俄羅斯的數(shù)學(xué)為什么這么強(qiáng)

從世界第一數(shù)學(xué)強(qiáng)校的背后縱觀整個(gè)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)史，蘇俄數(shù)學(xué)無(wú)疑是一支令人矚目的力量。

百年來(lái)，蘇俄涌現(xiàn)了上百位世界一流的數(shù)學(xué)家，其中如魯金（Н. Н. Лузин），亞歷山德羅夫（П. С. Александров），柯爾莫戈羅夫（А. Н. Колмогоров），蓋爾范德（И. М. Гельфанд），沙法列維奇（И. Р. Шафаревич），阿洛爾德（В. И. Арнольд）等都是響當(dāng)當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)大師。

而這些優(yōu)秀數(shù)學(xué)家則大多畢業(yè)于莫斯科大學(xué)（МосковскийгосударственныйуниверситетимениМ.В.Ломоносова）。

莫斯科大學(xué)所涌現(xiàn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家其數(shù)量之多，質(zhì)量之高，恐怕除了19世紀(jì)末20世紀(jì)初的哥廷根大學(xué)。

在20世紀(jì)就再也沒有那個(gè)大學(xué)敢與之相比了，即使是赫赫有名的普林斯頓大學(xué)也沒有出過這么多的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)是當(dāng)之無(wú)愧的世界第一數(shù)學(xué)強(qiáng)校。

對(duì)于莫斯科大學(xué)，我們是既熟悉又陌生，說(shuō)熟悉是因?yàn)椋袊?guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)系都多少受了莫斯科大學(xué)的影響。

我們?cè)?jīng)長(zhǎng)期學(xué)習(xí)莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué)教材，做莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué)習(xí)題集，直到現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生還在做各種莫斯科大學(xué)編寫的習(xí)題集。

如在下我，就曾經(jīng)做過吉米多維奇的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》（Б. П. Демидович《Сборникзадачиупражненийпоматематическомуанализу》）、

巴赫瓦洛夫的《解析幾何習(xí)題集》（С. В. Бахвалов《Сборникзадачпоаналитическойгеометрии》）、

普羅斯庫(kù)列科夫的《線性代數(shù)習(xí)題集》（И. В. Проскурярков《Сборникзадачполинейнойалгебре》）、

法杰耶夫的《高等代數(shù)習(xí)題集》（Д. К. Фаддеев《Сборникзадачповысшейалгебре》）、

菲力波夫的《常微分方程習(xí)題集》（А. Ф. Филиппов《Сборникзадачподифференциальнымууравнениям》）、

沃爾維科斯基的《復(fù)變函數(shù)習(xí)題集》（Л. И. Волковыский《Сборникзадачпотеориифункцийкомплексногопеременного》）、

符拉基米羅夫的《數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題集》（В. С. Владимиров《Сборникзадачпоуравнениямматематическойфизики》）、

費(fèi)堅(jiān)科的《微分幾何習(xí)題集》（А. С. Феденко)《Сборникзадачподифференциальнойгеометрии》）、

克里洛夫的《泛函分析——理論怠顎解答》（А. А. Кириллова

《Теоремыизадачифункциональногоанализ》）、

捷利亞科夫的《實(shí)變函數(shù)習(xí)題集》（С.А.Теляковский《Сборникзадачпотеориифункцийдействительногопеременного》）。

說(shuō)陌生的因?yàn)椋箍拼髮W(xué)有很多方面和中國(guó)大學(xué)大相徑庭。

那么莫斯科大學(xué)成為世界數(shù)學(xué)第一強(qiáng)校奧秘何在？我很幸運(yùn)家里有親戚，

曾于80年代公派到莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)部讀副博士（кандидат）（相當(dāng)于美國(guó)的博士），又有熟人正在莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系讀副博士。

從中了解到莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的具體情況，特地把這些都發(fā)在BBS上，讓大家看看，世界一流的數(shù)學(xué)家是如何一個(gè)一個(gè)的從莫斯科大學(xué)走出的。

鄧小平有句話說(shuō)足球要從娃娃抓起，莫斯科大學(xué)則是數(shù)學(xué)要從娃娃抓起。

每年暑假，俄羅斯各個(gè)大學(xué)的數(shù)學(xué)力學(xué)系和計(jì)算數(shù)學(xué)系（俄羅斯的大學(xué)沒有我們這樣的數(shù)學(xué)學(xué)院，如莫斯科大學(xué)，

