AMC10/12高頻考點，附對應(yīng)真題解析

2022AMC10/12剩不足1個月開考，目前已進(jìn)入備戰(zhàn)的最后沖刺期。AMC特點是不重復(fù)往年考題，21-25題風(fēng)格新穎、靈活多變、出其不意，是拉開差距的關(guān)鍵。晉級的關(guān)鍵并非后面的難題，如果保證前15道題都對，15-20能做對3道，晉級AIME基本穩(wěn)了。因此要保證中等難度以下的知識點和習(xí)題都能掌握。

AMC10/12的高頻考點

AMC10/12試題主要分為4個模塊的知識點：代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合。

代數(shù)與幾何的考察比重較大，占比60%以上。其中代數(shù)主要考察的內(nèi)容有代數(shù)計算、多項式、方程等，幾何主要考察三角形與四邊形。

數(shù)論是每年的必考點，考察比重逐漸加大，內(nèi)容包括整除、分解質(zhì)因數(shù)、指數(shù)冪等。

國內(nèi)學(xué)生在組合知識的掌握相對薄弱，乘法原理、排列數(shù)與組合數(shù)、插空法等是主流考法，每年還會有染色問題、棋盤問題等新穎考法。

代數(shù)

AMC10 代數(shù)考點歸納

多項式，余數(shù)定理，韋達(dá)定理，根與系數(shù)的關(guān)系，特殊高次方程、進(jìn)階不等式，均值不等式等

AMC12 代數(shù)考點歸納（在AMC10基礎(chǔ)上新增以下重點知識）

復(fù)雜不等式、調(diào)和不等式、輪換不等式、柯西不等式；復(fù)雜函數(shù)問題，反函數(shù)和符合函數(shù)等

AMC10 代數(shù)重點考察方程、函數(shù)和數(shù)列；

AMC12 代數(shù)考察更加均衡，需要全面準(zhǔn)備。

真題例題：

解析：

在這個題里面，N和M雖然實際上是確定的數(shù)，但是以未知數(shù)的形式出現(xiàn)的。要先根據(jù)條件列出一個不定方程，因為不定方程在限定條件是可能有唯一解或者有限定個數(shù)的解的，題中N和M都是整數(shù)，N>2M和M>4，這些限定條件排除了不可能的解，剩下的就是我們要的解。

幾何

AMC10 幾何考點歸納

三角形、正弦定理、余弦定理、內(nèi)切圓和外切圓、斯圖瓦爾特定理、共點和共線、圓和四邊形，四點共圓，圓的外切四邊形、正多邊形等

AMC12 幾何考點歸納（在AMC10基礎(chǔ)上新增以下重點知識）

解析幾何、圓的進(jìn)階知識、圖形的函數(shù)表達(dá)（二維及三維）、不規(guī)則二維及三維圖形、向量（二維及三維）等

AMC10 幾何重點考察三角形（全等&相似）；

AMC12 幾何重點考察三角形、圓、解析幾何。

真題例題：

解析：

從圖形上來看，一個正方形被兩條直線分割成了4塊，我們注意到其中3塊都是三角形，所以我們只要知道這3個三角形的面積比例，不規(guī)則四邊形AFED也就知道了，答案自然而然就出來了。

組合

AMC10 組合考點歸納

容斥原理、二項式定理、排列、組合和概率、期望

AMC12 組合考點歸納（在AMC10基礎(chǔ)上新增以下重點知識）

隨機(jī)過程和期望、綜合問題

AMC10 組合重點考察計數(shù)和概率；

AMC12 組合重點考察計數(shù)。

真題例題：

解析：

首先，五個頂點我們視為不同的，所以對它們的涂色是有順序的。關(guān)鍵是要把順序排列好，還要把情況分解好。我們用下面的樹形圖來表示。把每一個分支的計數(shù)算出來，最后加和就是總數(shù)了。

數(shù)論

AMC10 數(shù)論考點歸納

數(shù)，數(shù)組和序列、同余和同余方程、整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)，進(jìn)制轉(zhuǎn)換

AMC12 數(shù)論考點歸納（在AMC10基礎(chǔ)上新增以下重點知識）

二次余數(shù)，高次余數(shù)、費馬小定理、各類丟番圖方程

AMC10 數(shù)論重點考察因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、整除分析、同余分析；

AMC12 數(shù)論重點考察質(zhì)因數(shù)分解、同余。

真題例題：

解析：

這個題的正規(guī)解題方法要用到費馬小定理和中國余數(shù)定理，如果能掌握這些當(dāng)然很高超。但是即使不會這兩個定理，也可以用幾次WLOG（without loss of generality，不失去一般性）的特例推理，進(jìn)行解答。

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