何天成談數(shù)學(xué)競(jìng)賽
本文作者何天成，第58屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）金牌獲得者，華南師大附中2017屆畢業(yè)生，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2017級(jí)新生。本文首發(fā)于數(shù)學(xué)新星網(wǎng)。
作者非常詳細(xì)地闡述了從高聯(lián)一試/二試，到參加CMO，國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)，走向IMO，各級(jí)學(xué)術(shù)活動(dòng)的心路歷程和學(xué)習(xí)方法，對(duì)于參加學(xué)術(shù)活動(dòng)的同學(xué)具有非常大的指導(dǎo)意義，因?yàn)槠^長(zhǎng)，故分為三篇分享給大家。請(qǐng)看過的同學(xué)溫故知新，沒看過的同學(xué)一定要認(rèn)真做好筆記，滿滿的干貨~
正文如下：
2017年7月，我有幸作為中國(guó)國(guó)家隊(duì)的一員參加了第 58 屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)（ IMO ) ，并獲得了一枚金牌。回顧六年學(xué)術(shù)活動(dòng)之路，我從開始的一個(gè)懵懂無知的新人，一路上經(jīng)歷了不少挫折，走了不少彎路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套學(xué)習(xí)學(xué)術(shù)活動(dòng)的方法，最后的結(jié)局也是幸運(yùn)的。而正是這份幸運(yùn)，讓我覺得有責(zé)任把自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)與心得分享出來，希望后來者能吸取我的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，找到自己的不足，并更好地看清未來。
對(duì)于一場(chǎng)考試，我喜歡用以下 3 個(gè)參數(shù)來衡量最終的分?jǐn)?shù)：最終分?jǐn)?shù)=實(shí)力分 x 運(yùn)氣分 x 狀態(tài)分。其中實(shí)力，運(yùn)氣，狀態(tài)均為非負(fù)實(shí)數(shù)。
這里，“實(shí)力”顧名思義，盡管不好量化，但是一般來說實(shí)力相差很大還是能看出來的。
“運(yùn)氣”主要代表“題目是否對(duì)路”，比如一個(gè)擅長(zhǎng)幾何的選手參加一場(chǎng)幾何送分的考試，當(dāng)然運(yùn)氣分較低；而參加一場(chǎng)幾何難度他剛剛好能做出來的考試，運(yùn)氣分就比較高了。當(dāng)然，運(yùn)氣分是取決于考試本身的，可以認(rèn)為主觀上不能改變它，但是在集訓(xùn)隊(duì)這樣的多次考試中，平均下來，運(yùn)氣會(huì)比較穩(wěn)定；并且，我們可以用比如“補(bǔ)短板”或者“狂刷一科”等方法改變運(yùn)氣分的波動(dòng)大小。另一方面的運(yùn)氣來自于改卷，即能不能得到預(yù)想中的分?jǐn)?shù)，這一點(diǎn)理論上來說也是不能自己操縱的，但是可以通過加強(qiáng)書寫等方法提升。
“狀態(tài)”源于自身，常見的影響狀態(tài)的因素有，比如考前一晚睡不著，考試很凍手、凍僵了，旁邊的同學(xué)一直發(fā)出噪音等等。當(dāng)然，也可能會(huì)有狀態(tài)莫名超好的情況，但是我們不能控制自己超常發(fā)揮，只能期望盡量發(fā)揮正常。
總結(jié)下來，我們當(dāng)然要“提升實(shí)力”，但同時(shí)也要注意一些很容易被忽略的地方——提升運(yùn)氣和狀態(tài)。這看似很難處理，但實(shí)際上還是有跡可循的。
運(yùn)氣方面，一是之前說的“補(bǔ)短板”與“狂刷一科” 。補(bǔ)短板是實(shí)力進(jìn)階的必經(jīng)之路，我一直認(rèn)為，一名真正優(yōu)秀的選手并不一定要做出很多人都做不出的超難題，但是一定要做出有足夠多人能做出的題，這就需要了解不同的方法，覆蓋更多知識(shí)面，做真題。“狂刷一科”是實(shí)力不夠的情況下的賭博，比如就想聯(lián)賽做出倆題混一等獎(jiǎng)，然后狂刷代數(shù)與幾何之類的。我對(duì)這種方法不予評(píng)價(jià)，但反正我自己的經(jīng)歷是，凡是賭博的情況都必輸，實(shí)力不到說啥都沒用，不如按部就班的來，讀者可以自己考慮實(shí)力不夠的時(shí)候的做法。
第二點(diǎn)大概就是關(guān)于過程的書寫，事實(shí)上，很多人對(duì)自己的過程非常有自信。如果你批改過其他人的過程，總會(huì)覺得“這啥意思啊？搞了半天都不知道想干啥”或者“這里一句話帶過根本就不顯然嘛”。一般來說，過程寫不好有兩種：如果你講都講不清楚，那么可能是語文學(xué)的不好，請(qǐng)回爐再造；如果跟別人講思路的時(shí)候別人可以理解，但是過程寫不好的話，可能是沒有掌握好寫過程的技巧。寫過程的主要目的有兩個(gè)：一是要準(zhǔn)確，不能讓老師誤解你的意思；二是要通俗易懂，節(jié)省老師的時(shí)間，讓老師能夠比較容易get到你的過程的脈絡(luò)。
所以針對(duì)第一點(diǎn)，要學(xué)會(huì)過程的“數(shù)學(xué)化”表達(dá)：比如很多組合問題，直接表達(dá)就像寫小說，如果可以換成集合或者圖論的語言，又或者把它代數(shù)化表示，就簡(jiǎn)單很多了；另外，過程里的因果關(guān)系要清晰，至少要表達(dá)出“由什么推出什么”，這就需要多使用連詞：因?yàn)椋ㄓ捎凇⒆⒁獾剑浴⑷簦珓t＋所以＋從而、我們斷言（證明）＋事實(shí)上，以及右箭頭“=>”。就算連詞使用不多樣，至少要達(dá)到的要求是：老師知道你的每一個(gè)結(jié)論是由哪些結(jié)論推出的。
而第二點(diǎn)其實(shí)容易被忽視。我經(jīng)常看到有些過程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；語言又完全用的是集合的方法，全都是定義和運(yùn)算，讓人摸不著頭腦。這時(shí)候，一旦出現(xiàn)一些筆誤，很有可能老師就“如釋重負(fù)”地圈起來給0分了。這就像寫一篇議論文，要是你一直舉例子不立論，當(dāng)然不會(huì)給高分。
這就需要把證明的脈絡(luò)清晰地刻畫出來，常見的連詞有：證明分為如下幾步、下面證明一個(gè)引理（結(jié)論）、我們斷言（證明）以下結(jié)論、我們只需證明如下結(jié)論即可證明此題等。這樣的好處是，如果你斷言的關(guān)鍵步驟恰好是答案中的步驟，或者老師知道是對(duì)的，那么老師就大致知道你做出來，只需驗(yàn)證一下細(xì)節(jié)即可；就算你的證明出現(xiàn)了一些漏洞，老師也能知道你做出了什么，會(huì)更容易得到步驟分。
當(dāng)然，還有一個(gè)大大增加可讀性的方法：畫圖。特別是組合題，很多組合題用代數(shù)語言表達(dá)很繁瑣，不易找到重點(diǎn)，也容易出現(xiàn)筆誤，那如何讓老師知道你想做什么呢？那就是畫圖。如果要把一個(gè)圖按照某種策略三染色，就畫一個(gè)示意圖，然后用 ABC 標(biāo)頂點(diǎn)，看上去就清楚多了嘛；就算幾何題是用復(fù)數(shù)算的，畫個(gè)圖，讓老師不用自己找圖，也不是什么難事吧？
最后我談?wù)勻_分。時(shí)間快到了的時(shí)候還是做不出題目，想爭(zhēng)取一些過程分的情況是常見的。但是我非常非常反對(duì)大家東扯西扯，然后說證畢——做不出來就做不出嘛，要承認(rèn)自己就是在混分，至于能給幾分就看你做了什么結(jié)論了；但總有一些人不會(huì)做就瞎搞一通然后證畢。這樣的人多了，就加大了老師判卷子的難度，就會(huì)連累一些“好人”。反正我覺得，要是明知道是錯(cuò)的還寫證畢，絕對(duì)是敗人品的行為。
狀態(tài)方面，我覺得有兩點(diǎn)：一是平時(shí)加強(qiáng)模擬考試——模擬考試絕對(duì)不僅僅指的是做一套題那么簡(jiǎn)單！我覺得模擬考試要起到效果，必須完完全全地模擬真實(shí)的情況。特別是 4、5 小時(shí)的考試，很多人只是開始兩個(gè)小時(shí)上三板斧，然后消極怠工，這其實(shí)一點(diǎn)效果都沒有。真實(shí)考試有 4、5小時(shí)呢，要是平時(shí)這么模擬，真實(shí)考試的最后 2 個(gè)小時(shí)難道你就能繼續(xù)保持極高的做題狀態(tài)嗎？二是平時(shí)做題最好“認(rèn)真對(duì)待”，兩天的考試可以帶一些心理負(fù)擔(dān)，這樣真正考 CMO這樣的考試萬一面對(duì)第一天考試失利，就不會(huì)心理太崩盤。
