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AMC | 坐標系里的三種必備圖形

Category: AMC美國數學競賽, 國際競賽 Date: 2018年4月12日下午12:02

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AMC美國數學學術活動系列將連載12期，根據AMC10/12體系，來講解其涉及到的各個知識點，并為公立學校和國際學校的學生提供中英文對照。本期為第 6 期。

本期要點：

1.坐標系和解析幾何來源

2.直線方程

3.拋物線

4.雙曲線

咱們先從坐標系的發明人——笛卡爾講起。

有一天，法國數學家笛卡爾生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤。他拼命琢磨。通過什么樣的辦法、才能把“點”和“數”聯系起來。后來他把兩個有關系的數字 x 和 y ，分別畫到平面上水平方向和豎直方向，這樣兩個數字就能對應一個點了。

至于 x， y 兩個數字之間的關系，最常見的是直線、拋物線和雙曲線了。下面我們來分別畫一下。

當我們寫下 y=mx + c 這個式子。m 和 c 無論取任何數，x 與 y 的關系都是一次的關系。把這個關系畫在坐標系中，就形成了直線。?

這條直線的斜率（slope）受 x 前面這個數——m，影響；這條直線和 y 軸的交點（y-intercept）受常數項 c 影響。

一次函數較為簡單，只有兩個 m 和 c 兩個影響因素，現在我們來看看有三個影響因素的二次函數。

a 對于圖像的影響是：

a 是正數則開口向上，a 是負數則開口向下。

a 的絕對值大小會影響開口的大小

b 這個數字會影響拋物線的對稱軸（axis of symmetry），但是準確的說，是 a 與 b 共同影響對稱軸，對稱軸為： x 等于負 2a 分之 b。

最后，c 就比較簡單了，它和直線中的 c 一樣，都是控制圖像與 y 軸的交點，即使圖像產生上下平移的效果。

一次的和二次的線了解了，咱們再講一個負一次的——即反比例函數。?

大家仔細觀察上圖就明白：反比例函數圖像為雙曲線，只有一個變量 k 影響圖像的形狀。k 是正數的話，圖像在一、三象限；k 是負數的話，圖像在二、四象限。?

好，今天你學習了《AMC系列》的第六講，了解了平面直角坐標系的來源，也會了三種圖像和參數之間的聯系。

恭喜你，又解鎖了AMC數學學術活動的一個新章節。下次我們將學習代數運算。?

AMC8/AMC10/AMC12/AIME

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