2023 AP微積分考綱解讀：微積分AB/BC區別與選擇、重難點與備考策略

美國大學理事會舉辦的AP考試的微積分科目，分為微積分AB和微積分BC，這兩門課注重學生對微積分概念的理解，并提供方法和應用經驗。
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微積分這門學科從極限入手，引出微積分的重要概念、定義、公式和定理以及各類重要應用。這是一門強調推理論證、方法技巧以及應用的學科。

本次帶來AP考綱解讀的是翰林數學G老師

翰林數學G老師
北京大學碩士
● 曾獲得全國大學生數學建模學術活動一等獎、全國高中數學聯賽二等獎，全國希望杯數學學術活動三等獎
● 持有高中數學教師資格證以及各類學術活動獲獎證書
● 輔導學生AMC8/10/12進入復賽以及獲獎接近50%，AMC12最高分123；AMC10最高分132；

AP微積分AB/BC區別與選擇

學習AP微積分之前，需要有一定的數學基礎，比如代數、幾何、三角學、解析幾何和初等函數等 ，這些函數包括線性函數、多項式、有理函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數和分段定義函數，并掌握函數的性質、運算法則和圖像。還必須理解函數的語言(域和范圍、奇數和偶數、周期、對稱、零、截距以及諸如遞增和遞減之類的描述符)。

另外，也需要知道知道如何從單位圓定義正弦和余弦函數，以及在0、π/6、π/4、π/3、π/2及其倍數處的三角函數值。

出分率對比

AP微積分BC的內容全覆蓋微積分AB內容，難度也更大，它相當于大學第一學期和第二學期的微積分課程。兩門課有百分之六七十的重合度，但其實每年AP微積分BC的5分率都大大高于AP微積分AB的5分率。AB每年的5分率約在19%，BC每年的5分率約在40%。

另外AP微積分BC在大學的認可度和能夠轉換學分的概率都更高。參加微積分BC的考試之后，可以拿到兩個分數，一個是BC的，一個適合AB的。微積分BC拿到滿分5分的情況下，也會獲贈微積分AB的滿分成績，這就是常常出現的微積分雙5分的情況。

AP微積分5分率這么高的一個原因是：AP微積分的容錯率非常高。滿分108分的卷子只需要拿到70分左右就可以拿到5分，基本是三分之二的正確率即可。
知識點對比
下面我們來看看AP微積分AB與BC的考點分布：
● 第1單元：極限與連續性
● 第2單元：微分：定義和基本屬性
● 第3單元：微分：復合函數、隱函數和反函數
● 第4-5單元：微分的各類應用
● 第6單元：積分
● 第7單元：微分方程
● 第8單元：積分應用
● 第9單元：參數方程、極坐標和向量方程
● 第10單元：無窮序列和級數
AP微積分AB與BC的主要區別在第九單元和第十單元，這兩個章節是BC only的，包括參數方程，極坐標系，向量方程，以及無窮級數部分。

其他章節的內容覆蓋也有部分區別：
● 第3-5單元微分以及應用部分，多了極坐標方程，參數方程求導，在motion中多了二維運動，求切線中增加了polar形式的切線求解；
● 第6單元積分部分，BC會包含分部積分法，分式拆分法以及瑕積分；
● 第7單元微分方程部分，BC會包含歐拉公式，以及logistic模型；
● 第8單元積分應用部分，BC會包含弧長積分，曲線路徑積分，增加參數形式的定積分和二維運動等。

下圖是選擇題的單元知識點分布表：
可以看到第九單元和第十單元占了BC的30%左右，而這最后兩個章節，尤其無窮級數是重難點部分。其實選擇BC只比AB多了一小部分內容。

然而由于學習BC在大學的認可度和能夠轉換學分的概率都更高，所以學習BC很有優勢。當然做出選擇還要參考未來的專業選擇。

未來專業對AB/BC選擇的影響

選擇微積分BC的情況
● 未來想申請數學、計算機、生物、化學、科學、普通商科及管理類甚至是醫學等相關專業
● 對于未來專業選擇生物化學、社會科學、普通商科及管理類的同學而言，BC基本涵蓋了大學本科所有的教學內容，拿到5分并兌換AP學分，意味著大學不需要再修習微積分課程。
● 對于專業方向是數學、計算機、物理、工程或經濟、金融等專業的同學，BC能相當好的滿足后續學習要求。

選擇微積分AB的情況
● 未來想申請社會或人文等學科專業
● 想要更彈性的時間安排，為其他的學科學習預留足夠的時間

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AP微積分考試形式與重難點

了解課程的整體框架，清楚每部分的重點內容，有目標性地進行學習，更能把AP微積分學懂、學好，5分到手更有把握！

AP微積分允許部分使用計算器：

考試時長：3小時15分鐘

考試形式：45道多項選擇題和6個自由回答問題。

● 第一部分：多項選擇題，45題，105分鐘，占考試成績的50%

A部分：30個問題；60分鐘（不允許使用圖形計算器；占33.3%）

B部分：15個問題；45分鐘（需要圖形計算器；占16.7%）

● 第二部分：自由回答，6題，90分鐘，占考試成績的50%

A部分：2個問題；30分鐘（需要圖形計算器；占16.7%）

B部分：4個問題；60分鐘（不允許使用圖形計算器；占33.3%）

AP微積分的這十個章節中，我們可以從前文的章節考試百分比看出考試的重點分布，以BC為例，重點在于求導應用、積分以及積分應用、無窮級數這些部分。

而難點部分以及需要注意的部分有：

極限部分

需要注意的是，我們不僅要熟練掌握洛必達法則，用洛必達法則處理無窮大比無窮大，或者零比零的分式極限，還需要掌握如何處理零乘無窮大，零的無窮大次方，無窮大的零次方類似問題的處理方式。另外注意掌握求導定義的含義，有的極限題目需要我們透徹了解求導定義之后方能解答。