?各級(jí)學(xué)術(shù)活動(dòng)
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是高中學(xué)術(shù)活動(dòng)的第一步，但其實(shí)也是不確定性最大的一步。不同的省份有不同的聯(lián)賽的備考攻略。如果你來自一些超級(jí)聯(lián)賽強(qiáng)省，比如上海、浙江等，那么你的一試水平一定要過硬，因?yàn)檎５哪攴莺芸赡軙?huì)出現(xiàn)很多人二試并列拼一試的情況；但如果是中等的省份，就拿廣東舉例吧，在大部分年份二試 3 題＋ 一試 90 分可以進(jìn)省隊(duì)，并且二試 2 題的話幾乎進(jìn)不了省隊(duì)，所以其實(shí)只需要做“適當(dāng)”的一試練習(xí)，然后把重點(diǎn)放在二試上。
注意，這里的“ x 題”指的是最終得分，不同的省改卷嚴(yán)格程度不一，但是一般來說，被判錯(cuò)是少數(shù)，并且很有可能是自己的問題（有些人經(jīng)常寫偽證自己看不出來，或者寫過程水平太差確實(shí)沒法看，卻自我感覺良好），所以在備考的過程中要訓(xùn)練自己的書寫，要盡量寫的嚴(yán)謹(jǐn)、工整，避免被判錯(cuò)；但至于最終結(jié)果要是還是被判錯(cuò)了，也沒辦法啊，盡力而為，問心無愧。
由于聯(lián)賽的考場(chǎng)很多，并且各地規(guī)則不一，請(qǐng)盡量熟悉自己將去到的考場(chǎng)與考試細(xì)則，并在考前做好充足的準(zhǔn)備，避免出現(xiàn)考試之外的問題。筆者在參加聯(lián)賽的過程中曾經(jīng)遇到過以下問題（都是血的教訓(xùn)啊） :
考場(chǎng)偏僻，當(dāng)天起的很早趕赴考場(chǎng)，很疲倦；考場(chǎng)空調(diào)直吹，極冷；教室很大，老師發(fā)卷不及時(shí)，導(dǎo)致開考 5 分鐘才拿到卷子；考試要求換草稿紙（收一張給一張）；洗手間較少，要等很久等等。總之，在考試之前，一定要做好充分的準(zhǔn)備，聯(lián)賽畢竟沒幾次，要按照高考的規(guī)格對(duì)待，提前踩點(diǎn)，準(zhǔn)備充足的衣物、食物，避免因?yàn)榭记皽?zhǔn)備不充足痛失好局。聯(lián)賽與之后的比賽的最大的兩點(diǎn)區(qū)別就是：時(shí)間短，對(duì)書寫要求高。所以聯(lián)賽的模擬更注重踏踏實(shí)實(shí)地掐表做，并認(rèn)真寫過程，最好讓別人批改或者自己對(duì)著答案很仔細(xì)地檢查筆誤和寫的不好的地方。部分因?yàn)闀r(shí)間原因沒有做出的題目可以考試結(jié)束后再想，在考試的時(shí)候一定要保證“分?jǐn)?shù)最大化”，該跳過的題就跳過，這樣在真正的聯(lián)賽中才不容易手忙腳亂。
聯(lián)賽有一個(gè)不太好的地方：答題的區(qū)域非常小，尤其是二試第一題，要是想到了一個(gè)很復(fù)雜的方法，有可能要挖掉一大半第二題的空間才能寫下。因此在模擬的過程中也要注意這一點(diǎn)千萬千萬不能寫錯(cuò)！在考場(chǎng)上若是發(fā)現(xiàn)寫了一大半的過程都是錯(cuò)的，修正思路很長(zhǎng)，真是欲哭無淚……不差這幾分鐘，要想好了再寫，多花點(diǎn)時(shí)間寫，表達(dá)盡量清楚，因?yàn)槁?lián)賽時(shí)間緊。還有一個(gè)問題就是如何快速寫出合要求的過程，這也是需要平時(shí)訓(xùn)練的。很可能最后留給一試最后一題的時(shí)間只有 5 分鐘了，如果你快速讀完題目后直接開始寫，抓得分點(diǎn)，說不定最后能有 10 分。
總之，模擬考試的最高境界就是“平時(shí)如考試，考試如平時(shí)”。平時(shí)訓(xùn)練的過程中一定要計(jì)時(shí)作答，做不出來的題也要寫上已得到的結(jié)論，完全模擬考試的狀態(tài)。同時(shí)，在一試二試都模擬完成之后，可以再回頭做做因?yàn)闀r(shí)間不夠沒有完成的題目，從各方面思考“如何做到更好”——總結(jié)新出現(xiàn)的題型與錯(cuò)誤的原因，總結(jié)考試的時(shí)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的時(shí)間分配。
先說一試。我的一試水平歷來都不算好，但是也不算差，大概就是所謂的“90分”標(biāo)準(zhǔn)。我個(gè)人認(rèn)為90分應(yīng)該是適當(dāng)訓(xùn)練可以達(dá)到的，而且在訓(xùn)練得當(dāng)?shù)那闆r下，基本可以保證拿到這個(gè)分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，我的訓(xùn)練其實(shí)不多，（因?yàn)榍岸f的弱省原因），但是也不算少。首先，如果你剛學(xué)高中學(xué)術(shù)活動(dòng)，對(duì)一試的知識(shí)點(diǎn)掌握的還不透徹，那么大概還是需要把套路過一遍的——這個(gè)過程有點(diǎn)像準(zhǔn)備高考，但是要求更高。如果有教練當(dāng)然極好，讓教練幫著補(bǔ)補(bǔ)就好了；如果自學(xué)的話，大概需要做一些題。一試我能想到的問題大概是下面的這些東西：
解析幾何，其實(shí)來來回回方法就那么幾種：設(shè)直線方程配合韋達(dá)定理，設(shè)點(diǎn)，設(shè)參數(shù)方程；還有稍高級(jí)的方法，比如幾何法，曲線系，極坐標(biāo)，極線方程，仿射變換，等等。當(dāng)然，解析幾何看著容易，做起來卻沒那么簡(jiǎn)單，需要很好的計(jì)算能力，也需要靈活變通，這就需要大量的練習(xí)了。
做解析幾何題的時(shí)候要注意：真正比賽的解析幾何題目的答案一定不會(huì)太過于復(fù)雜。如果你在做題過程中發(fā)現(xiàn)比如求出的函數(shù)是無比困難的，很難求出最小值，那么可以考慮要么進(jìn)行一些代換，因?yàn)檫@個(gè)表達(dá)式里面理論上來說肯定可以提取一些局部，切勿暴力求導(dǎo)；也可以試圖先猜出特殊點(diǎn)，看看能不能直接證明大小關(guān)系。如果求出的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所要滿足的參數(shù)方程很復(fù)雜，無從下手。你可以嘗試在原來的圖形里猜出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件大致是什么——無非就是直線或者二次曲線之類的嘛，那么比如把 x , y 坐標(biāo)平方乘系數(shù)加加減減說不定就全部消掉了。
當(dāng)然，做解析多了之后，要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，在花了一定時(shí)間做不下去，一定要趕緊止損，換個(gè)方法，說不定不費(fèi)很大力氣就做出來了。最后，要記住，驗(yàn)證平行坐標(biāo)軸的情況。
數(shù)列技術(shù)含量稍高，不過絕大多數(shù)數(shù)列問題都是可以用局部不等式或者裂項(xiàng)做出來的。少數(shù)有高級(jí)技巧，比如積分估計(jì)，三角函數(shù)換元之類的。個(gè)人覺得數(shù)列其實(shí)難度很難估測(cè)，有的題目確實(shí)有難度。當(dāng)然，就聯(lián)賽的真題來看，數(shù)列題目并沒有很多模擬題那么難，需要注意的是一定不能著急的瞎放縮，要多變形 ——絕大部分的數(shù)列都是用代數(shù)變形后裂項(xiàng)做出的。
大題里面可能還有一道求導(dǎo)的題目或者其他題目。這一類題目個(gè)人覺得沒啥技巧，簡(jiǎn)而言之，練。代數(shù)的硬功夫是很重要的，這在之后做更難的代數(shù)題中會(huì)有用。
立體幾何對(duì)于自學(xué)的同學(xué)來說往往會(huì)比較頭疼，因?yàn)榇鸢傅淖鲚o助線方法有時(shí)候真的很匪夷所思。那就不這么麻煩吧！立體幾何有一個(gè)萬金油方法——算！由于近年都出的是填空題，所以其實(shí)很多細(xì)節(jié)都可以不用處理（這是權(quán)宜之計(jì)，我推薦大家多學(xué)其他方法，保不準(zhǔn)就出大題了……但如果想短時(shí)間提高的話，只會(huì)這樣算就好了）。自己查一下怎么算法向量，然后做幾個(gè)題，了解怎么算二面角、異面直線距離，然后做幾個(gè)題試試手感，之后就再也不會(huì)為立體幾何擔(dān)心啦！
