數(shù)學(xué)文化——理性文明的火車頭

數(shù)學(xué)文化——理性文明的火車頭

華東師大 張奠宙

謝謝主持人，謝謝各位光臨。今天我想要談的題目是數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)文化不大有人聽見，這個詞兒好像數(shù)學(xué)跟文化連不起來，數(shù)學(xué)是干巴巴的，屬于比較枯燥的，文化又是那么豐富生動，這兩者可能聯(lián)系不起來。但是我覺得這非常重要。我想我們先看看這樣的一個圖像，這個圖像叫曼德伯羅伊特圖，它是用一個2次的復(fù)數(shù)的疊代出來的一個圖形。我們這里可以看到像一個葫蘆形的東西，外面有些須須，可是我們?nèi)绻坏┻M(jìn)去的話，從任何一個地方進(jìn)去，你看它的形象，它的局部和整體非常相像，我們再往里面看，任何一個進(jìn)去，它又出來一個當(dāng)中的黑點(diǎn)，旁邊有幾個彎彎的須須，在任何一個地方進(jìn)去又是這樣的，隨便你哪里進(jìn)去都可以。這個是不是有點(diǎn)像克隆？就是我們很小的一個地方它和整體都很相像。數(shù)學(xué)家原來不知道這個東西，是曼德伯羅伊特用這個方程，用計(jì)算機(jī)來做了之后，就慢慢地發(fā)現(xiàn)了原來自相似性。自己跟自己相似，每一個細(xì)胞跟他整個人相似，這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)里面是經(jīng)常見到的。我們一棵柏樹，也是有這種自相似性的，所以我說像這樣的圖形，它已經(jīng)把數(shù)學(xué)跟藝術(shù)都連在一起了。數(shù)學(xué)就不再是幾條公式，它跟我們?nèi)祟惖纳睿畔r(shí)代，我們的一些欣賞習(xí)慣等等都可以有密切的聯(lián)系。我想這樣的數(shù)學(xué)恐怕不是我們在中小學(xué)課堂里面學(xué)習(xí)的那一種數(shù)學(xué)，這是信息時(shí)代的數(shù)學(xué)，是我們將來在信息時(shí)代經(jīng)常會碰到的，我們在書的各個封面上面看到的許多分形圖像，就是這樣的一種數(shù)學(xué)的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)可以產(chǎn)生這么漂亮的東西，我想是我目前所想不到的，這就是我的一個開場。給大家看一看，我想可以理解一下新的數(shù)學(xué)是怎么一回事。

那關(guān)于數(shù)學(xué)文化，我想首先想到的是數(shù)學(xué)是理性文明的火車頭。我想我們?nèi)祟惖奈拿鳎蟾庞兴膫€高峰。在古希臘時(shí)代，數(shù)學(xué)仍然是古希臘文明的一個火車頭。大家都知道《幾何原本》，它的影響是如此之大，一直影響到今天，它是印刷數(shù)量、版本僅次于《圣經(jīng)》的讀物。后來第二個高峰就是在近代文明，就是文藝復(fù)興到17世紀(jì)到18世紀(jì)。牛頓發(fā)明了微積分，連同他的力學(xué)把整個科學(xué)帶到了新的境界，那就是黃金時(shí)代。那時(shí)候的工程技術(shù)、資本主義工業(yè)生產(chǎn)、工業(yè)革命、法國大革命都是在這樣的基礎(chǔ)上面開展起來的。第三個現(xiàn)代文明，我們假定說愛因斯坦的相對論為基礎(chǔ)，那么在19世紀(jì)我們就為他準(zhǔn)備了。從高斯、黎曼準(zhǔn)備了很多數(shù)學(xué)工作，黎曼幾何就是相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。所以沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展，相對論就找不到一個可以表達(dá)的數(shù)學(xué)工具。那么到了20世紀(jì)下半葉信息時(shí)代文明，信息時(shí)代就是馮·諾依曼創(chuàng)造了計(jì)算機(jī)的方案。