有18個(gè)系和2個(gè)學(xué)院，

和數(shù)學(xué)有關(guān)的是數(shù)學(xué)力學(xué)系（Mеханико-математическийфакультет）和計(jì)算數(shù)學(xué)與自動(dòng)控制系（Факультетвычислительнойматематикиикибернетики），

數(shù)學(xué)力學(xué)系下設(shè)數(shù)學(xué)部（Отделениематематики）和力學(xué)部（Отделениемеханики），

其中的力學(xué)部和我國(guó)的力學(xué)系大不相同，倒接近于應(yīng)用數(shù)學(xué)系，計(jì)算數(shù)學(xué)與控制論系（Факультетвычислительнойматематикиикибернетики）

包括計(jì)算數(shù)學(xué)部和控制論部2個(gè)部，計(jì)算數(shù)學(xué)部和我國(guó)的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)相當(dāng)，控制論部接近于我國(guó)的自動(dòng)化系。

但是數(shù)學(xué)學(xué)的很多，前二年數(shù)學(xué)力學(xué)系及計(jì)算數(shù)學(xué)與控制論系一起上課，第三年數(shù)學(xué)力學(xué)系和計(jì)算數(shù)學(xué)與控制論系一起學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)方面的課程，

到大四大五才單獨(dú)上專業(yè)課）都要舉辦數(shù)學(xué)夏令營(yíng)（Летнийматематическийлагерь），凡是喜歡數(shù)學(xué)的中小學(xué)生都可以報(bào)名參加，完全是自愿的。

由各個(gè)大學(xué)的數(shù)學(xué)教授給學(xué)生講課做數(shù)學(xué)方面的講座和報(bào)告。

莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué)夏令營(yíng)是最受歡迎的，每年報(bào)名的人都是人滿為患，大家都希望能一睹數(shù)學(xué)大師們的風(fēng)采，

聽數(shù)學(xué)大師講課，做報(bào)告，特別是蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）和維洛格拉托夫（И. М. Виноградов），吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）

（蘇聯(lián)有了微型電子計(jì)算機(jī)后，吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）經(jīng)常在夏令營(yíng)里教人玩計(jì)算機(jī)）幾乎每年都參加夏令營(yíng)的活動(dòng)。

數(shù)學(xué)夏令營(yíng)和我國(guó)的奧數(shù)班不同，他的目的不是讓學(xué)生參加什么學(xué)術(shù)活動(dòng)，拿什么獎(jiǎng)，而是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生，

使他們能通過和數(shù)學(xué)家的接觸，讓他們了解數(shù)學(xué)，并最終走上數(shù)學(xué)家的道路。

在柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）的提議下，從70年代開始，蘇聯(lián)的各個(gè)名牌大學(xué)大多舉辦了科學(xué)中學(xué)，

從夏令營(yíng)中發(fā)現(xiàn)的有科學(xué)方面天賦的學(xué)生都能報(bào)名進(jìn)入科學(xué)中學(xué)，由大學(xué)教授直接授課，他們畢業(yè)后都能進(jìn)入各個(gè)名牌大學(xué)。

其中最著名的當(dāng)屬莫斯科大學(xué)的柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）科學(xué)中學(xué)（ШколаКолмогорова- специализированныйучебно-научныйценрМГУимениМ. В. Ломоносова）。

這所學(xué)校從全國(guó)招收有數(shù)學(xué)、物理方面天賦的學(xué)生，完全免費(fèi)。

對(duì)家境貧寒的學(xué)生還發(fā)給補(bǔ)助，盡管莫斯科大學(xué)現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)上困難重重，但這點(diǎn)直到現(xiàn)在都沒變。

事實(shí)上科學(xué)中學(xué)的學(xué)生成才率相當(dāng)高，這點(diǎn)是有目共睹的。

到80年代末，90年代初，已經(jīng)有幾個(gè)當(dāng)年的柯爾莫哥羅夫科學(xué)中學(xué)的學(xué)生成了科學(xué)院院士。

中國(guó)的大學(xué)，近年來(lái)常爆出招生中走后門的丑聞。

其實(shí)以前就有高干子弟，成績(jī)不好，居然能進(jìn)名牌大學(xué)的事情。

象50-60年代的北京大學(xué)、科技大學(xué)、清華大學(xué)都有這樣的學(xué)生。

南京大學(xué)當(dāng)年被院系調(diào)整搞得亂七八糟，從當(dāng)家老大變成二流重點(diǎn)大學(xué)。

現(xiàn)在，大概沒那個(gè)中央領(lǐng)導(dǎo)的子弟看的上，估計(jì)這樣的學(xué)生是沒有的。

反觀莫大，那可是非硬功夫進(jìn)不去的，就算你是蘇共總書記的兒子也一樣。

莫大敢如此硬氣，其實(shí)是其前校長(zhǎng)彼得羅夫斯基（И. Г. Петровский）（我們對(duì)這位大數(shù)學(xué)家不會(huì)陌生吧！）