剩下的題目，算是其他題目吧，其實(shí)套路也有不少，需要大量練習(xí)，通過練習(xí)逐漸學(xué)會(huì)一些技巧。每個(gè)人都是從 30 分做到100分的嘛，開始不要著急，如果遇到完全沒有辦法的題目可以適當(dāng)想想暫時(shí)跳過，記住答案里面的關(guān)鍵點(diǎn)，在下一次見到類似的方法時(shí)不要忘記就好。
一般來說，在經(jīng)過至多一年的學(xué)習(xí)，一試水平大概就可以達(dá)到“90分”目標(biāo)，偶爾能全對(duì)，但也可能算錯(cuò)很多題劃水。這個(gè)時(shí)候，基礎(chǔ)的東西都學(xué)會(huì)了，剩下的提分點(diǎn)就在考試的狀態(tài)上了。關(guān)于一試的時(shí)間分配，我個(gè)人的習(xí)慣是，30 分鐘做完填空題，然后一道一道地做大題（前兩個(gè)大題大約做10到 15分鐘，最后二個(gè)比較難的話就一直做），但是最后至少留下 10 分鐘檢查。我覺得在練習(xí)的過程中找到自己熟悉的節(jié)奏很重要，并且考試的時(shí)候要嚴(yán)格執(zhí)行之前的策略，不要為了貪最后一個(gè)題目放棄檢查（當(dāng)然，如果你的習(xí)慣是不檢查，也可以）。
我推薦在至少離考試還有 2 個(gè)月的時(shí)候開始進(jìn)行一試模擬訓(xùn)練，大概每 2 到 3 天做一套計(jì)時(shí)的一試題。開始的時(shí)候肯定狀態(tài)不會(huì)太好，容易算錯(cuò)，但是經(jīng)過比較長(zhǎng)的熟悉之后，在離考試將近一個(gè)月左右的時(shí)候應(yīng)該問題就不大了。但是狀態(tài)還是要繼續(xù)保持，如果突然出現(xiàn)狀態(tài)特別差，不要疲勞作戰(zhàn)，可以先休息調(diào)整一下再仔細(xì)分析在考試過程中出現(xiàn)的時(shí)間分配問題（錯(cuò)的多的情況往往是因?yàn)榛诉^多時(shí)間做難題導(dǎo)致時(shí)間分配不均）。
聯(lián)賽不確定性最大的地方，大概就在于二試。
我認(rèn)為聯(lián)賽二試是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)中最不容易穩(wěn)定發(fā)揮的考試。時(shí)間太短導(dǎo)致隨機(jī)性很大，盡管題目一般本質(zhì)不算太難，卻也都有關(guān)鍵的步驟。從二試到之后的“大題”訓(xùn)練是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的重點(diǎn)，不過好在聯(lián)賽二試的題目，說難也不難，相對(duì) CMO 等之后的考試而言套路比較少。個(gè)人認(rèn)為有集訓(xùn)隊(duì)實(shí)力的同學(xué)應(yīng)該做聯(lián)賽二試的題目不會(huì)很困難，具體的專題訓(xùn)練寫在之后了。
這里只提一點(diǎn)聯(lián)賽二試要注意的問題：聯(lián)賽二試時(shí)間確實(shí)很緊，平均每題半小時(shí)多，很容易因?yàn)榛艔埢蛘邥r(shí)間不夠發(fā)揮失誤。所以萬一遇到不對(duì)路的題目，在做了一段時(shí)間之后，要選擇果斷跳過。這里的分寸也是要在模擬考試中慢慢總結(jié)出來的，因?yàn)橛械臅r(shí)候盡管題目本身可能不難，如果思路陷入“死循環(huán)”，再浪費(fèi)一個(gè)小時(shí)很可能還是做不出來。再者，如果最后還剩下 1 個(gè)小時(shí)，并且還剩兩個(gè)題目，最好的做法是讀題之后選一個(gè)做，不要來回跳（剩下多個(gè)題目也是類似的）。在時(shí)間不足的情況下靜下心來想題也是一種能力。
關(guān)于具體的答題，我覺得最要注意的就是不能“超綱”了。有些人在培訓(xùn)中得到了很多很強(qiáng)的結(jié)論和性質(zhì)，但是在聯(lián)賽中，要謹(jǐn)慎使用，最好給出證明（也可以留個(gè)空位，看情況，有時(shí)間最后補(bǔ)）。特別的，幾何題非常不推薦用復(fù)數(shù)法，重心坐標(biāo)！不到萬不得己，不要采用這幾個(gè)方法（當(dāng)然，要是真的不行就死馬當(dāng)活馬醫(yī)吧）。
反正，要是有分，你要慶幸；要是沒分，不要怨改卷老師。這些“高級(jí)”方法或多或少需要用到一些考綱外的性質(zhì)，可能會(huì)扣分；并且計(jì)算法解幾何出現(xiàn)筆誤其實(shí)很正常。聯(lián)賽幾何，一般來說最好算的方法是三角，可以多練練三角計(jì)算（當(dāng)然，純幾何也是要練習(xí)的）。
來到 CMO ，就意味著進(jìn)入了真正的“ IMO 模式”了。4.5 小時(shí) 3 題，這個(gè)時(shí)間我覺得不算長(zhǎng)也不算短，若是題目順手，3 小時(shí)足以完成，但只要有一題“卡住”了，就很可能出現(xiàn)時(shí)間不夠用的情況（有思路沒時(shí)間）。當(dāng)然，對(duì)于初次接觸這樣類型的考試的同學(xué)，很可能做不滿 3 小時(shí)就己經(jīng)找不到突破口，無所事事了。這其實(shí)是很正常的，所以在訓(xùn)練中，最關(guān)鍵的就是鍛煉如何在“卡住”的情況下調(diào)整心態(tài)，尋求突破。
關(guān)于 CMO 的備考，個(gè)人覺得不能只是從得知自己進(jìn)入省隊(duì)開始，而應(yīng)該是一個(gè)更有計(jì)劃性的長(zhǎng)期過程 —— 從學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的初期開始就應(yīng)該不時(shí)挑戰(zhàn)一些比較難的題目，這樣在真正進(jìn)入省隊(duì)之后才會(huì)有足夠扎實(shí)的基本功。不過無論如何，備考的初期還是要先把所有 CMO 范圍內(nèi)的專題過一遍。在 CMO 中可能出現(xiàn)很多聯(lián)賽不考（或者考的很淺）的知識(shí)點(diǎn)，比如復(fù)數(shù)、多項(xiàng)式、函數(shù)方程、圖論等，至少不能出現(xiàn)明顯的短板。
從 CMO 開始，理論上來說答題紙可以無限用，可以自帶食物，大部分方法也可以直接使用，包括高等的方法（當(dāng)然，要是你使用了一些大定理解決問題，很有可能只有部分分?jǐn)?shù)）。換句話來說，就是限制條件變少了，大家可以憑借自己的本事各顯神通。
CMO 的考試與聯(lián)賽還有一個(gè)較大的不同 ——?CMO 考試時(shí)，參賽選手匯聚一堂。這有好處也有壞處：你可以與各地高手親密接觸，體會(huì)舉辦地的風(fēng)土人情，但也要充分考慮舉辦地的氣候，伙食等生活條件的差異。我參加過的兩屆CMO 都在吃辣的地域舉辦，結(jié)果吃東西很不習(xí)慣，肚子有些不舒服，影響了考試狀態(tài)。如果不習(xí)慣酒店的飲食也可以出去吃，但一定要多加注意，避免出現(xiàn)考試腹痛腹瀉的悲劇情況。
另一方面，冬令營(yíng)在冬天舉辦，最好提前調(diào)查好考場(chǎng)有沒有空調(diào)和暖氣，帶好足夠的保暖衣物；如果可以的話，可以多提前幾天去適應(yīng)環(huán)境。我曾經(jīng)參加過的冬令營(yíng)就出現(xiàn)了手凍到難以寫字的問題。
而關(guān)于做題狀態(tài)的保持，我建議至少每個(gè)星期做一次模擬考——連續(xù)兩天，每天上午做 4.5 小時(shí)的題目，模擬考試狀態(tài)，不能沒做完就提前交卷或者消極考試，寫過程。考完之后的下午可以休息，保持精力，也可以繼續(xù)做題或者和同學(xué)討論，然后認(rèn)真批改過程，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)答案找出所有筆誤和說不清楚的地方。
在 CMO 過程的書寫上，由于整體時(shí)問較多，所以其實(shí)不用太著急。寧可慢慢寫，也不要因?yàn)閷懙奶倍霈F(xiàn)偽證，或者因?yàn)樽舟E模糊被扣分。這里要特別提一句：如果提前做完了卷子，不要提前交卷，也不要趴在桌子上看別人做題。一定要認(rèn)真檢查自己的過程，甚至把寫的不好的過程重新抄正！在題目簡(jiǎn)單的時(shí)候，任何一點(diǎn)跳步都可能成為最后的血的教訓(xùn)。“千里之堤，毀于蟻穴”，不要讓自己多年的努力因?yàn)樽詈髱讉€(gè)小時(shí)的懈怠功虧一簣。