今天我們廣泛使用的改變了人類社會形態(tài)生活方式的計(jì)算機(jī)，它的方案是一位數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)出來的，他就是馮·諾依曼。所以我說數(shù)學(xué)和社會的發(fā)展同步，數(shù)學(xué)和人類的文化共生。因此數(shù)學(xué)不僅僅是一些干巴巴的條文，它是密切和人類文化聯(lián)系在一起的。我希望我們大家來了解數(shù)學(xué)，有三個層面：一個層面就是公式定理，像勾股定理、求根公式等等。第二個層面就是思想，就是我們公理化思想，數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想等等。這樣一些思想層面的解析幾何，解析幾何的方法諸如此類坐標(biāo)方法。還有一個層次就是文化價(jià)值。

數(shù)學(xué)有好的數(shù)學(xué)，有價(jià)值的數(shù)學(xué)，有意義的數(shù)學(xué)，這是一種看法。什么叫做好，什么叫做有價(jià)值，怎么叫做有意義，如何來判斷，這就要靠文化的層面來看。你要看到時(shí)代的發(fā)展，看到人類社會的需要，看到我們現(xiàn)在的文明，看到人們的趨向趣味，這樣來解決你這個數(shù)學(xué)是不是有價(jià)值。如果把數(shù)學(xué)看成僅僅是邏輯，僅僅是形式，僅僅是思想的體操，那么我們就是很少注意文化的層面，那么先進(jìn)的數(shù)學(xué)文化就會推動數(shù)學(xué)發(fā)展，落后的數(shù)學(xué)文化就會拖拉數(shù)學(xué)的進(jìn)步。我們看看，舉個例子看看我們這個在1906年我們京師大學(xué)堂，用的數(shù)學(xué)教課書是這樣的東西。那個時(shí)候不能用x y z，那是外國貨，我們不能用的，用天、地、人也就能用a b c d，也只能用甲乙丙丁，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)不能用，用一二三四；加法不能用，用一豎一橫；減法不能用，用一橫一豎這樣的數(shù)。我們當(dāng)時(shí)的爺爺輩，他們就得念這樣的書。什么文化決定的？當(dāng)時(shí)說“中學(xué)為體西學(xué)為用”，清朝末年，認(rèn)為中學(xué)是老祖宗家法，那個東西是不能改的，外國來的東西只能用一用，因此我們就不跟國際接軌，自己搞出了這么一套符號。那我們再看看與時(shí)俱進(jìn)的文化，剛才主持人提到陳景潤，確實(shí)陳景潤搞哥德巴赫猜想，他的1+2的結(jié)果堅(jiān)韌不拔，獨(dú)軍奮戰(zhàn)，勇攀高峰，是我們在科學(xué)春天里面出現(xiàn)的科學(xué)的英雄人物。他代表著那個時(shí)代的精神，經(jīng)過“文革”的動亂，我們需要這樣的精神去攀登高峰。可是在90年代我們又出來另外一種英雄，那就是王選。今年他得了中國國家的最高科學(xué)獎，他是1958年北京大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)的，他用數(shù)學(xué)的成果搞了數(shù)據(jù)壓縮，結(jié)果就完成了漢字的激光照排，告別了鉛與火的革命，他當(dāng)然是計(jì)算機(jī)的科學(xué)家，但他最重要的工作恰恰是來自他的數(shù)據(jù)壓縮。作為一個數(shù)學(xué)應(yīng)用，王選是我們當(dāng)今做得最好的。大家想想看，這是不是兩種不同的文化。當(dāng)初陳景潤時(shí)代代表了一種文化，王選時(shí)代又是一種文化，這就是計(jì)算機(jī)時(shí)代的數(shù)據(jù)時(shí)代，給我們信息時(shí)代的數(shù)學(xué)的印象。