求導應用部分

注意微分中值定理羅爾定理等定理的應用，以及相關題目的處理方式。

積分部分

注意曲線積分，二維運動的路徑長度求解，極坐標面積積分，運動物理總運動路程求解，旋轉體體積積分，注意體積積分時候繞x軸、y軸旋轉的不同處理方式等。還要注意積分中值定理的應用。

微分方程部分

注意掌握斜率場含義和圖像，歐拉方法以及logistic增長曲線的形狀等。

無窮級數部分

這個重難點，注意區分p級數、調和級數、幾何級數以及交替級數；注意通用的級數發散的判別方法，注意對于正級數的幾種斂散性的判別方法的選用，注意它們之間的區別。比如積分判別法，比較判別法，極限比較判別法，比值判別法，n次根式判別法，這些判別法各自的適用條件，如何選用以及如何用它們判斷斂散性。另外交替級數有它特殊的判別方法也需要多加區分注意。

考試中對于選擇題和簡答題，考察不同能力的占比如下表：
選擇題中，Practice 1 也就是考察從數學公式到運算結果的部分占整個考試的53%到66%的比重。包括 differentiation 以及 integration 的計算以及對應的應用，例如算體積、面積、rate of change 等等。而定理的直接考察或證明或驗證等的考察占比較小。平時學透徹，結合多刷真題，刷分類的知識點的選擇題，會很有助于提分。

做大題時候不僅僅要寫出答案，還要能夠解釋以及使用專業術語，并且把過程中的表達式寫出來，如果僅僅寫個答案，可能只拿1分，很多問題需要我們去解釋說明清楚，才能拿高分。

AP微積分的備考建議
在進入微積分學習之前需要有較好的函數基礎，AP微積分學習五大類初等函數的微積分，所以對于冪函數，指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數的性質，圖像，公式定理，求解方法需要很熟悉，反函數，復合函數等也是需要提前掌握。Pre-calculus就是進入AP微積分前的一個很好的鋪墊。

在理解的基礎上再學習技巧

學習數學需要技巧和理解，二者缺一不可。理解原理與AP微積分需要我們深入理解原理，理解求導定義式，理解各定理的原理以及思想，有一些題目是直接考察我們對于原理的掌握。重視公式推導，推導是最好的記憶方法，推導之后理解也更加透徹，運用也更加熟練。在這個基礎上需要分類學習各個版塊的知識點，方法技巧，掌握各類題型的解題方法技巧，比如掌握不同的積分表達式應該選用什么積分方法，不同的無窮級數應該選用什么判別斂散性的方法，等等。

常回顧，常梳理歸納總結，常復習

知識點常常是環環相扣的，前面的內容為后面的鋪墊和基礎，學習過程中常復習可以為后續學習做好鋪墊，常梳理歸納總結可以找到同一個知識點不同題型之間的區別與聯系，找到處理不同類型題目的不同的方法技巧，掌握如何選用最有效的方法進行求解。

整理錯題集

錯題集是很有必要的，而且需要常回顧，因為比如積分方法中，原式變換一點點可能就需要使用完全不同的積分方法來求解，初學容易遺忘或出錯，那么整理錯題集可以幫助我們快速復習回顧，加深之前出錯點的正確解法的印象，加上常復習，可以漸漸達到融會貫通的效果。

考前刷真題套卷

之前是分模塊地刷每個部分的知識點，考前需要大量刷真題套卷，一方面把握好時間分配，模擬考場感受，一方面整體的復習回顧各個部分的知識點，了解試卷整體知識點分布，查缺補漏自己的薄弱知識塊，并進行針對性的復習。最后幾套當做全真模考來做，嚴格計時。

熟練使用計算器

考試中會有約33%的部分需要使用計算器，需要能夠熟練掌握計算器的使用方法，平時就要做好練習，了解每種情況下的計算器使用方法。
計算器的選用中，比較好用的是Ti-Nspire和Ti-84這兩種。

不論是哪款計算器，請確保會進行以下四個操作：
● 能用計算器畫函數圖像，并且熟練地縮小和放大窗口；
● 能用計算器找函數的零點（zero point），即解方程；
● 能用計算器計算函數在某一點的導數（derivative）；
● 能用計算器計算定積分（definite integral）

另外，考試中有67%的部分不能使用計算器，所以平時要做好計算訓練，考試時間緊，題目多，需要手算的地方也不少，所以計算能力強可以得到準確結果以及節省做題時間，這些平時都要做好訓練。

遇到難題卡住時間較長時進行取舍判斷，隨時關注時間。

注意備考時間

如果是學校學習，3月一般會學完所有知識點，一個月時間刷題；如果是社會考生，一般需要30-50（如果沒有多少precalculus基礎需要的學習時間較長）小時的上課時間以及大量的練習，最后也要有至少一個多月的時間刷真題套卷復習鞏固比較好。

最后希望大家放松心態，認真練習，在考試中取得好成績，在學習中有所收獲。

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