如果你從來沒有考過一次 4.5 小時(shí)的考試，找一個(gè)安靜的地方，一套沒做過的 CMO 真題，考一次試試吧。開始做題的時(shí)候要有一種信念，就算真的一點(diǎn)東西都得不出來，也不能坐在座位上發(fā)呆思考人生或者無腦的在草稿紙上抄式子 ——這是“慢性自殺”的做法。如果把沉浸在題目中的時(shí)間叫做“有效時(shí)間”，有效時(shí)間越長(zhǎng)，就說明考試狀態(tài)越好。
在考試中一時(shí)做不出來題其實(shí)是很正常的，如果真的感覺什么都得不出來，可以嘗試以下的事情：
去洗手間洗把臉，順便在走廊跑跑，活動(dòng)一下筋骨；
喝點(diǎn)水，吞一條巧克力；
在紙上列出你能想到的有希望解決此題的所有可能的方向，然后選擇一個(gè)沒有嘗試過的去嘗試。
最后一條比較關(guān)鍵：絕大部分情況，題目都是正確的，并且存在一個(gè)分為若干步驟，每一步驟都可以很容易理解的方法，并且這個(gè)方法的答案長(zhǎng)度不會(huì)超過兩張 A4 紙。
做數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)題是建立在題目存在這樣的方法的基礎(chǔ)上的。所以如果你花了很久都沒有攻克題目，很有可能并不是題目本身很難，而是你“誤入歧途”，常見的情況有：
第一步想當(dāng)然地找到了一個(gè)看上去形式比較簡(jiǎn)單的等價(jià)命題，或者“不妨設(shè)”了一大堆條件，表面上是賺到了，但事實(shí)上從原題直接出發(fā)處理比較容易，轉(zhuǎn)換過后反而變難了；
一直想直接做出來，但是實(shí)際用歸納法可以大大簡(jiǎn)化問題；一直想歸納，但是實(shí)際上命題并不具有歸納結(jié)構(gòu)，反而應(yīng)該在原題里面直接處理；
原題的條件可以直接推出一個(gè)很強(qiáng)而且很有用的結(jié)論，但是你沒有發(fā)現(xiàn)。
這幾點(diǎn)表面看上去很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上，在真正做題的過程中很有可能還是陷入了死胡同出不來了（因?yàn)橛袝r(shí)候可能真的只差了一點(diǎn)，不忍心放棄）。怎樣“在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候判定這個(gè)方法沒有用，并且盡快進(jìn)入下一個(gè)分支”是學(xué)術(shù)活動(dòng)高手的一種能力。
一次考試之中，把越多陷入困境的題目做出來，就算是考試狀態(tài)越好，在陷入超過 2 小時(shí)的困境后做出一道題目，就算是成功入門了 CMO 類的考試了。
在這樣的 4.5 小時(shí)的考試中，題目的難度未必是按照順序排列的。一般來說，老師選題的時(shí)候會(huì)認(rèn)為難度是遞增的，但實(shí)際情況可能會(huì)有很大不同。
如果在靠前的題目卡住比較久，千萬不能慌張，可以跳過它做下一題。特別的，有時(shí)候第一題可能看著并不難，但是卻一時(shí)想不到的話，可以先跳過它做 2 、 3 ，如果能做出一題，就“解毒”了，心態(tài)會(huì)平穩(wěn)很多，也就能比較順利的做下去了。
我曾經(jīng)在考試中花了很久都做不出第 1 、 2 題，但是跳到 3 的時(shí)候，卻立刻有思路（但其實(shí) 3 非常難），然后回頭，最終依次做了 2 與 1 。如果我一直對(duì)著第 1 題猛攻 4 個(gè)小時(shí)，很可能最后顆粒無收，出了考場(chǎng)才會(huì)懊惱沒有看 3 。所以思路要靈活，不能吊死在一棵樹上。
還有一種常見的情況，就是在考試進(jìn)行到了靠后的時(shí)間，卻顆粒無收。比如在第 3 個(gè)小時(shí)的時(shí)候還一題都做不出來。這個(gè)時(shí)候，很多人肯定己經(jīng)在思考：其他同學(xué)一定會(huì)嘲笑我，也沒有好大學(xué)讀了，只能和其他人一起高考 …… 這樣是非常錯(cuò)誤的！能減少這種情況發(fā)生的方法大概就是在平時(shí)練習(xí)的時(shí)候模擬考試的環(huán)境，比如邀請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)一起做，這樣在長(zhǎng)時(shí)間做不出題的時(shí)候開始會(huì)比較焦急，通過一次一次考試的訓(xùn)練漸漸達(dá)到沉浸題目之中，不受其他狀況影響。
考試的最后半個(gè)小時(shí)往往也很有意思。我做題的時(shí)候，“半小時(shí)魔咒”經(jīng)常出現(xiàn) —— 之前的很長(zhǎng)一段時(shí)間思路停滯，最后半小時(shí)卻忽然思如泉涌。我也不知道是為什么，但反正，如果最后半個(gè)小時(shí)突然有了思路，千萬不要慌張，更要沉卜心來認(rèn)真想，一邊想一邊把想法寫在卷子上。我曾經(jīng)多次在考試的最后半個(gè)小時(shí)做出題目或者得到關(guān)鍵性步驟，這樣的臨危不亂也是需要平時(shí)練習(xí)的。
備考 CMO ，不同的同學(xué)有不同的題目選擇。但是有兩套題目應(yīng)該是所有人都會(huì)做的：近年的 IMO 預(yù)選題（可以從 IMO 官網(wǎng)下載），《 走向 IMO 》 里面的CMO、集訓(xùn)隊(duì)真題。
一般來說，這些真題如果你完全按照 4.5 小時(shí) 3 題的這種考試模式，幾乎是做不完的。當(dāng)然，在初學(xué)階段，不建議把所有的第一題都挑出來做掉或者大面積看答案，因?yàn)檫@樣會(huì)導(dǎo)致以后損失很多套題。
冬令營(yíng)雖難，但是實(shí)際分?jǐn)?shù)線卻并不算太高，并且由于考試時(shí)間長(zhǎng)，狀態(tài)的波動(dòng)較小，所以比起聯(lián)賽并不算隨機(jī)性太大。我個(gè)人覺得，像前國(guó)家隊(duì)隊(duì)員這樣非常強(qiáng)的選手，應(yīng)該是可以保證能夠進(jìn)入下一年的集訓(xùn)隊(duì)的；而省隊(duì)呢，特別是在“拼一試”的強(qiáng)省，可能需要更多的訓(xùn)練。
最后說一下第一天考完的心理調(diào)整。
我強(qiáng)烈建議，在第一天考完之后不要與其他人對(duì)答案，不要看討論題目的網(wǎng)站。反正如果我是你的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，我肯定一看題就說“怎么這么簡(jiǎn)單，我們學(xué)校全部滿分”，讓你心態(tài)崩盤；
而且就算是真的自以為做了 3 題，實(shí)際能拿到多少分絕對(duì)是未知數(shù)。一般來講考完第一天狂水貼的人都比較浮躁，很有可能真的偽證了。再說了，退一萬步，即使真的有 10個(gè)人說自己做出 3 題，集訓(xùn)隊(duì)有 60個(gè)人呢！你要是做的不好，很可能其他人也做的不好。
所以最正確的心態(tài)就是：該吃吃該睡睡，不要想太多，還有一天呢，在考完所有的考試之前，一定不能放棄，也一定不能驕傲。
考試的最佳狀態(tài)就是忘記之前的一切，忘記你的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，把每場(chǎng)考試當(dāng)成第一場(chǎng)考試，把你的對(duì)手當(dāng)成自己。盡力多做出一道題目，多掙一分。
TST 就是集訓(xùn)隊(duì)。進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)就保送了，很多同學(xué)會(huì)有自己的打算。我個(gè)人認(rèn)為集訓(xùn)隊(duì)水平靠前的同學(xué)和靠后的同學(xué)還是有一定的實(shí)力差距的 ——可能集訓(xùn)隊(duì)里大約有 15 個(gè)同學(xué)算是可以“保證”進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)的，而有一半的同學(xué)實(shí)力跟前面那些同學(xué)有比較明顯的差距，進(jìn)集訓(xùn)隊(duì)有一定運(yùn)氣成分。每年集訓(xùn)隊(duì)中，都會(huì)有一半左右的同學(xué)放棄備考，從冬令營(yíng)結(jié)束開始準(zhǔn)備自己的事情—— 比如準(zhǔn)備出國(guó)，看大學(xué)數(shù)學(xué)等等。不能說這樣的同學(xué)是錯(cuò)的，相反，比起很多從冬令營(yíng)結(jié)束開始一直在備考的同學(xué)，他們真的“賺到”了一段很寶貴的時(shí)間，可以比很多人在之后取得先機(jī)。