我們再看一看近十幾年來，西方發(fā)展了大量的數(shù)學(xué)，比如說控制論是維納發(fā)明的，他原始的思想是人怎么到地上去撿一支鉛筆，慢慢地人越來越接近鉛筆，接近多少馬上反應(yīng)在腦子里面，這就是反饋信息。仙農(nóng)研究信息論，信息傳輸，信息講話，語言，這里面怎么會有數(shù)學(xué)呢？可是仙農(nóng)就是從這里面創(chuàng)立了數(shù)學(xué)信息論。納什研究的博奕平衡，剛才說過了，關(guān)于雙贏的策略。小波分析，美國現(xiàn)在在數(shù)字電視里面領(lǐng)先，靠的是什么？靠的是他的小波數(shù)字壓縮技術(shù)，否則那么大一堆數(shù)據(jù)，你怎么傳輸，傳來傳去，傳不過去了，壓縮了以后才能傳過去，跟王選做漢字的信息壓縮是同樣的。金融數(shù)學(xué)有期權(quán)公式，曼德伯羅伊特的分形藝術(shù)，我剛才已經(jīng)給大家看過。最近非線性數(shù)學(xué)有句名言，說巴西的蝴蝶震動一下，紐約就要下大雨。那意思是說我們這個世界是很多情形是不穩(wěn)定的，哪個地方稍微動一動，那邊就引起軒然大波。這樣的一種情形是非線性數(shù)學(xué)所特有的。這些里面顯示了我們在最近這半個世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的一種總的趨向，所以我就想到，我們應(yīng)該實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化和人類文明的整合，要搞清楚數(shù)學(xué)的文化背景，搞清楚數(shù)學(xué)成就的文化價(jià)值，把數(shù)學(xué)的結(jié)果它的文化品位發(fā)掘出來，用文化的視野來看數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的眼光來看文化，發(fā)展現(xiàn)代數(shù)學(xué)，弘揚(yáng)世界的文化。

數(shù)學(xué)文化如果我們把它打扮起來，數(shù)學(xué)就是一位光彩照人的科學(xué)女王。但是如果你僅僅把數(shù)學(xué)等于邏輯，等于枯燥的幾條公式，那么這個美女就變成X光下面的骷髏，就是X光的照片。我們現(xiàn)在更多的看到的是X光照片，看不到數(shù)學(xué)科學(xué)女王的光彩照人的美容，我們只是看到她的骨骼。

下面我就想就這些問題，我們分別來探索一下。不同的國家有不同的數(shù)學(xué)文化，不同的時(shí)代也有不同的數(shù)學(xué)時(shí)尚，就像我們穿衣服一樣有時(shí)尚。中國數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)影子，揭示數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)和文化品位，最后就是介紹我們自己的文化，來爭取成為21世紀(jì)的數(shù)學(xué)大國。我想分別談一談。我們先看一看，不同的國家有不同的數(shù)學(xué)文化，這是什么意思呢？就說兩個不同的國家的政治制度學(xué)術(shù)氛圍，決定了它的數(shù)學(xué)走向。比如說古希臘和中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)就不一樣，古希臘的數(shù)學(xué)和中國古代數(shù)學(xué)是兩種不同文化下面產(chǎn)生的。古希臘的數(shù)學(xué)它的背景是什么？古希臘是奴隸主之間的民主政治，男性的奴隸主他們之間有民主，奴隸沒有民主，他們之間的選舉，執(zhí)政官來決定財(cái)政收入，決定是否戰(zhàn)爭宣戰(zhàn)。在這樣一種民主的，雖然是少部分人的民主的制度下面平等的學(xué)術(shù)交流。因?yàn)槟阋f服別人，大家要選舉，平等的學(xué)術(shù)交流。于是它就需要構(gòu)建一個公理化的數(shù)學(xué)體系，讓大家來思考，比如說對頂角相等要不要證明。中國的秦漢王朝就不是這樣。