；
3. 好的數(shù)學(xué)理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結(jié)果的概念框架或符號(hào)選擇)；
4. 好的數(shù)學(xué)洞察 (比如一個(gè)重要的概念簡化， 或?qū)σ粋€(gè)統(tǒng)一的原理、 啟示、 類比或主題的實(shí)現(xiàn))；
5. 好的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) (比如對(duì)一個(gè)出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、 關(guān)聯(lián)或反例的揭示)；
6. 好的數(shù)學(xué)應(yīng)用 (比如應(yīng)用于物理、 工程、 計(jì)算機(jī)科學(xué)、 統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的重要問題， 或?qū)⒁粋€(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)果應(yīng)用于另一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域)；
7. 好的數(shù)學(xué)展示 (比如對(duì)新近數(shù)學(xué)課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個(gè)清晰而動(dòng)機(jī)合理的論證)；
8. 好的數(shù)學(xué)教學(xué) (比如能讓他人更有效地學(xué)習(xí)及研究數(shù)學(xué)的講義或?qū)懽黠L(fēng)格， 或?qū)?shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn))；
9. 好的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見 (比如富有成效的長遠(yuǎn)計(jì)劃或猜想)；
10. 好的數(shù)學(xué)品味 (比如自身有趣且對(duì)重要課題、 主題或問題有影響的研究目標(biāo))；
11. 好的數(shù)學(xué)公關(guān) (比如向非數(shù)學(xué)家或另一個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家有效地展示數(shù)學(xué)成就)；
12. 好的元數(shù)學(xué) (比如數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、 哲學(xué)、 歷史、 學(xué)識(shí)或?qū)嵺`方面的進(jìn)展)；?[譯者注： 此處 “元數(shù)學(xué)” 譯自 “meta-mathematics”， 不過這里所舉的有些內(nèi)容， 如歷史、 實(shí)踐等， 通常并不屬于元數(shù)學(xué)的范疇。]
13. 嚴(yán)密的數(shù)學(xué) (所有細(xì)節(jié)都正確、 細(xì)致而完整地給出)；
14. 美麗的數(shù)學(xué) (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結(jié)果)；
15. 優(yōu)美的數(shù)學(xué) (比如 Paul Erd?s 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結(jié)果)；?[譯者注： “來自天書的證明” 譯自 “proofs from the Book”。?Paul Erd?s?喜歡將最優(yōu)美的數(shù)學(xué)證明說成是來自 “the Book” (我將之譯為 “天書”)， 他有這樣一句名言： 你不一定要相信上帝， 但應(yīng)該相信 “the Book”。?Erd?s?去世后的第三年， 即 1998 年，?Martin Aigner?和?Günter M. Ziegler?以《Proofs from THE BOOK》為書名出版了一本書， 收錄了幾十個(gè)優(yōu)美的數(shù)學(xué)證明， 以紀(jì)念?Erd?s。]
16. 創(chuàng)造性的數(shù)學(xué) (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點(diǎn)或各類結(jié)果)；
17. 有用的數(shù)學(xué) (比如會(huì)在某個(gè)領(lǐng)域的未來工作中被反復(fù)用到的引理或方法)；
18. 強(qiáng)有力的數(shù)學(xué) (比如與一個(gè)已知反例相匹配的敏銳的結(jié)果， 或從一個(gè)看起來很弱的假設(shè)推出一個(gè)強(qiáng)得出乎意料的結(jié)論)；
19. 深刻的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)明顯非平凡的結(jié)果， 比如理解一個(gè)無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象)；
20. 直觀的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)自然的、 容易形象化的論證)；
21. 明確的數(shù)學(xué) (比如對(duì)某一類型的所有客體的分類； 對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)課題的結(jié)論)；
22. 其它。

上述列舉無意以完備自居。 尤其是， 它主要著眼于研究性數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)， 而非課堂、 教材或自然科學(xué)等接近數(shù)學(xué)的學(xué)科中的數(shù)學(xué)。

 

如上所述， 數(shù)學(xué)品質(zhì)這一概念是一個(gè)高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標(biāo)準(zhǔn)排序。

特別值得指出的是數(shù)學(xué)嚴(yán)格性雖然非常重要， 卻只是界定高品質(zhì)數(shù)學(xué)的因素之一。

我相信這是由于數(shù)學(xué)本身就是復(fù)雜和高維的， 并且會(huì)以一種自我調(diào)整及難以預(yù)料的方式而演化； 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個(gè)群體增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解及運(yùn)用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對(duì)重要性或權(quán)重， 看來并無普遍的共識(shí)。 這部分地是由于技術(shù)上的考慮： 一個(gè)特定時(shí)期的某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展也許更易于接納一種特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考慮： 任何一個(gè)特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)W派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數(shù)學(xué)家。 它同時(shí)也反映了數(shù)學(xué)能力的多樣性： 不同的數(shù)學(xué)家往往擅長不同的風(fēng)格， 因而適應(yīng)不同類型的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。