利用擔(dān)任最高蘇維埃主席團(tuán)成員（членПрезидиумаВерховногоСоветаСССР）以及和蘇共的各個(gè)高級(jí)官員的良好關(guān)系爭(zhēng)來(lái)的尚方寶劍有關(guān)。

蘇聯(lián)有明確規(guī)定，包括莫大在內(nèi)的幾個(gè)名牌大學(xué)招生只認(rèn)水平不認(rèn)人（其它大學(xué)，高級(jí)官員的子女同等條件優(yōu)先），必須是擇優(yōu)錄取。

莫大的生源好，和蘇聯(lián)的整體基礎(chǔ)教育水平高也有關(guān)。

蘇聯(lián)有一點(diǎn)值得中國(guó)學(xué)習(xí)，蘇聯(lián)的中小學(xué)的教學(xué)大綱和教材都是請(qǐng)一些有水平的科學(xué)家編寫的，

像數(shù)學(xué)就是柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）、吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）和龐特里亞金（Л. С. Понтрягин）寫的，而且蘇聯(lián)已經(jīng)把微積分、線性代數(shù)、歐氏空間解析幾何放到中學(xué)教了。

大學(xué)的數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、幾何就可以在更高的觀點(diǎn)上看問題了（其實(shí)和美國(guó)的高等微積分、初等微積分的方法相似）。

有一流的生源，不一定能培養(yǎng)出一流的數(shù)學(xué)家，還必須要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)。

莫大的規(guī)定相當(dāng)?shù)膰?yán)格，必修課，一門不及格（不過政治和體育除外，政治是因?yàn)閷W(xué)校在這方面睜一只眼閉一只眼，純粹是給上面看的），

留級(jí)，兩門不及格，開除，而且考試紀(jì)律很嚴(yán)，作弊簡(jiǎn)直是比登天還難！莫大的考試方法非常特殊，完全用口試的方式。

主課如數(shù)學(xué)分析或者現(xiàn)代幾何學(xué)、物理學(xué)、理論力學(xué)之類，一個(gè)學(xué)期要考好及次，像數(shù)學(xué)分析，要考7-8次。

考試一般的方法如下：考場(chǎng)里有2-3個(gè)考官考一個(gè)學(xué)生，第一個(gè)學(xué)生考試以前，第二個(gè)學(xué)生先抽簽（簽上就是考題），

考試時(shí)間一般是30-45分鐘，第一個(gè)考試的時(shí)候，第二個(gè)在旁邊準(zhǔn)備，其他人在門外等候，考生要當(dāng)場(chǎng)分析問題給考官聽后，再做解答。

據(jù)稱難度遠(yuǎn)大于筆試，感覺像論文答辯。

不過莫大有一點(diǎn)是挺自由的，就是轉(zhuǎn)專業(yè)，這一般都能成功，像柯爾莫戈羅夫（А. Н. Колмогоров）就是從歷史系轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)力學(xué)系，這是盡人皆知的。

中國(guó)的數(shù)學(xué)專業(yè)往往是老師滿堂灌，學(xué)生下面聽，最糟糕的是有的老師基本是照本宣科，整一個(gè)讀書機(jī)器。

莫大的老師上課，基本不按教學(xué)大綱講課（其實(shí)教學(xué)大綱也說(shuō)教師在滿足大綱的基本要求的情況下，

應(yīng)當(dāng)按自己的理解講課），也沒有什么固定的教材，教師往往同時(shí)指定好幾本書為教材，其實(shí)就是沒有教材，只有參考書！

而且莫大的課程都有相應(yīng)的討論課，每門課的討論課和講課的比例至少是1：1，象外語(yǔ)課就完全是討論課了！

討論課一般是一個(gè)助教帶上一組學(xué)生，組織討論班，

像一些基礎(chǔ)課的討論班比如大一，大二的數(shù)學(xué)分析、解析幾何、線性代數(shù)與幾何（其實(shí)講的是微分幾何和射影幾何）、代數(shù)學(xué)、微分方程、復(fù)分析、