雖然我們春秋戰(zhàn)國時(shí)期也非常繁榮，學(xué)術(shù)非常繁榮，但是它是封建君王的政治，知識分子比如數(shù)學(xué)家就向君王進(jìn)諫說，你照我的辦法辦，那么你就能夠成功，你就能夠治理國家，你就能使國家富強(qiáng)，請你君王來接受我的意見去實(shí)行。這樣就需要什么呢？需要丈量田畝、征稅、管理土方、要管理各個糧食之間的比例。于是就有我們的《九章算術(shù)》。《九章算術(shù)》就是管理國家的官方的文書。怎么樣丈量田畝，要抽稅呀；稅怎么抽法，苞米玉米和小麥稻米互相之間的折扣怎么樣，你如果是從甲地運(yùn)到乙地，這個糧食運(yùn)輸價(jià)格該怎么定，這些地方就是《九章算術(shù)》的內(nèi)容。它是方田章，數(shù)理章，這樣一些章節(jié)都是在講怎么樣管理國家。大家看看這是不是不同啊，最簡單的一個就是這個，理性思維對頂角相等 A=B，這個在中國人看來這個不要證明，這個證了它干什么，這個東西一看就明白了。但是古希臘就這樣證，它的幾何原本就是這樣證的，就是A+C是一個平角，B+C也是平角，公理3 等量減等量，大家都把C減掉，于是A=B。這么一種證明方法，是在古希臘時(shí)代才有，而我們中國沒有。中國的古代算學(xué)角這個概念都沒有，它認(rèn)為角不需要，只要垂直就可以了，不需要有角的概念。我想這些地方都顯示出兩種不同文化方面，它們確實(shí)會產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)，所以數(shù)學(xué)它是和當(dāng)時(shí)的政治制度、文化、學(xué)術(shù)氛圍密切相關(guān)的。

其次一個問題，我就想談一談不同時(shí)代不同數(shù)學(xué)的時(shí)尚。數(shù)學(xué)時(shí)尚是一陣一陣的，我剛才前面說過，古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)的是比較嚴(yán)密的推理，到牛頓時(shí)代就是算，就是做，有成果就行。20世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)的應(yīng)用發(fā)展起來了，數(shù)學(xué)應(yīng)用在我們中國還是比較缺乏，因?yàn)槲覀冞^去沒有發(fā)達(dá)的工業(yè)，提不出來像樣的數(shù)學(xué)物體要應(yīng)用，所以我們往往在理論上面，理性方面強(qiáng)調(diào)比較多嚴(yán)格證明，這是很重要的。但是另外一點(diǎn)應(yīng)用我們就比較落后。因?yàn)槲覀儧]有工業(yè)，缺乏強(qiáng)大的工業(yè)，提不出重要的問題出來，所以姜伯駒院士，北京大學(xué)姜伯駒院士他就說，20世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)最大的進(jìn)展是應(yīng)用，你數(shù)學(xué)用得好你就贏了。這就是把下半葉計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后，把數(shù)學(xué)時(shí)尚改變了。原來僅僅是搞理論嚴(yán)格性，現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，這是數(shù)學(xué)的兩個輪子，有的時(shí)候這個輪子轉(zhuǎn)得快一點(diǎn)，有的時(shí)候那個輪子轉(zhuǎn)得快一點(diǎn)，把這兩個輪子都要，不是說只要一個輪子，那是不行的。第二種數(shù)學(xué)時(shí)尚，就是絕對主義和經(jīng)驗(yàn)主義。大家都有種感覺，數(shù)學(xué)大概是絕對正確。1+1總歸等于2，不會有別的事情。確實(shí)在20世紀(jì)的上半葉，絕對主義盛行，就是因?yàn)槭裁词虑槎伎梢藻e，唯獨(dú)數(shù)學(xué)是不會錯的。