 

我相信 “好數(shù)學(xué)” 的這種多樣性和差異性對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)來說是非常健康的， 因?yàn)樗试S我們?cè)谧非蟾嗟臄?shù)學(xué)進(jìn)展及更好的理解數(shù)學(xué)這一共同目標(biāo)上采取許多不同的方法， 并開發(fā)許多不同的數(shù)學(xué)天賦。 雖然上述每種品質(zhì)都被普遍接受為是數(shù)學(xué)所需要的品質(zhì)， 但犧牲其它所有品質(zhì)為代價(jià)來單獨(dú)追求其中一兩種卻有可能變成對(duì)一個(gè)領(lǐng)域的危害。 考慮下列假想的 (有點(diǎn)夸張的) 情形：

• 一個(gè)領(lǐng)域變得越來越華麗怪異， 在其中各種單獨(dú)的結(jié)果為推廣而推廣， 為精致而精致， 而整個(gè)領(lǐng)域卻在毫無明確目標(biāo)和前進(jìn)感地隨意漂流。
• 一個(gè)領(lǐng)域變得被令人驚駭?shù)牟孪胨涑猓?卻毫無希望在其中任何一個(gè)猜想上取得嚴(yán)格進(jìn)展。
• 一個(gè)領(lǐng)域變得主要通過特殊方法來解決一群互不關(guān)聯(lián)的問題， 卻沒有統(tǒng)一的主題、 聯(lián)系或目的。
• 一個(gè)領(lǐng)域變得過于枯燥和理論化， 不斷用技術(shù)上越來越形式化的框架來重鑄和統(tǒng)一以前的結(jié)果， 后果卻是不產(chǎn)生任何令人激動(dòng)的新突破。
• 一個(gè)領(lǐng)域崇尚經(jīng)典結(jié)果， 不斷給出這些結(jié)果的更短、 更簡單及更優(yōu)美的證明， 但卻不產(chǎn)生任何經(jīng)典著作以外的真正原創(chuàng)的新結(jié)果。

 

在上述每種情形下， 有關(guān)領(lǐng)域會(huì)在短期內(nèi)出現(xiàn)大量的工作和進(jìn)展， 但從長遠(yuǎn)看卻有邊緣化和無法吸引更年輕的數(shù)學(xué)家的危險(xiǎn)。 幸運(yùn)的是， 當(dāng)一個(gè)領(lǐng)域不斷接受挑戰(zhàn)， 并因其與其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域 (或相關(guān)學(xué)科) 的關(guān)聯(lián)而獲得新生， 或受到并尊重多種 “好數(shù)學(xué)” 的文化熏陶時(shí)， 它不太可能會(huì)以這種方式而衰落。 這些自我糾錯(cuò)機(jī)制有助于使數(shù)學(xué)保持平衡、 統(tǒng)一、 多產(chǎn)和活躍。

 

現(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)而考慮前面提出的另一個(gè)問題， 即我們到底該不該試圖對(duì) “好數(shù)學(xué)” 下定義。 下定義有讓我們變得傲慢自大的危險(xiǎn)， 特別是， 我們有可能因?yàn)橐粋€(gè)真正數(shù)學(xué)進(jìn)展的奇異個(gè)例不滿足主流定義而忽視它。

一個(gè)相關(guān)的困難是， 除了數(shù)學(xué)嚴(yán)格性這一引人注目的例外， 上述品質(zhì)大都有點(diǎn)主觀， 因而含有某種不精確性與不確定性。 我們感謝 Gil Kalai 強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。

另一方面， 相反的觀點(diǎn) - 即在任何數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中所有方法都同樣適用并該得到同樣資源，

稀缺資源的例子包括錢、 時(shí)間、 注意力、 才能及頂尖刊物的版面。

或所有數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)都同樣重要 - 也是有風(fēng)險(xiǎn)的。 那樣的觀點(diǎn)就其理想主義而言也許是令人欽佩的， 但它侵蝕了數(shù)學(xué)的方向感和目的感， 并且還可能導(dǎo)致數(shù)學(xué)資源的不合理分配。

這一問題的另一個(gè)解決方法是利用數(shù)學(xué)資源也是多維這一事實(shí)。 比如人們可以為展示、 創(chuàng)造性等等設(shè)立獎(jiǎng)項(xiàng)， 或?yàn)椴煌愋偷某晒O(shè)立不同的雜志。 我感謝 Gil Kalai 對(duì)這一點(diǎn)的洞察。