大三的微分幾何與拓?fù)洹⒋笏牡默F(xiàn)代幾何學(xué)（整體微分幾何）都是以討論習(xí)題和講課內(nèi)容為主。

為了讓學(xué)生多做題，做好題，所以教師要準(zhǔn)備有足夠的高質(zhì)量的習(xí)題資料，

像前面說(shuō)的各種各樣的習(xí)題集，就是把其中的一部分題目拿出來(lái)出版發(fā)行（事實(shí)上在打基礎(chǔ)的階段不多練習(xí)是不行的）。

總的來(lái)說(shuō)，討論課的數(shù)量大于講授，如 1987年大綱，大一第一學(xué)期，每周講課是13節(jié)，討論是24節(jié)（不算選修課）。

而且莫大有個(gè)好傳統(tǒng)就是基礎(chǔ)課都是由名教授甚至院士來(lái)講，柯爾莫戈羅夫（А. Н. Колмогоров），辛欽（А. Я. Хинчин）都曾經(jīng)給大一學(xué)生上過《數(shù)學(xué)分析》這樣的基礎(chǔ)課，

現(xiàn)在的莫大校長(zhǎng)薩多夫尼奇（В. А. Садовничий），目前也在給大一學(xué)生講《數(shù)學(xué)分析》（不過校長(zhǎng)事情太多，不太可能一個(gè)人把課給上下來(lái)）。

想培養(yǎng)一流數(shù)學(xué)家，就一定要重視科研訓(xùn)練，包括參加各種學(xué)術(shù)討論班和寫論文，莫大的學(xué)生如果在入學(xué)以前參加過數(shù)學(xué)夏令營(yíng)，

那他在入學(xué)以前已經(jīng)有一定的科研訓(xùn)練，因?yàn)椋谙牧顮I(yíng)就要組織寫小論文。

入學(xué)以后，學(xué)校也鼓勵(lì)學(xué)生寫論文，到大三下學(xué)期學(xué)生要參加至少一個(gè)學(xué)術(shù)討論班，

以決定大四大五是參加哪個(gè)教研組（莫大數(shù)學(xué)部有17個(gè)教研室，如數(shù)學(xué)分析教研室（Кафедраматематическогоанализа），

函數(shù)論與泛函分析教研室（Кафедратеориифункцийифункциональногоанализа），

高等代數(shù)教研室（Кафедравысшейалгебры），

高等幾何與拓?fù)鋵W(xué)教研室（Кафедравысшейгеометрииитопологии），

微分幾何及其應(yīng)用教研室（Кафедрадифференциальнойгеометриииеёприложений），

一般拓?fù)渑c幾何學(xué)教研室（Кафедраобщейтопологииигеометрии），

離散數(shù)學(xué)教研室（Кафедрадискретнойматематики），

微分方程教研室（Кафедрадифференциальныхуравнений），

計(jì)算數(shù)學(xué)教研室（Кафедравычислительнойматематики），

數(shù)理邏輯與算法論教研室（Кафедраматематическойлогикиитеорииалгоритмов），

概率論教研室（Кафедратеориивероятностей），數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程教研室

（Кафедраматематическойстатистикиислучайныхпроцессов），

一般控制問題教研室（Кафедраобщихпроблемуправления），

數(shù)論教研室（Кафедратеориичисел），

智能系統(tǒng)數(shù)學(xué)理論教研室（Кафедраматематическойтеорииинтеллектуальныхсистем），

動(dòng)力系統(tǒng)理論教研室（Кафедратеориидинамическихсистем），

數(shù)學(xué)與力學(xué)史教研室（Кабинетисторииматематикиимеханики），

初等數(shù)學(xué)教學(xué)法教研室（Кабинетметодикипреподаванияэлементарнойматематики）等。

每個(gè)教研室下設(shè)教研組（教研組即是科研單位又是教學(xué)單位）的活動(dòng)（莫大數(shù)學(xué)系，到了大四大五，

學(xué)生每學(xué)期要參加一個(gè)學(xué)術(shù)討論班（семинар）目的是寫論文，莫大要求本科畢業(yè)生至少要有3篇論文，

其中2篇是學(xué)年論文，一篇作為畢業(yè)論文，畢業(yè)論文要提前半年發(fā)表在專門發(fā)畢業(yè)論文的雜志上，

半年內(nèi)無(wú)人提出異議方可進(jìn)行論文答辯，而且參加答辯的人是從全國(guó)隨機(jī)抽取的。

答辯時(shí)還要考察一下學(xué)生的專業(yè)知識(shí)，這種答辯又稱為國(guó)家考試。

對(duì)于本科生，需要讓他們對(duì)數(shù)學(xué)和相鄰學(xué)科有個(gè)全面的了解，莫大在這點(diǎn)做的很不錯(cuò)，數(shù)學(xué)系的學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)現(xiàn)代幾何學(xué)，

