A-level微積分丨鏈?zhǔn)椒▌t為什么不可以約分？

鏈?zhǔn)椒▌t作為微積分入門時必須get到的技能之一，真的是傷害了很多同學(xué)。直到學(xué)完了進(jìn)階的最后一個模塊，還是有同學(xué)問我：“老師，不可以約分嗎？”Wendy老師慎重的告訴你：“不約！”先來講會道理~

 

1.1 通過物理模型來理解鏈?zhǔn)椒▌t

 

 

我們通過理想齒輪和皮帶傳動這樣一個物理模型來理解鏈?zhǔn)椒▌t：

 

 

解釋一下，上面動畫中，有三個齒輪，其中 x齒輪自己有動力，我們可以把它看作自變量，而 u齒輪和 x齒輪通過皮帶連接起來的時候， u的轉(zhuǎn)動就和 x相關(guān)了，所以 u可以看作是 x的函數(shù)，所以 u的轉(zhuǎn)動速度和 x的速度相關(guān)（根據(jù)物理知識，還跟兩個齒輪的半徑比值有關(guān)）。 du/dx就是 u的速度相對于 x速度的變化率（說人話就是 u速度是x 速度的幾倍）。而連接 y和 x的皮帶的話就相當(dāng)于建立了一個復(fù)合函數(shù)。

 

觀察并操作上面的動畫，容易看出：，可以對鏈?zhǔn)椒▌t建立直觀印象。

 

1.2 理解誤區(qū)

 

鏈?zhǔn)椒▌t本身還是很好記憶的，尤其是這種形式：，感覺 du仿佛可以消去一樣：

 

 

這種理解是錯誤的，這只是一個巧合。兩個 du并非同一個函數(shù)。

 

 

 

注意這兩幅圖的坐標(biāo)是不一樣的。

 

 

自然無法消去，只是看起來好像可以消去：

 

1.2.1 一階微分不變性

 

 

一階微分不變性實際上和鏈?zhǔn)椒▌t是等價的。我們回頭來看看剛才橫坐標(biāo)為 u的圖：

 

 

1.3 小結(jié)

 

在一階求導(dǎo)、積分的時候，把 du看作可以消除的量似乎運轉(zhuǎn)的很好，但是這些都是巧合（或者說是微積分符號設(shè)計上的巧妙，這得歸功于萊布尼茲）。雖然這種誤解有助于我們記憶某些定理、公式，但我們一定要知道為什么？

 

 

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