后來歌德爾就說，這個不可能做到，有些數(shù)學(xué)是可以錯的，數(shù)學(xué)很多本來就是錯的，就是牛頓的微積分大家都知道，是不嚴(yán)格的，但是它的東西所反映的內(nèi)容是對的，微積分的本質(zhì)是對的，它表達(dá)方式上面有各種各樣的差錯，所以牛頓的數(shù)學(xué)不嚴(yán)格。中國古代數(shù)學(xué)比如說開方，它有的時(shí)候它也不嚴(yán)格，但這都是數(shù)學(xué)，它都是很好的數(shù)學(xué)，有價(jià)值的數(shù)學(xué)，所以整個數(shù)學(xué)其實(shí)是人做的。我們現(xiàn)代就是提倡經(jīng)驗(yàn)主義的復(fù)興，有許多事情大家在計(jì)算數(shù)學(xué)方面，很多就是說出來了，這好像是對的，為什么呢？我一時(shí)也說不清楚，先用了再說，所以數(shù)學(xué)也是在可以發(fā)生錯誤，在不斷修改自己完善自己當(dāng)中發(fā)展起來的。還有一種時(shí)尚的問題，就是文化的背景，理性重要還是實(shí)用重要？這我就講一個故事，就是巴斯卡跟費(fèi)馬他們兩個人通信。1645年通信，就提到一個事情：有一筆賭金，甲乙兩個人競賭，輸贏的概率都一樣，都是1/2，誰先能夠連贏累計(jì)達(dá)到5盤，就獲得這筆賭金。但是一個特別的原因，突然終止了，那個時(shí)候甲贏了4局，乙贏了3局，問這筆賭金應(yīng)該如何分配？這個問題是北大的史樹中教授在8月份中央電視臺上面也跟大家一起演講過，他就把這個題目出給在場的觀眾，觀眾當(dāng)中就說，這個應(yīng)該4/7和3/7，因?yàn)橐还操惲?/span>7局，你贏了4局拿4/7，我贏了3局拿3/7，這樣是不是合理呢？巴斯卡和費(fèi)馬討論，說是不行，不能這樣做。他說我們再試一局，再試一局，假定試一局是甲贏了，甲就應(yīng)該拿到全部的賭金，甲贏的概率只有1/2，所以應(yīng)該是1/2×1拿到整個一筆賭金。那么如果說乙贏了呢？乙贏了就是乙應(yīng)該拿1/2，因?yàn)槭鞘裁矗驗(yàn)榧资?/span>4局，乙也是4局，大家平分。所以乙如果贏了，乙拿1/2，甲拿1/2。好，那么根據(jù)這個概率，所以如果甲贏1/2×1 拿1/2，然后再拿1/2當(dāng)中的1/2，一共加起來是3/4，這就是它的最初的概率論的產(chǎn)生。中國打麻將很厲害的對不對，打了那么多麻將有沒有產(chǎn)生概率論？沒有。為什么？就是因?yàn)槲覀兪窃谶@種實(shí)用當(dāng)中，功利性的，所以贏了就完了，不深究，不細(xì)究，缺乏這種非常細(xì)致入微的思考。這種數(shù)學(xué)思考非常重要，一個數(shù)學(xué)的發(fā)展全靠這種功夫。

我前面說過的，信息論、控制論，這種東西看起來不是數(shù)學(xué)的問題，你去研究它干什么？納什研究是幾個人在那里競爭，這里面有數(shù)學(xué)嗎？覺得沒有數(shù)學(xué)，但是它確實(shí)有數(shù)學(xué)。這就是理性和實(shí)用之間的關(guān)系。仙農(nóng)當(dāng)時(shí)研究信息量，說信息量這個東西，就是烽火臺吧，燃起烽火臺，敵人來了；沒燃烽火臺，就是報(bào)平安。0和1兩種，那么我們用二為底的對數(shù)取1個信息量，但是如果在紂王寵妲己的時(shí)代，那個烽火隨便燃，這個概率就不準(zhǔn)了，你這個信息量就不對了，這個敵人來的概率就不對了，這個當(dāng)然是我們代仙農(nóng)的想法。仙農(nóng)他自己的想法怎么樣呢，概率對信息量有密切的關(guān)系，比如說信息量大小。“狗咬人”不是新聞，因?yàn)楣芬藳]有什么稀奇。“人咬狗”這個新聞信息量就大了，是不是？今天太陽升起，那沒什么稀奇，這個信息量不大，你告訴我不告訴我都一樣。今天日蝕了，哦，今天這是大事情，那么我們的信息量就很大，說事件的概率P越大，傳送這個事情的信息量就越小，概率大了就沒有意義了像這樣的思考。我們中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)里面缺乏這樣的思考，他就會去面對這樣一些社會的需要去想一想，我這個信息量的大小，和一個事情發(fā)生的概率有聯(lián)系，這就是他的天才之處。