高等代數(shù)（內(nèi)容大概包括交換代數(shù)和李群李代數(shù)）等現(xiàn)代數(shù)學(xué)，

也要學(xué)習(xí)理論力學(xué)，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法（大概相當(dāng)于我國(guó)物理專業(yè)的電動(dòng)力學(xué)，熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理，量子力學(xué)）等課程。

而且還有一些各種各樣的選修課，供學(xué)生選擇。

必修課中的專業(yè)課里不僅有純數(shù)學(xué)課程也有變分法與最優(yōu)控制這樣的應(yīng)用數(shù)學(xué)課程，所以莫大的學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面尤其出色。

要成為一個(gè)合格的數(shù)學(xué)家，光短短5年的本科是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要經(jīng)過3-4年的副博士階段的學(xué)習(xí)和無(wú)固定期限的做博士研究，

應(yīng)該說(shuō)莫大的研究生院在數(shù)學(xué)方面絕對(duì)是天下第一的研究生院，莫大研究生院在數(shù)學(xué)方面有門類齊全的各種討論班，

討論班的組織者都是世界聞名的數(shù)學(xué)家，參加討論班的不僅有莫大的學(xué)者，還有來(lái)自全蘇各個(gè)科研機(jī)構(gòu)的學(xué)者。

經(jīng)過5年的必修課和專門化課，選修課的學(xué)習(xí)，凡是到莫大研究生院來(lái)的學(xué)生都有很扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，

所以莫大的研究生是不上課的，一來(lái)就是上討論班，進(jìn)行科學(xué)研究，同樣研究生想畢業(yè)也要拿出畢業(yè)論文和學(xué)年論文，

畢業(yè)論文要拿到雜志上發(fā)表半年以后，有15名來(lái)自不同單位的博士簽名，才能參加答辯。

答辯的規(guī)矩比本科生更嚴(yán)格，只有通過畢業(yè)答辯和學(xué)年論文的答辯才能拿到數(shù)學(xué)科學(xué)副博士學(xué)位。

至于數(shù)學(xué)科學(xué)博士（докторматематическихнаук），則是給有一定成就的科學(xué)家的學(xué)位，要拿博士至少要有一本合格的專著才行。

如果誰(shuí)拿到莫大的數(shù)學(xué)科學(xué)博士的學(xué)位，那么誰(shuí)就可以到大多數(shù)世界一流大學(xué)混個(gè)教授（包括助教授）當(dāng)！

但是這個(gè)過程是十分難完成的，俄羅斯有種說(shuō)法，說(shuō)院士為什么比一般人長(zhǎng)壽，是因?yàn)樵菏烤尤豢梢酝瓿蓮谋究频讲┦窟@樣折磨人的過程，所以身體一定好的很！

說(shuō)到莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué),有一個(gè)人是不能不提的,那就是數(shù)學(xué)大師柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）,

應(yīng)該說(shuō)柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）不僅是數(shù)學(xué)家,而且是教育家,但是這并不是我在這里要專門介紹他的原因,我專門介紹他是基于以下幾個(gè)原因：

1，如果說(shuō)使莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué)躋身于世界一流是在魯金（Н. Н. Лузин）和彼得羅夫斯基（И. Г. Петровский）的帶領(lǐng)之下，

那么使莫斯科大學(xué)真正成為世界第一數(shù)學(xué)強(qiáng)校則是在柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）擔(dān)任數(shù)學(xué)力學(xué)部主任的時(shí)期。

2，柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）是莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)派（Московскийматематическийшкола）中承前啟后的一代中的領(lǐng)軍人物，

