據(jù)說95%的人解不出這道題，你敢挑戰(zhàn)嗎？

Category: 高端夏校 Date: 2018年7月2日下午8:30

你可能已經(jīng)在朋友圈看到過很多類似什么“史上最難數(shù)學題”之類的問題等等，它們很多都是一些標題黨，“問題”要么很空洞，要么偷換概念，要么就是無關緊要的腦筋急轉彎。以至于你看到下面這張圖的時候，覺得它是這樣的人畜無害，簡單易解，那么你就錯了！

這個問題可不是標題黨。這張圖片就是一個精明的，或者說陰險的圈套。它的確是可解的，但那真的真的不得了的難。好了，讓我們開始吧！

我們求解的是這個方程的整數(shù)解

首先就題而言，方程涉及有理函數(shù)（多項式除多項式的函數(shù)形式），但很顯然我們可以用通分移項的方法化成一個多項式函數(shù)，所以我們實際上解得是一個丟番圖方程（Diophantine equation）。正數(shù)解的要求有一點不同尋常，接下來我們會看到這個要求會讓問題變得多么難。

變形

很明顯，我們有三個變量，分別是a、b、c。這個方程是齊次的。這意味著如果（a，b，c）是方程的一個特解的話，那（7a，7b，7c）也是它的解。你能看出為什么嗎？給每一個變量乘一個常數(shù)沒有改變方程的結構（7只是一個例子），因為分子分母全部都約掉了。

降維

這意味著這個方程看上去像是三維的，但它實際上只有兩維。在幾何學中，它對應著一個面（一個三元方程一般定義一個兩維的面。一般來說，k個n元方程定義一個d維的流形，d=n-k）。這個面是由一條過原點的線旋轉形成的，可以通過截取的單平面來理解。這是一條射影曲線。一般來說，齊次方程的整數(shù)解對應一個低一個維度的非齊次方程的有理數(shù)解。

這個方程的次數(shù)是什么？

我們這個方程是三次的。合并同類項后，方程整理如下：

你可能會反對這樣的變形：因為這樣獲得的解可能恰好使某個分母等于0，使得原方程沒有意義。這是對的，我們的新方程的確有些解不與原方程對應。但這是好事（@F91）。這個多項式形式給原方程打上了一些補丁使得它便于處理；對于我們找到的任何特解，只需要代入原方程檢驗一下分母等不等于0就可以了。

事實上，多項式方程很容易找到某個特解，比如說， a=?1 ，b=1, c=0。這是好事：我們有了有理數(shù)解，或者說有理點。這意味著我們的立體方程（3維）實際上是個橢圓曲線。當你發(fā)現(xiàn)這個方程是橢圓曲線時，你會喜出望外，然后悲從中來，因為你發(fā)現(xiàn)橢圓曲線問題是個龐然大物（學渣哇的一聲哭出來）。

首先，我們需要把橢圓曲線化成魏爾斯特拉斯（注：Weierstrass，提起他最著名的成就就是嚴密化微積分的ε-δ語言）形式。這是一個長得像這樣的等式：

或者有時候也會化成

?(這被稱為長魏爾斯特拉斯形式。它并不是嚴格必需的，但有時候會帶來一些便利)對于我們而言，需要的變換由令人生畏的公式導出。

一旦你完成了這些變形，沉悶但異常直白的代數(shù)計算可以證明它是對的。

這個方程盡管看起來和原方程長得不怎么像，但確是如假包換的可靠模型。在圖像上它長成這樣，一條有著兩個實部的經(jīng)典橢圓曲線：

右邊的“魚尾”連續(xù)延伸至正負無窮。左邊的封閉橢圓曲線將成為解決問題的契機。給定這個方程的任意解（x，y），你都可以通過下面的等式還原所求的a，b，c：

讓我們來看看手里的這個例子。它的橢圓曲線存在一個很好的有理數(shù)點：x=?100, y=260。可能找到這個點不太容易，但檢驗它在曲線上就很簡單了：直接代入原方程檢驗等式兩邊是否相等。現(xiàn)在，一旦你在橢圓曲線上找到了有理數(shù)點，如P（-100,260），你就可以利用弦切技巧進行加法，生成其它的有理數(shù)點（有理數(shù)的加法是封閉的，有理數(shù)加有理數(shù)還是有理數(shù)）。

一開始，我們可以通過作P點的切線，找到它和曲線再次相交的點，以此增加P點的值。結果開始變得有點嚇人

這個新的點也對應一組a，b，c的值,(a,b,c)=(9499,?8784,5165)這個解用手算很困難，但用電腦就是小意思了。然而，它還不是正的。當然，困難嚇不倒我們，我們繼續(xù)計算3P=2P+P，操作方法就是連接P和2P找到與曲線的第三個交點再與O點相連找到第四個交點。同樣的，我們計算a，b，c，然而還是同樣的，結果不是正數(shù)。以此類推，計算4P，5P等等等等。直到我們計算到9P。

很明顯這不是人算的了，但交給機器，這也就是9次簡單的幾何程序迭代。對應的a，b，c值也很恐怖：

這些是80位數(shù)！你不可能通過暴力計算找到一個80位數(shù)。上述的丟番圖方程就是一個系數(shù)很小但整數(shù)解位數(shù)巨大的駭人案例。稍稍將方程改動一下，解就會迅速增長到蓋過我們這個“可憐的”、“渺小的”宇宙的任何事物。何其美妙、何其揶揄的小小方程！

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