當(dāng)然，如果自認(rèn)為有進(jìn)入國(guó)家隊(duì)的實(shí)力，我更希望你能認(rèn)真準(zhǔn)備集訓(xùn)隊(duì)的考試，并向國(guó)家隊(duì)發(fā)起沖擊，如果可以的話，為中國(guó)隊(duì)盡自己的一份力。
今年的集訓(xùn)隊(duì)考試公布了分?jǐn)?shù)，從分?jǐn)?shù)所反應(yīng)的情況來看，集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試有兩個(gè)很容易被忽視的地方：
第一點(diǎn)，穩(wěn)定性
考試結(jié)束之后，我們都認(rèn)為分?jǐn)?shù)線比預(yù)想低。是的，這樣的分?jǐn)?shù)線其實(shí)不要求你做出很多少于 10 人做出的難題，僅僅只需要把那些“非難題”全部穩(wěn)穩(wěn)地拿下即可。這并不是說在練習(xí)和考試的時(shí)候不做難題，而是說，其實(shí)相當(dāng)一部分非常有實(shí)力的選手并沒有拿下那些“不難”的題目，所以在練習(xí)和考試中，一定要練習(xí)拿下“非難題”的能力，減少失誤。一場(chǎng)集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試的 6 題中，一般有 1 到 2 個(gè)難題，而你只需要每次測(cè)試拿到 28 分，其實(shí)就足夠了。不過話又說回來，作為一個(gè)自認(rèn)為有實(shí)力的同學(xué)，如果只是通過“穩(wěn)定”勉勉強(qiáng)強(qiáng)壓線進(jìn)隊(duì)，其實(shí)真正到了 IMO 考場(chǎng)也很虛。所以當(dāng)然要提升自己做難題的能力。
第二點(diǎn)，書寫過程
在分?jǐn)?shù)線附近的同學(xué)很多，但實(shí)際上，有相當(dāng)一部分同學(xué)是因?yàn)檫^程寫的不好， 7 變成了 6 甚至 5 、 4 ，與國(guó)家隊(duì)失之交臂。關(guān)于寫過程，還是有很多技巧的。
到了 TST 這個(gè)級(jí)別的考試，可以說在申訴之后不存在“判錯(cuò)”的問題——這里的判錯(cuò)指的是對(duì)錯(cuò)，而不是尺度。TST 的考試判卷方法接軌 IMO ，更加重視邏輯，對(duì)書寫要求稍輕。
關(guān)于書寫，有一種“ IMO 式書寫法”，在時(shí)間只有很短，但是要寫的東西很多的時(shí)候，可以采用這樣的書寫方法：用比較淺顯易懂的語言把思路的核心步驟寫出來（比如說，組合題可以不用寫的太“數(shù)學(xué)化”，可以用口語化語言寫出來），在旁邊配很多圖（難寫的很多是組合題，配圖可以大大增加直觀性），然后在每個(gè)步驟下面留出一段空白，不驗(yàn)證細(xì)節(jié)。如果在補(bǔ)完第一層之后還有時(shí)間，就再補(bǔ)第二層細(xì)節(jié) …… 如果你的思路真的是對(duì)的，一般來說都能得到一些分?jǐn)?shù)。
一般來說，這個(gè)級(jí)別的考試不太糾結(jié)筆誤，只要筆誤不是太多太嚴(yán)重影響閱讀都不會(huì)扣分。但在寫過程的最后最好讀一讀，避免出現(xiàn)重復(fù)字母或者把所有 m 都寫成 n 之類的情況。
關(guān)于筆誤要注意的是：如果使用了計(jì)算法解幾何題，特別是解析幾何、復(fù)數(shù)這種很可能不是標(biāo)準(zhǔn)答案又計(jì)算量非常大的方法，一定要反反復(fù)復(fù)檢查筆誤！因?yàn)槿绻霈F(xiàn)了一些筆誤，到底你是算出來的還是蒙的，就很難說清楚了；一旦被發(fā)現(xiàn)，可能會(huì)扣比較多得分。
關(guān)于邏輯。一般來說，越簡(jiǎn)單的題目，對(duì)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性要求越高；如果題目本身很難，可以適當(dāng)跳步。所以在寫第一題的時(shí)候，可能方法本身就沒幾行，要是一個(gè)關(guān)鍵結(jié)論不證明，當(dāng)然很可能掉分；就算是掉 1 分，也很痛苦。這里要注意，凡是非定理的結(jié)論都最好去證明，包括一些不難證明的結(jié)論，比如?OI2=R2-2Rr，調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)等等。
如果題目本身很難，比如你用了很多很多這樣的性質(zhì)，也可以適當(dāng)不證一些結(jié)論。當(dāng)然，比較好的做法是如果最后還有時(shí)間，把沒證明的結(jié)論后面打個(gè)（ * ) , 把證明附在解答之后。
這里不得不說到偽證和漏步驟的問題了。我自己做題的做法是在草稿紙上打草稿時(shí)把重點(diǎn)的結(jié)論圈起來，這樣在寫證明的時(shí)候可以按照圈找回自己之前的思路，避免“忘記之前怎么做”的悲劇（在一道題目做了很久的情況下時(shí)常發(fā)生），同時(shí)也不容易漏掉關(guān)鍵步驟（比如，其實(shí)只需要取 f （a） = f （b）帶進(jìn)某個(gè)式子就可以顯然得到函數(shù)是單射的，但是沒有寫在卷子上，后面直接用，很可能會(huì)被扣一些分） 。
偽證是成為高手的絆腳石。如果你在平時(shí)或者考試中經(jīng)常出現(xiàn)偽證，一定要引起足夠的重視——偽證一旦在重要考試中出現(xiàn)，就會(huì)是很可怕的事情。這里要說的是，如果在卷子上寫了很多錯(cuò)誤（或者沒用）的東西，不要著急劃掉，最好做個(gè)標(biāo)記，然后最后再做處理——因?yàn)槟愕倪@一部分過程很可能還是有道理的，如果做出來后發(fā)現(xiàn)還要重新抄一大段劃掉的東西就很虧了。
上面兩點(diǎn)大概是我覺得集訓(xùn)隊(duì)考試最需要注意的地方。針對(duì)這兩點(diǎn)，在訓(xùn)練的過程中一定要盡量模擬考試的時(shí)間和狀態(tài)，并且耐著性子寫過程。
集訓(xùn)隊(duì)期間，往往會(huì)有很多誘惑 ——比如打牌，打游戲等等。我非常不建議有決心沖擊國(guó)家隊(duì)的選手沉迷于這些活動(dòng)，最多考完試打打球，每個(gè)人有自己的娛樂方式，比如跑步、打球、做題等，要按照自己的節(jié)奏來，不要被本來不認(rèn)真考試的同學(xué)帶壞了。
最后講講集訓(xùn)隊(duì)里的體力和心態(tài)調(diào)節(jié)。
集訓(xùn)隊(duì)考試，是整個(gè)學(xué)術(shù)活動(dòng)生涯里持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)，也最壓抑的考試。可以說集訓(xùn)隊(duì)考試要褪一層皮是毫不夸張的（如果有第二輪的話就兩層 ……）。集訓(xùn)隊(duì)考試既是數(shù)學(xué)水平的較量，也是心態(tài)和體力的較量。
一般來說，集訓(xùn)隊(duì)考試進(jìn)行到一半左右肯定會(huì)越來越疲憊，很可能狀態(tài)逐漸下滑。“一鼓作氣，再而衰，三而竭”，這樣的情況是正常的，所以要注意睡眠，保持規(guī)律的作息，多鍛煉身體，保持充沛的精力。如果覺得講座太多的話，可以放棄一些講座（其實(shí)很多講座的主要受眾是旁聽生啦）。當(dāng)然，我建議每天上午準(zhǔn)時(shí)起床，認(rèn)真做題，下午和晚上可以適當(dāng)放松，這樣更容易保持考試狀態(tài)。
關(guān)于集訓(xùn)隊(duì)考試期間的心態(tài)，則比冬令營(yíng)的兩場(chǎng)考試要復(fù)雜得多，也更考驗(yàn)?zāi)婢诚驴箟旱哪芰Α?/p>
歷史上，波瀾壯闊的大翻盤常有。在最后一場(chǎng)考試之前永不放棄，不僅是一句口號(hào)，更是一種信念。事實(shí)上，在最后的大考結(jié)束之前，一切都是未知數(shù)。
事實(shí)上心態(tài)的調(diào)整不僅僅局限于集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試中，也同樣存在于日常生活中。能在人生的低谷里不驕不躁，頂住壓力，臥薪嘗膽，最終走出黑暗，也是人生中重要的能力。
心態(tài)主要分兩部分：
之前考的較好的人，盡管知道自己有領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，也要不驕不躁，一定不要在考試中計(jì)算分?jǐn)?shù)！就算是最后一場(chǎng)考試有很大優(yōu)勢(shì)，也要全力以赴，絕不能掉以輕心一一那些沒改出來的考試的分?jǐn)?shù)都是未知的，不能想當(dāng)然的認(rèn)為自己進(jìn)隊(duì)了就不努力了；再說了，進(jìn)隊(duì)也有排名的嘛。