特別是如蓋爾范德（И. М. Гельфанд），阿諾爾德（В. И. Арнольд）等著名數(shù)學(xué)家都是他的學(xué)生。

3，柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）雖然沒當(dāng)過莫大校長(zhǎng)但是彼得羅夫斯基（И. Г. Петровский）去世后，他在莫大基本上就是太上校長(zhǎng)，莫大的一些改革措施都和他多少有些關(guān)系。

對(duì)于數(shù)學(xué)家柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров），大家一定很熟悉，但是對(duì)于教育家柯爾莫哥羅夫（А.Н. Колмогоров），大家就不大清楚了！

下面是我從沃爾夫獎(jiǎng)得主，日本著名數(shù)學(xué)家伊藤清寫的一篇紀(jì)念柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）的文章中摘抄下來(lái)的。

柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）認(rèn)為，數(shù)學(xué)需要特別的才能這種觀念在多數(shù)情況下是被夸大了，學(xué)生覺的數(shù)學(xué)特別難，問題多半出在教師身上，

當(dāng)然的確學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的適應(yīng)性存在差異，這種適應(yīng)性表現(xiàn)在：1，算法能力，也就是對(duì)復(fù)雜式子作高明的變形，以解決標(biāo)準(zhǔn)方法解決不了的問題的能力。

2，幾何直觀的能力，對(duì)于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達(dá)出來(lái)，并進(jìn)行思考的能力。

3，一步一步進(jìn)行邏輯推理的能力。

但是柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）也指出，僅有這些能力，而不對(duì)研究的題目有持久的興趣，不做持久的努力，也是無(wú)用的。

柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）認(rèn)為，在大學(xué)里好的教師要做到以下幾點(diǎn)：1，講課高明，特別是能用其他科學(xué)領(lǐng)域的例子來(lái)吸引學(xué)生，增進(jìn)理解，培養(yǎng)理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

2，以清楚的解釋和廣博的知識(shí)來(lái)吸引學(xué)生運(yùn)動(dòng)。

3，善于因材施教。

柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）以為以上三條都是有價(jià)值的，特別是3，這是一個(gè)好教師必須做到的，

那么對(duì)于數(shù)學(xué)力學(xué)系或計(jì)算數(shù)學(xué)與控制論系的學(xué)生又應(yīng)當(dāng)怎樣做呢？柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）以為除了通常的要求外，

有兩點(diǎn)要特別強(qiáng)調(diào)：

1，要把泛函分析這樣的重要學(xué)科（他說(shuō)的重要學(xué)科恐怕還包括拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)）當(dāng)成日常工具一樣應(yīng)用自如。

2，要重視實(shí)際問題。

柯爾莫哥羅夫（А. Н. Колмогоров）認(rèn)為，學(xué)生剛開始搞研究時(shí)，

首先必須讓學(xué)生樹立“我能夠搞出東西”的自信心，所以教師在幫助學(xué)生選課題時(shí)，不能光考慮問題的重要性，

關(guān)鍵是要看問題是否在學(xué)生的能力范圍之內(nèi)，而且需要學(xué)生做出最大的努力才能解決問題。

其實(shí)科研訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)是越早越好，在學(xué)生做習(xí)題的時(shí)候就要注意進(jìn)行科研訓(xùn)練了！這也是莫大數(shù)學(xué)成功的秘訣之一。

莫斯科大學(xué)討論課上的習(xí)題根本沒有我們常見的套公式，套定理的題目。

比如，我的那個(gè)親戚，在莫大讀書時(shí)擔(dān)任數(shù)學(xué)分析課的助教（莫大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生畢業(yè)后大多數(shù)是到各個(gè)大學(xué)擔(dān)任教師，

所以莫大很重視學(xué)生的教學(xué)能力，一般，研究生都要作助教，本科生畢業(yè)前要進(jìn)行大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)習(xí)），

據(jù)他說(shuō)，主講教授每次布置的討論課題目簡(jiǎn)直稀奇古怪，比如說(shuō)有一次，是叫他讓學(xué)生利用隱函數(shù)定理證明拓?fù)鋵W(xué)中的Morse引理，

還有一次，叫他給出有界變差函數(shù)的定義，然后證明什么全變差的可加性等等，一直到雅可比分解！

基本上把我們國(guó)家的實(shí)變函數(shù)課中的有關(guān)問題都干掉了！總之他們經(jīng)常叫學(xué)生證明一些后續(xù)課程中的定理，

據(jù)他們認(rèn)為這樣做基本等于叫學(xué)生做小論文，算是模擬科研，對(duì)以后做科研是有好處的。