真實(shí)的情形處于兩者之間， 對(duì)于每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域， 現(xiàn)存的結(jié)果、 傳統(tǒng)、 直覺和經(jīng)驗(yàn) (或它們的缺失) 預(yù)示著哪種方法可能會(huì)富有成效， 從而應(yīng)當(dāng)?shù)玫酱蠖鄶?shù)的資源； 哪種方法更具試探性， 從而或許只要少數(shù)有獨(dú)立頭腦的數(shù)學(xué)家去進(jìn)行探究以避免遺漏。 比方說， 在已經(jīng)發(fā)展成熟的領(lǐng)域， 比較合理的做法也許是追求系統(tǒng)方案， 以嚴(yán)格的方式發(fā)展普遍理論， 穩(wěn)妥地延用卓有成效的方法及業(yè)已確立的直覺； 而在較新的、 不太穩(wěn)定的領(lǐng)域， 更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的也許是提出和解決猜想， 嘗試不同的方法， 以及在一定程度上依賴不嚴(yán)格的啟示和類比。 因此， 從策略上講比較合理的做法是， 在每個(gè)領(lǐng)域內(nèi)就數(shù)學(xué)進(jìn)展中什么品質(zhì)最應(yīng)該受到鼓勵(lì)做一個(gè)起碼是部分的 (但與時(shí)俱進(jìn)的) 調(diào)查， 以便在該領(lǐng)域的每個(gè)發(fā)展階段都能最有效地發(fā)展和推進(jìn)該領(lǐng)域。 比方說， 某個(gè)領(lǐng)域也許急需解決一些緊迫的問題； 另一個(gè)領(lǐng)域也許在翹首以待一個(gè)可以理順大量已有成果的理論框架， 或一個(gè)宏大的方案或一系列猜想來激發(fā)新的結(jié)果； 其它領(lǐng)域則也許會(huì)從對(duì)關(guān)鍵定理的新的、 更簡單及更概念化的證明中獲益匪淺； 而更多的領(lǐng)域也許需要更大的公開性， 以及關(guān)于其課題的透徹介紹， 以吸引更多的興趣和參與。 因此， 對(duì)什么是好數(shù)學(xué)的確定會(huì)并且也應(yīng)當(dāng)高度依賴一個(gè)領(lǐng)域自身的狀況。 這種確定還應(yīng)當(dāng)不斷地更新與爭論， 無論是在領(lǐng)域內(nèi)還是從通過旁觀者。 如前所述， 有關(guān)一個(gè)領(lǐng)域應(yīng)當(dāng)如何發(fā)展的調(diào)查， 若不及時(shí)檢驗(yàn)和更正， 很有可能會(huì)導(dǎo)致該領(lǐng)域內(nèi)的不平衡。

 

上面的討論似乎表明評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)品質(zhì)雖然重要， 卻是一件復(fù)雜得毫無希望的事情， 特別是由于許多好的數(shù)學(xué)成就在上述某些品質(zhì)上或許得分很高， 在其它品質(zhì)上卻不然； 同時(shí)， 這些品質(zhì)中有許多是主觀而難以精確度量的 (除非是事后諸葛)。 然而， 一個(gè)令人矚目的現(xiàn)象是：

 

這一現(xiàn)象與 Wigner 所發(fā)現(xiàn)的 “數(shù)學(xué)的不合理有效性” (unreasonable effectiveness of mathematics) 有一定的關(guān)聯(lián)。?[譯者注：?Wigner?的這一說法見于他 1960 年發(fā)表的文章?The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences。]

上述一種意義上的好數(shù)學(xué)往往傾向于引致許多其它意義上的好數(shù)學(xué)， 由此產(chǎn)生了一個(gè)試探性的猜測(cè)， 即有關(guān)高品質(zhì)數(shù)學(xué)的普遍觀念也許畢竟還是存在的， 上述所有特定衡量標(biāo)準(zhǔn)都代表了發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)的不同途徑， 或一個(gè)數(shù)學(xué)故事發(fā)展過程中的不同階段或方面。（未完待續(xù)）

 

作者陶哲軒著作：

《陶哲軒教你學(xué)數(shù)學(xué)》

《陶哲軒實(shí)分析（第3版）》

 

 

本書論述解決數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)涉及的各種策略、方法，旨在激發(fā)青少年對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。書中涵蓋的內(nèi)容包括：數(shù)論、代數(shù)、分析、歐幾里得幾何、解析幾何。

 

本書是國際知名數(shù)學(xué)家陶哲軒15歲時(shí)的著作，從青少年的角度分析數(shù)學(xué)問題，主要是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)等智力謎題，用學(xué)生的語言解釋思考過程，完整展現(xiàn)了少年陶哲軒的解題思路。本書啟發(fā)性強(qiáng)，既能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、培養(yǎng)思維邏輯，又能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。

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本書主要介紹數(shù)學(xué)分析中的一些內(nèi)容，以構(gòu)造數(shù)系和集合論開篇，逐漸深入到級(jí)數(shù)、函數(shù)等高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，舉例詳實(shí)，每部分內(nèi)容后的習(xí)題與正文內(nèi)容密切相關(guān)，有利于讀者掌握所學(xué)的內(nèi)容。本書在附錄部分還介紹了數(shù)理邏輯基礎(chǔ)和十進(jìn)制，突出了嚴(yán)格性和基礎(chǔ)性。