如果之前的發(fā)揮差強(qiáng)人意，一定不要給自己立 flag。不要想著“要是拿不到 3 題我就進(jìn)不了國(guó)家隊(duì)了”。題目的難度不可預(yù)測(cè)，說不定題目很難，其他人全都 0 分，你做出 1 題就進(jìn)國(guó)家隊(duì)了呢？又或者，你之前估分為 0 的題目其實(shí)有 4 分，別人估分 7 的題目其實(shí)只有 3 分，這樣算下來你的成績(jī)并不算差。題目對(duì)每個(gè)人都是公平的，你覺得難，其他人肯定也覺得難。而萬一因?yàn)樽约盒睦硪筇邔?dǎo)致考試心態(tài)失衡，痛失好局，就后悔莫及了。
總之，還是那句話，把每場(chǎng)考試當(dāng)成第一場(chǎng)考試，把所有對(duì)手當(dāng)成自己，只要發(fā)揮出自己的水平，盡全力了，就算是沒進(jìn)也沒有關(guān)系。再說了，要是盡全力還是沒法進(jìn)入國(guó)家隊(duì)，那去 IMO 考試也只會(huì)壓力更大嘛。
下面這些內(nèi)容主要針對(duì)自學(xué)，如果你有一個(gè)會(huì)精心安排你的備考計(jì)劃的學(xué)術(shù)活動(dòng)教練，下面的這些內(nèi)容僅供參考，主要還是要跟著教練的思路走。
關(guān)于培訓(xùn)，在這里我不作推薦，但是個(gè)人覺得最好還是要參加一些培訓(xùn)，了解一下最新的題目和方法。
以下講的這些都是我自己聽過或者做過的書和題目，應(yīng)該大部分都可以在網(wǎng)上找到 pdf 版本，沒有提到的書和題很可能是沒有做過的。不敢枉加評(píng)價(jià)。
一般來說，剛剛接觸學(xué)術(shù)活動(dòng)的新人都需要一套系統(tǒng)全面的入門書籍，比如：《 奧賽經(jīng)典》、《 奧數(shù)教程 》 、《 小叢書 》?等。對(duì)于這些書，如果可以的話當(dāng)然是選一套書慢慢啃，但其實(shí)幾乎沒有人能夠有毅力地踏踏實(shí)實(shí)做完一套這樣的“大部頭”...... 所以你可以先了解一下做題的方法，然后做一些題，不一定要做完所有習(xí)題。
在剛開始接觸新的領(lǐng)域的時(shí)候可以直接看例題的答案，但是最好每個(gè)題都要經(jīng)過一段時(shí)間的思考，至少也應(yīng)該知道自己沒有突破的地方在哪 —— 那就是你能學(xué)到的新東西。要學(xué)會(huì)舉一反三，這樣很快就能掌握很多方法。
關(guān)于聯(lián)賽的模擬題，除了學(xué)校教練的題目，我只做過 《 中等數(shù)學(xué) 》 的模擬題（包括增刊和非增刊）。模擬題的難度總歸與真正聯(lián)賽有差距，所以如果有些套題做下來一點(diǎn)思路都沒有，很可能是題目確實(shí)難，不必太在意；但是如果是自己算錯(cuò)的很多，就要找原因了。事實(shí)上，我自己的體會(huì)是，增刊模擬題一試平均分與真實(shí)聯(lián)賽的成績(jī)差距不會(huì)很大。可能模擬會(huì)稍難一些，但是真正考聯(lián)賽的時(shí)候會(huì)比較緊張，也有可能會(huì)出現(xiàn)低級(jí)失誤。
在稍稍進(jìn)步一些之后，實(shí)際上你己經(jīng)可以做出一部分聯(lián)賽二試難度的題目了，但是穩(wěn)定性卻不能保證。這個(gè)時(shí)候，比較重要的是補(bǔ)充短板。可以看之后的具體分支中的書。
關(guān)于備戰(zhàn)二試較難的題目和 CMO 以上級(jí)別的考試，我強(qiáng)烈推薦單蹲的?《 數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)研究教程 》。盡管這本書不厚，但其中很多章節(jié)里的思想很關(guān)鍵。盡管現(xiàn)在新的方法很多，很多很難的題目卻恰恰用的是老的方法。我覺得這本書是值得從頭到尾扎實(shí)地把所有題做一遍的。
《 命題人講座 》 系列是一套補(bǔ)短板的好書，但也有不足 一一 部分書的部分章節(jié)太偏太難，更像是科普而非針對(duì)學(xué)術(shù)活動(dòng)。我自己看過的書大概在之后寫了，其他的書就沒怎么看過了。
一些流行的期刊，比如 《 中等數(shù)學(xué) 》 等，可能會(huì)載有一些最新的題目和方法。我推薦大家在看書了解傳統(tǒng)的方法的同時(shí)，最好也要了解最新的題目與新興的方法。
之前說到過兩套所有人都要做的題目：《 走向 IMO 》和 IMO 預(yù)選題。這兩套題目都非常好，在準(zhǔn)備 CMO 和 TST 時(shí)都可以做。?IMO 預(yù)選題大致按照難度排序，并且題目本身大都很優(yōu)美。（當(dāng)然，其中有些題目可能作為學(xué)術(shù)活動(dòng)題確實(shí)過難了一些......）
題目看似雖少，如果給足時(shí)間做這些題目，實(shí)際上也需要不少時(shí)間。從 IMO官網(wǎng)（ www.imo-official.org ）的problems里可以找到近年的 IMO?預(yù)選題（ IMO shortlist ）與多種語言的 IMO 真題。當(dāng)然，你也可以從官網(wǎng)里找到歷年考試的成績(jī)與選手的資料（包括照片哦），在做 IMO 題目的時(shí)候可以以此為參考。
數(shù)學(xué)新星網(wǎng)里有一些不錯(cuò)的文章，新星征解的難度也不錯(cuò)（難度不太均勻，建議以題為單位單獨(dú)做，不要計(jì)時(shí)），對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)可能會(huì)有幫助。
很多人都會(huì)逛 AOPS論壇?(www.artofproblemsolving.com?) ,進(jìn)入 community， contest 就可以找到很多其他國(guó)家的題目了，也可以在論壇上與世界各地的數(shù)學(xué)愛好者討論。我自己做過近年美國(guó)的USAMO , USATST , USATSTST 試題，確實(shí)也不錯(cuò)。
另外，?AOPS 上的方法一般是網(wǎng)友自己做出來的，可能有很多方法與官方答案不同。有很多非常優(yōu)美的方法值得學(xué)習(xí)一一有些題目官方答案很復(fù)雜，但在 AOPS 上卻有短而精辟的解答。
Aigner 與 Ziegler 的《Proofs from THE BOOK 》是一本拓寬視野的好書。平時(shí)沒事可以翻翻，里面的很多證明有推廣價(jià)值。（不過有的章節(jié)需要用到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，看不懂就留給以后再看吧）
下面按照代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合的順序給出一些具體的建議。
代數(shù)，主要的題型有多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)，數(shù)列，不等式，函數(shù)方程。
關(guān)于代數(shù)，個(gè)人認(rèn)為學(xué)一些數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)對(duì)代數(shù)感會(huì)有提高——有些題目會(huì)用到分析或者代數(shù)的思想，未來的題目也很有可能朝這個(gè)方向發(fā)展，所以有時(shí)間的話推薦大家學(xué)一些。
系統(tǒng)講多項(xiàng)式和復(fù)數(shù)的書其實(shí)不多，《 數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)研究教程 》里有講到一些。但我對(duì)復(fù)數(shù)和多項(xiàng)式的了解主要還是來自于題目。有一些特殊的多項(xiàng)式，比如 Chebyshev 多項(xiàng)式，還是要了解的。多項(xiàng)式另一個(gè)考點(diǎn)是多項(xiàng)式的數(shù)論性質(zhì)，比如 Hensel 引理等，也要了解。
數(shù)列，要熟悉各種各樣的換元法和求通項(xiàng)公式的方法，能求出通項(xiàng)公式的數(shù)列往往可以通過通項(xiàng)公式大幅簡(jiǎn)化問題。數(shù)列的另一種考法是與數(shù)論結(jié)合。比如像 Fibonacci 數(shù)列這樣的二階線性遞推數(shù)列有很好的數(shù)論性質(zhì)，要專門研究。
