來自美國的奧數難題，我用了35分鐘才做出來

今天的題目是不定方程問題，來自美國的一次數學學術活動，

正文題目所需知識不超過初中3年級，思考題所需知識不超過小學5年級。

花一點時間看明白這道難題，比做10道簡單題目更有益處，一定能大幅提升數學思維。

題目（超5星難度）：

不定方程x^2+y^2+z^2=5xyz有多少組正整數解？

注：x^2表示x的平方。

輔導方法：

將題目寫給小朋友，

讓他自行思考解答，

若20分鐘仍然沒有思路，

再由家長進行提示性講解。

講解思路：

這道題屬于不定方程問題，

又被稱作丟番圖問題，

這類問題并沒有固定解法，

只能通過靈機一動來解題。

面對這種題目首先要考慮有沒有解，

假設解存在看能否推出矛盾。

總的解題思路是：

假設這個方程有正整數解，

由于x,y,z的對稱性，

不妨考慮x >= y>= z的正整數解中，

使x最小的一組解。

把原方程看作關于x的一元二次方程，

利用一元二次方程解的性質，

想辦法推出矛盾。

步驟1：

先思考第一個問題，

假設這個方程有正整數解，

考慮所有x >= y>= z的正整數解中，

使x最小的一組解x=a,y=b,z=c,

找出a,b,c之間的大小關系。

此時原方程可以寫成：

x^2-(5bc)x+(b^2+c^2)=0。

將其看作關于x的一元二次方程，

則a是它的一個解，

它一定還有另一個解p。

根據一元二次方程解的理論，

a+p=5bc是正整數，

由于p明顯不是0，

故p也是正整數，

則x=p,y=b,z=c也是原不定方程的解。

由于a是最小的x，故a<=p。

另一方面根據一元二次方程解的理論，

可得ap=b^2+c^2，

故a^2 <= ?ap = b^2+c^2 <(b+c)^2，

這說明a<b+c,

另一方面由于c<=b<=a，

因此c <= b <= a < b+c。

步驟2：

再思考第二個問題，

考慮原題目的答案。

如果原方程有正整數解，

則對于步驟1中的a,b,c，

有a^2+b^2+c^2=5abc,

化簡即5= a/(bc)+b/(ac)+c/(ab)。

由于c <= b，故c/(ab) <= 1/a <= 1，

由于b <= a，故b/(ac) <= 1/c <= 1，

由于a < b+c，

故a/(bc) < (b+c)/(bc)

= 1/b+1/c <=2。

因此5= a/(bc)+b/(ac)+c/(ab)

<?2+1+1 =4,

這與常識矛盾，

出現矛盾的原因是假設不成立，

所以原方程沒有正整數解。