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Big Idea 1: Limits

1.1:The concept of a limit can be used to understand the behavior of functions.

1.1A(a): Express limits symbolically using correct notation.
1.1A(b): Interpret limits expressed symbolically.
提示：單側極限（limit），極限的存在性。
1.1B: Estimate limits of functions.
1.1C: Determine limits of functions.
提示：極限四則運算法則。0/0，∞/∞，0?∞均為不定式（indeterminate forms），需要用L’H?pital法則求解；1∞，∞0，00亦為不定式，可通過求對數化為0/0（或∞/∞）不定式。
1.1D: Deduce and interpret behavior of functions using limits.
提示：漸近線（asymptotes）的意義。有理分式（rational functions），其vertical asymptote取決于分母=0的點，horizontal asymptote取決于分子分母最高次次數。

1.2: Continuity of a function is a key property of functions that is defined using limits.

1.2A: Analyze functions for intervals of continuity or points of discontinuity.
提示：在某處連續（continuous）的定義為：該點極限等于該點函數值。
1.2B:?Determine the applicability of important calculus theorems using continuity.
提示：閉區間上連續函數有介值定理（Intermediate Value Theorem）和極值定理（Extreme Value Theorem）。

Big Idea 2: Derivatives

2.1: The derivative of a function is defined as the limit of a difference quotient and can be determined using a variety of strategies.

2.1A: Identify the derivative of a function as the limit of a difference quotient.
2.1B: Estimate derivatives.
提示：直接用定義進行數值估計。
2.1C: Calculate derivatives.
提示：記住基本函數的微分公式，微分的加減乘除法法則（特別是乘法法則），復合函數的鏈式法則（chain rule）。
2.1D: Determine higher order derivatives.
BC級別：方程定義的隱函數（implicit function）兩邊取對x的微分，把y看作x的函數，得到關于dy/dx的一次方程，然后變形即可用x,y表達dy/dx；二階微分也是把dy/dx表達式中y看作x的函數。
參數方程（parametric equations）定義的函數（參數為t），dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)；二階微分再把dy/dx看成t的函數做類似操作。

2.2: A function’s derivative, which is itself a function, can be used to understand the behavior of the function.

2.2A: Use derivatives to analyze properties of a function.
提示：一節微分看增減，二階微分看凹凸。一階微分=0為駐點（stationary point/critical point）可能是極大（local/relative maximum）、極小（local/relative minimum）或二者皆非，是哪一種看前后一階微分值變不變號；拐點（inflection point）看二節微分變不變號。
2.2B: Recognize the connection between differentiability and continuity.
提示：可微（differentiable）必連續，反之不必。

2.3: The derivative has multiple interpretations and applications including those that involve instantaneous rates of change.

2.3A: Interpret the meaning of a derivative within a problem.
2.3B: Solve problems involving the slope of a tangent line.
提示：切線（tangent）斜率=該點微分值；法線（normal）與切線垂直。
2.3C: Solve problems involving related rates, optimization, rectilinear motion, and planar motion (BC).
提示：注意速度（velocity）是矢量，分量分別算；速率（speed）是速度矢量的大小。
2.3D: Solve problems involving rates of change in applied contexts.
2.3E: Verify solutions to differential equations.
2.3F: Estimate solutions to differential equations.
提示：1）給定一個一階微分方程（differential equation of first order），則每一個點(x,y)決定該點的微分值即函數斜率，所有點的斜率構成斜率場（slope field），將各點斜率連成一條曲線，則為滿足方程的一個解。
2）Euler法（BC級別）為最簡單的數值求解一階微分方程的方法，設定一個步長Δx，由一個初始點開始，用每一步的微分值估計下一步的y的值。

2.4: The Mean Value Theorem connects the behavior of a differentiable function over an interval to the behavior of the derivative of that function at a particular point in the interval.

2.4A: Apply the Mean Value Theorem to describe the behavior of a function over an interval.
估計一個小的Δx范圍中某點的微分值，可用Lagrange中值定理（Mean Value Theorem）。另外中值定理（Cauchy形式）也是L’H?pital法則的理論基礎。

Big Idea 3: Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus

3.1: Antidifferentiation is the inverse process of differentiation.

3.1A: Recognize antiderivatives of basic functions.
提示：基本函數的微分公式反推一些基本的原函數（antiderivative）。
3.1A2: Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.

提示：求原函數的運算：

1) 加減法和數乘。
2) 對于兩函數相乘的積分，可以先觀察是否其中一個函數是另一個復合函數中間變量的微分，如果能就用換元法（changing variables）；否則，可以嘗試用分部積分法（integration by parts）（BC級別）：主要適用類型包括xn?sin(x), xn?cos(x), xn?ex, xp?lnx, xp?arctan(x)等。
3) 根式下a2±x2型，x2-a2的積分，可用三角換元（如a2-x2，可做代換x=a?cos(x)）。
4）對于有理分式，可以用待定系數法（method of undetermined coefficients）先化成簡單的部分分式（partial fractions），然后對每個部分分式求積。

3.2: The definite integral of a function over an interval is the limit of a Riemann sum over that interval and can be calculated using a variety of strategies.