不等式是一個(gè)大坑?，種類繁多，套路復(fù)雜。拿到一個(gè)不等式，第一件事一定是猜取等，通過取等確定最基礎(chǔ)的方向一般來說，取等都是比較容易猜出的。比如若干取0若干相同；但是也有例外，比如不對(duì)稱的不等式和一些算常數(shù)的不等式。遇到不確定取等條件的不等式，最好先觀察有沒有簡(jiǎn)化的方法：比如可以通過調(diào)整，讓最小者是0；對(duì)局部求導(dǎo)，得到一些要滿足的性質(zhì)等等。
三元對(duì)稱不等式有一個(gè)很厲害的方法，就是配齊次、通分、展開，然后利用 Schur 不等式和 Murihead 定理一點(diǎn)一點(diǎn)消去一些項(xiàng)（當(dāng)然還有直接把一些平方展開可以得到的“自制”不等式），最后把它拆成若干個(gè)非負(fù)的東西之和就可以了。（一般來說，不等式都不會(huì)太強(qiáng)，一點(diǎn)一點(diǎn)來總能可以做出來的）當(dāng)然，現(xiàn)在考的三元對(duì)稱不等式越來越少了，一般也不會(huì)讓你可以這么暴力的解出，比如給一個(gè)很不友善的條件之類的（ 如
a2+b2+c2=1??讓你配不了齊次）遇到這種情況還是老老實(shí)實(shí)用傳統(tǒng)的不等式方法（均值，柯西等）做吧。
切割線法和局部不等式是解決問題的獨(dú)門秘籍。如果遇到簡(jiǎn)單放縮無法奏效的情況，可以試著自己構(gòu)造一個(gè)這樣的局部。
如果不等式中變?cè)欠蛛x的，可以考慮用 karamata 不等式和Jensen 不等式，驗(yàn)證一下凸性，說不定就做完了或者大幅簡(jiǎn)化問題。
調(diào)整法很笨，但是有的時(shí)候卻能奏效。但是調(diào)整法要注意：如果要使用無限次的平均調(diào)整，一定要說明調(diào)整是作用在緊集上的，從而最小值點(diǎn)存在。另外，不是所有題都可以輕易地調(diào)整出來。如果調(diào)整法計(jì)算量不小的話，試試其他方法吧。
函數(shù)方程，是一個(gè)中國(guó)考察得比較少的方向，但是在 IMO 預(yù)選題代數(shù)里往往占據(jù)半壁江山。個(gè)人覺得函數(shù)方程是代數(shù)里很難提高的部分，不同題目的處理方法也不太有共通性。雖說本質(zhì)上就是不斷代入，但也有一些技巧，比如尋找函數(shù)方程的單調(diào)、單射滿射等性質(zhì)；考察函數(shù)的值域，或者取函數(shù)的等于目標(biāo)函數(shù)的點(diǎn)的集合，刻畫集合的性質(zhì)以證明是全集：適當(dāng)給出變?cè)g的關(guān)系使得等號(hào)兩邊部分項(xiàng)相等而消去；把較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)帶入，結(jié)合之前的結(jié)論變形消元等等。
代數(shù)歷來是中國(guó)的傳統(tǒng)強(qiáng)項(xiàng)與國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)活動(dòng)中的一大考察重點(diǎn)。不過相對(duì)而言，代數(shù)對(duì)基本功要求較高，通過訓(xùn)練會(huì)有較大提高。
幾何與其他方向不同，有多種本質(zhì)不同的處理手段，最關(guān)鍵的是掌握多種手段解題 ——?純幾何（包括幾何變換），三角，復(fù)數(shù)，重心坐標(biāo)系，解析幾何。
這里我不討論比較“奇怪”的幾何題，比如幾何不等式或者立體幾何。當(dāng)然主要原因是考得不多，我自己也沒有學(xué)過......
純幾何法，簡(jiǎn)單來說就是幾何的傳統(tǒng)方法。一般標(biāo)準(zhǔn)答案一定會(huì)至少給出一個(gè)這樣的純幾何法，所以普適性最強(qiáng)。
關(guān)于純幾何，最權(quán)威的書或許是 《 近代歐氏幾何學(xué) 》。這本書里記錄了很多很有趣的性質(zhì)，但是對(duì)具體處理幾何題似乎幫助不大......不過有向角和有向線段的書寫在這本書里有，可以練習(xí)一下；另外，這本書里面講了很多關(guān)于反演的性質(zhì)，如果你不熟悉反演變換，把這本書里面的性質(zhì)證一遍會(huì)熟悉很多。
反演是處理幾何題的常用手段，一般來說，在拿到題目之后都要檢測(cè)一下能不能通過反演大幅簡(jiǎn)化問題。這是一個(gè)處理很多幾何問題的捷徑，必須要學(xué)會(huì)，也不算很難。
調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)很多，也有很多很“套路”的題目可以用調(diào)和和配極做。關(guān)于這個(gè)，我印象里《 中等數(shù)學(xué) 》有一篇關(guān)于調(diào)和的文章講的比較詳細(xì)。
幾何的定理和構(gòu)型要熟悉。比如偽內(nèi)切圓，三角形五心的關(guān)系， Miquel 點(diǎn)，帕斯卡定理、笛沙格定理等等。很多幾何題是基于這些構(gòu)型的，如果不熟悉的話非常吃虧。
純幾何大概能講的就這么多，最后要記住：如果做不出來，請(qǐng)畫一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖，找相似、共線、共圓，大智若愚，往往做不出題的原因是你對(duì)這個(gè)圖形的結(jié)構(gòu)了解的還不夠深，只需猜到一些結(jié)論或許很快就能得到突破。
三角，是簡(jiǎn)單幾何構(gòu)圖中計(jì)算起來最快的方法，也是覆蓋面最廣的方法，所以聯(lián)賽幾何經(jīng)常可以用三角做。三角法的技術(shù)含量其實(shí)不算很高，大概就是把角寫出來（這里可能要用角元梅、賽），然后用正弦、余弦定理表示邊，最后算出對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。需要注意的是：和差化積、積化和差等三角變形公式必須非常熟悉。并且在處理具體問題的時(shí)候，一般來說乘比加的形式更漂亮，因?yàn)楦菀紫粢恍〇|西 ，?所以在表示邊的時(shí)候盡可能少用余弦定理，余弦定理一般是最后帶入算。
另外，三角法有時(shí)要配合同一法。有時(shí)候一個(gè)角看似不好求，實(shí)際上就是已有角的線性表示，帶入之后一下就做出來了。所以在三角法陷入僵局的時(shí)候可以考慮帶入特殊角。
復(fù)數(shù)法。復(fù)數(shù)法其實(shí)適用范圍并不廣泛，但是有的題目用復(fù)數(shù)會(huì)遠(yuǎn)簡(jiǎn)單 —— 復(fù)數(shù)是做幾何題的獨(dú)門兵器。復(fù)數(shù)法一般來說只能適用于圓比較少的情況：因?yàn)榻o定 3 點(diǎn)求圓心坐標(biāo)很困難。一般來說，原點(diǎn)取一個(gè)圓的圓心，并把這個(gè)圓取成單位圓，這樣可以認(rèn)為圓上的點(diǎn)有
相似三角形用復(fù)數(shù)比較容易表示，但解兩條直線的交點(diǎn)比較困難。在計(jì)算的過程中，盡量把所有點(diǎn)都用單位圓上的復(fù)數(shù)表示，這樣取共扼只需要把里面所有單位圓上的復(fù)數(shù)z分別換成1 / z 即可。
在用復(fù)數(shù)法解題之前要先判斷一下計(jì)算的復(fù)雜度。一般來說，表示起來復(fù)雜的點(diǎn)不能太多，否則計(jì)算量會(huì)指數(shù)級(jí)增加。
重心坐標(biāo)系我不會(huì)，但似乎也有其用武之地，有興趣的同學(xué)可以自己了解。
解析幾何法。這是一種很暴力的方法，適用范圍最差，計(jì)算量最大。我?guī)缀鯖]見過有人可以用解析幾何做出 CMO 以上難度的題，就算有，用三角也可以比較快的做出來。當(dāng)然，有的題目用曲線系等“高級(jí)”解析幾何方法可以迅速做出，可以參考單墫《 解析幾何的技巧 》。
處理一道幾何題，一般要先畫一個(gè)比較標(biāo)準(zhǔn)的圖，然后觀察是否有好的性質(zhì)，估測(cè)各種計(jì)算法的復(fù)雜度，然后選擇一種方法做下去。特別要注意的是，在 CMO 與之后的考試中，如果點(diǎn)線之問的位置關(guān)系不確定。最好使用有向角與有向線段或者分情況討論（盡管一般是本質(zhì)相同的）；特別的，在每個(gè)交點(diǎn)取出之前，一定要先詢問自己“是否有交點(diǎn)”，避免因?yàn)檫@樣的平凡情況被扣分。
中國(guó)國(guó)內(nèi)的考試對(duì)幾何的要求不算高，并且很多幾何題可以用“算”的方法解出，所以高手做幾何題往往更偏重計(jì)算法。（有一定原因是中國(guó)選手代數(shù)基本功較好）計(jì)算法的優(yōu)勢(shì)在于熟練之后所需時(shí)間比較穩(wěn)定，不容易卡殼。不過，?IMO 中較難的幾何題中有不少通過計(jì)算法很難解出，中國(guó)隊(duì)就普遍做的不好。所以我更推薦大家在學(xué)習(xí)幾何的時(shí)候計(jì)算、純幾何方法都要熟練，運(yùn)用“綜合法”解題，這樣才更容易穩(wěn)定發(fā)揮。
數(shù)論題目主要分成 3 類：傳統(tǒng)型數(shù)論、估計(jì)型數(shù)論、結(jié)合型數(shù)論。
傳統(tǒng)類的數(shù)論主要用同余，階與原根， Pell 方程，二次剩余來處理。我自己看的是潘承彪和潘承洞的《 初等數(shù)論 》 的前面一部分章節(jié)，其實(shí)己經(jīng)足夠了。稍高級(jí)的技巧，比如關(guān)于素?cái)?shù)分布、連分?jǐn)?shù)的結(jié)論，其實(shí)也可以學(xué)學(xué)，在有些題目里會(huì)有幫助。
傳統(tǒng)類的數(shù)論中國(guó)人比較擅長(zhǎng)。這一類的數(shù)論套路有限，多做一些題就可以了。另外，命題人講座里的《 初等數(shù)論 》 也不錯(cuò)，題目難度適中。不過這一類題目出現(xiàn)的頻率與難度目前在逐漸下降。
LTE引理很有用，算是一個(gè)“黑科技”，一定要熟練掌握。關(guān)于n!里素?cái)?shù)的指數(shù)以及組合數(shù)里的數(shù)論性質(zhì)也要熟。
估計(jì)型數(shù)論是最近出現(xiàn)的比較新穎的題目，一般是對(duì)一些量算兩次，比如：Bertrand-Chebyshev定理和有關(guān)素?cái)?shù)分布的結(jié)論的證明。在我的印象里，估計(jì)方法在處理 square-free 的時(shí)候很好用，但很多估計(jì)類題目其實(shí)并不算明顯——很多題目使用估計(jì)的想法出其不意，要是沒有往這方面想，就很難做出了。同時(shí)需要記住一些關(guān)于素?cái)?shù)的結(jié)論，比如素?cái)?shù)倒數(shù)和發(fā)散等等。
結(jié)合型數(shù)論，其實(shí)近年考的也不少，主要是與組合或者代數(shù)結(jié)合。( IMO 2016 T3 連幾何都結(jié)合了起來，很有趣）
與代數(shù)結(jié)合的數(shù)論有整值數(shù)列，數(shù)論函數(shù)方程，整系數(shù)、整值多項(xiàng)式等。這一類題目有自己獨(dú)特的處理方法，要專門尋找并練習(xí)。
與組合結(jié)合的數(shù)論題不少。這一類題目實(shí)際是“披著數(shù)論皮的組合”，在處理中常使用抽屜原理、構(gòu)造法等方法來解決。中國(guó)剩余定理往往在其中扮演了重要角色。
另外，還有一種整體思考類型的數(shù)論題目，最典型的題目是：“在 2n?-1 個(gè)整數(shù)中總可以取出其中 n 個(gè)數(shù)，其和為 n 的倍數(shù)”?( Erdos- Ginzburg - Ziv 定理）。第一次見到這種方法肯定會(huì)覺得不可思議，但這種方法其實(shí)是證明存在性的一種較常見的手段。
綜合型數(shù)論近年來在數(shù)論題目中出現(xiàn)的比例越來越高。事實(shí)上，跨分支出題是近年來的命題趨勢(shì)。所以要提升自己的知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。
組合，大概就是前面三個(gè)分支的補(bǔ)集吧。做過 IMO 預(yù)選題的同學(xué)都知道組合的厲害 ——?組合是四個(gè)分支中平均難度最高的分支，方法紛繁復(fù)雜，不易分專題訓(xùn)練：有人笑稱一些組合題是“小學(xué)奧數(shù)”，其實(shí)有一定道理 ——很多組合題并不需要很多前置知識(shí)，答案也只有寥寥數(shù)行，卻有很高的本質(zhì)難度。所以組合題的訓(xùn)練是四個(gè)分支中最困難的，做組合題很依賴大腦中的“靈光一現(xiàn)”。當(dāng)然，也正因?yàn)樽鼋M合題的方法較多，如果嘗試某種方法久而未果，最好嘗試新的方法，很可能會(huì)有收獲。
關(guān)于組合，我大概能想到的專題有圖論，集合，組合幾何，組合恒等式，母函數(shù)以及其他雜題。
圖論，個(gè)人覺得 Bondy?，和murty的?《 Graph?Theory with Applications?》?是不錯(cuò)的教材，這里面己經(jīng)有足夠應(yīng)付學(xué)術(shù)活動(dòng)的性質(zhì)和定理了：命題人里的 《 圖論 》 也不錯(cuò)。當(dāng)然，只看這樣的書并不能熟悉真正的題目，我強(qiáng)烈推薦大家找本俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克（ RMO ）的書來，找到里面所有的圖論題來做。
關(guān)于集合的問題出現(xiàn)的很多，但是方法其實(shí)與其他組合題差不多，有一些可以用圖論里的方法。如 Hall 定理：另外一些題目可以用歸納法或者極端原理。集合里也有一些值得注意的定理，比如 Sperner 定理，有很多不同的證明，最好都要了解（因?yàn)橛泻芏囝}目可以用類似定理某種證明的方法做出） 。
組合幾何，命題人講座的那本還不錯(cuò)，但我也只是翻過。組合幾何類型也很多，包括棋盤問題和格點(diǎn)問題，主要還是需要做大量的題目來熟悉學(xué)術(shù)活動(dòng)題在考什么。
組合恒等式其實(shí)更多的時(shí)候主要采用代數(shù)或者數(shù)論的方法解決，只有少數(shù)組合恒等式可以用“組合”來解決。推薦《研究教程 》?里組合恒等式和母函數(shù)的章節(jié)。
母函數(shù)，有一本很不錯(cuò)的講母函數(shù)的書，是 Graham ，Knuth，Patashnik 寫的?《 Concrete Mathematics 》?。其中講特殊數(shù)列，母函數(shù)和母函數(shù)的應(yīng)用的部分非常詳細(xì)，但缺點(diǎn)是比較長(zhǎng)。當(dāng)然如果沒有這么多時(shí)問，單蹲的 《 母函數(shù) 》?也不錯(cuò)。
其他題就歸結(jié)為雜題了，雜題類型很多，沒有什么固定的方法，只能多做題尋找其中的規(guī)律。
特別的，我要提一下代數(shù)方法（比如線性代數(shù)法，組合零點(diǎn)定理等）以及概率方法。這些“新穎”的方法容易被忽視，但卻有其用武之地，有興趣的同學(xué)可以自己研究一下。?( tips ：在 AOPS 上找 IMO 2012 T3 和 IMO?2014 T6 ，有驚喜）
關(guān)于組合題，我強(qiáng)烈推薦 RMO 的題目。?RMO 里的組合題都非常好，不算很難，但是用到了很多方法。RMO 的題目一般偏重幾何和組合，代數(shù)和數(shù)論會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單一些。除了 RMO ，莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)，圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)，全蘇奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)等學(xué)術(shù)活動(dòng)題目風(fēng)格類似，也非常優(yōu)秀。
總結(jié)與感謝
如果大家認(rèn)真地看完了之前寫的一切，可能會(huì)有些迷茫，也可能有點(diǎn)暈。不過沒事，其中的很多東西可能暫時(shí)不會(huì)用到，可以之后再看。
由于筆者水平有限，文章的邏輯有些混亂。內(nèi)容也只是“填鴨式”地把我能想到的東西都寫了出來：但其中，每一行字都是筆者的經(jīng)驗(yàn)之談。很多簡(jiǎn)短的話語中飽含了血的教訓(xùn)！希望大家能盡可能地理解我想表達(dá)的意思，在學(xué)術(shù)活動(dòng)路上找到屬于自己的天空。
最后，感謝一路陪伴的同學(xué)、老師一是你們的存在讓我的學(xué)術(shù)活動(dòng)之路如此豐富多彩；特別感謝 2017 年中國(guó)國(guó)家隊(duì)教練組老師們的辛勤付出，老師們辛苦了！
以上就是關(guān)于【何天成談數(shù)學(xué)競(jìng)賽】的解答，如需了解學(xué)校/賽事/課程動(dòng)態(tài)，可至翰林教育官網(wǎng)獲取更多信息。
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