3.2A(a): Interpret the definite integral as the limit of a Riemann sum.
3.2A(b): Express the limit of a Riemann sum in integral notation.
提示：Riemann可積（integrable）函數，其Riemann和（sum）的極限與劃分和取點的方式無關。
3.2B: Approximate a definite integral.
提示：積分的數值方法，包括左、右矩形法（left/right rectangle method），梯形法（trapezoid method）。比較幾種方法的近似值與精確值的關系可通過畫圖看出。
3.2C: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.
3.2D: (BC) Evaluate an improper integral or show that an improper integral diverges.
提示：反常積分（improper integral）看成上/下極限趨近于無窮或某值時積分的極限。跨過一個反常奇點積分，則兩邊要分開求再加和。

3.3: The Fundamental Theorem of Calculus, which has two distinct formulations, connects differentiation and integration.

3.3A: Analyze functions defined by an integral.
提示：基本公式：Newton-Leibniz公式，聯系函數與原函數的關系。變上/下限x的積分看成x的函數，求微分即為被積函數在該點的值。如果上/下限為x的函數，則求微分用鏈式法則。
3.3B(a): Calculate antiderivatives.
3.3B(b): Evaluate definite integrals.

3.4: The definite integral of a function over an interval is a mathematical tool with many interpretations and applications involving accumulation.

3.4A: Interpret the meaning of a definite integral within a problem.
3.4B: Apply definite integrals to problems involving the average value of a function.
3.4C: Apply definite integrals to problems involving motion.
提示：BC級別：注意位移（displacement）是速度（velocity）矢量的積分，也是矢量；距離（distance）是速率（speed）的積分。
3.4D: Apply definite integrals to problems involving area, volume, and length of a curve (BC)?.

提示

1) 面積：極坐標（BC級別）定義的曲線圍成的面積公式。對封閉曲線先取好始末點對應的極角θ的上下界。求兩圖形相交區域先求交點，然后分片求解。
2）旋轉體體積：可用截面（cross-section）法，也可用圓柱殼法（shell method），看給定的函數關系和繞哪個軸旋轉，選取方便的方法。
3.4E: Use the definite integral to solve problems in various contexts.

3.5: Antidifferentiation is an underlying concept involved in solving separable differential equations. Solving separable differential equations involves determining a function or relation given its rate of change.

3.5A: Analyze differential equations to obtain general and specific solutions.
提示：對于dy/dx=f(x)?g(y)型的微分方程，可將x、y分離變量（separating variables），兩邊積分。指數增長/衰減（exponential growth and decay），以及?logistic growth （BC級別）兩種常見的方程都屬于這一類。
3.5B: Interpret, create, and solve differential equations from problems in context.?4

Big Idea 4: Series (BC)

4.1: The sum of an infinite number of real numbers may converge.

提示：級數（series）值定義成部分和當項數n→∞的極限。
4.1A: Determine whether a series converges or diverges.

提示：

1）級數收斂（converges）的必要條件是項an→0；
2）幾何級數（geometric series），公比（common ratio）為p，當|p|<1時收斂，否則發散；
3) 正項級數收斂的最基本原理：比較判別法（comparison test）。有改進版：極限比較判別法（limit comparison test）；
4) p-series：1/np型（或對于n可求原函數的正項級數）可用積分判別法（integral test）；
5) 與幾何級數進行比較，得到比值判別法（ratio test）和根值判別法（root test），可推廣到非正項級數（加絕對值，判斷絕對收斂）。其中比值判別法比較有用，適用于含an，n!，nn形式的級數，也是求冪級數收斂半徑的基礎（參見4.2C）；
6）絕對收斂（absolutely converges）的級數必收斂，反之不一定。收斂但不絕對收斂的級數稱為條件收斂（conditionally converges）；
7）對交錯級數（alternative series），有簡單的Leibniz判別法：每項的絕對值單調下降趨近于0，則交錯級數收斂。（圖像：在收斂點附近振蕩，且振幅越來越小）

4.1B: Determine or estimate the sum of a series.
提示：

1）幾何級數可精確求值；
2）對于滿足Leibniz判別法的交錯級數，根據圖像，截斷到第n項的和，誤差不超過第n+1項的絕對值；
3）對于絕對收斂的級數，則調換任意項的次序，得到的級數依然收斂于原值。

4.2: A function can be represented by an associated power series over the interval of convergence for the power series.

4.2A: Construct and use Taylor polynomials.
4.2B: Write a power series representing a given function.

提示：

1）記住在x=a附近函數的Taylor展開公式，它是一個冪級數（power series）。MacLaurin展開式為Taylor在x=0展開式的別名；

2）截斷到第n項，Lagrange余項（remainder）可用來做誤差的上限的估計。注意Lagrange余項的形式中f(n)(ξ)中的ξ為a，x之間的某個值，誤差估計的時候要取|f(n)(ξ)|在該區間內的極大值作為上界的估計；

3）熟悉sin(x), cos(x), ex, ln(1+x), (1+x)p的展開式；

4）冪級數可以進行逐項微分和積分（differentiation and integration term-by-term）；由此可求得一些不方便直接計算的函數的展開式（如arctan(x)）。也可用于將無法寫成閉形式（closed form）的原函數（如∫exp(-x2)dx）展開成級數。
4.2C: Determine the radius and interval of convergence of a power series.
提示：用比值判別法可求得冪級數的收斂半徑（convergence radius）。收斂半徑上的點的收斂性要單獨判定。