我覺得我們中國缺乏這樣的文化，雖然我們也有烽火臺，我們也傳送信息，但是用什么人或者是數(shù)學(xué)文化當(dāng)中有這樣的精神，去思考這樣一些很本質(zhì)的問題，我們?nèi)狈Α２煌臄?shù)學(xué)時(shí)尚還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的問題上面，問題提醒，比如說：陳景潤搞的哥德巴赫猜想，那是在18世紀(jì)的提出來的問題。那個時(shí)候提出來就是數(shù)論的發(fā)生問題，但是在20世紀(jì)在信息時(shí)代，我們提出的問題就不一樣了。比如像貨郎擔(dān)問題，一個貨郎要跑那么多村莊，要每一個村莊都要跑遍，那么有幾條路線可以走，那多得不知道有多少，哪條路線能夠跑遍所有的村莊最短？這個問題非常困難，現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)要算好幾年也未見得算得出來，這個事情是不可解答的，究竟應(yīng)該怎么樣才能把這個問題解決呢？我們找到一種算法，在多項(xiàng)式時(shí)間里面把它算出來，這就是現(xiàn)代是我們當(dāng)今數(shù)學(xué)的第一號的困難問題，也就是常說的P=NP問題，也就是不是可以找到一個多項(xiàng)式的算法，它的規(guī)模是N的多少次方，而不是多少數(shù)的N次方。用多項(xiàng)式算法，能夠把貨郎擔(dān)問題算出來，有沒有這樣的算法，這是世界上頭號的數(shù)學(xué)大問題。這個問題只有今天我們能夠提出來，感到需要，因?yàn)橛?jì)算機(jī)發(fā)達(dá)了，需要去用算法來解決我們現(xiàn)在沒有解決的問題。第三個問題，《紅樓夢》的作者是誰？這本身是一個文學(xué)的問題。《紅樓夢》的作者前80回是曹雪芹所做的，后40回是陳？？做的？復(fù)旦大學(xué)的李先平教授就做了工作了，他就請一位先生陳大康先生，每一回你把“的了嗎呢”什么這些話都把它統(tǒng)計(jì)出來47個虛字，它出現(xiàn)的頻率有多少，每一回就有47個頻率出現(xiàn)，然后他就把它作句類分析，結(jié)果就劃出一條線，這條線的上方是前80回，這條線的下方是后40回，顯然這是兩個人所作，他由此得到了一系列的問題，他給威斯康辛大學(xué)的教授做這樣的工作。大家想想看，中文系里面研究《紅樓夢》可以，數(shù)學(xué)系也可以研究《紅樓夢》，這就是不同的數(shù)學(xué)時(shí)尚。《靜靜的頓河》到底是不是肖洛霍夫作的，結(jié)果最后判斷下來，是他作的，也是用數(shù)學(xué)的方法。不過我很遺憾的是中國的紅學(xué)家似乎對數(shù)學(xué)家這個研究不是很感興趣，聽過也就算了。其實(shí)我覺得李先平教授的理由很多，他所新發(fā)現(xiàn)的東西，紅學(xué)家未予置信，我想在將來，在數(shù)學(xué)文化更進(jìn)一步發(fā)展的時(shí)候，數(shù)學(xué)是會有更大的用處的。下面一個問題，我想談一談儒家文化跟中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)。這又是一個比較奇怪的一個話題，儒家文化孔老夫子又不研究數(shù)學(xué)，他跟數(shù)學(xué)有什么關(guān)系。數(shù)學(xué)在中國確實(shí)是不大受重視，數(shù)學(xué)家一般最多就是管青天監(jiān)，就是管天文的，那就了不得的。不像西方的數(shù)學(xué)家很（受）禮遇，比如說歐拉是俄羅斯女王把他請去，許多數(shù)學(xué)家都待為上賓，像拉普拉斯。拿破侖就很信用一些數(shù)學(xué)家。中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)能夠用，實(shí)用，能夠算，這是中國的傳統(tǒng)。思辯精神也不夠，但是我們現(xiàn)代倒發(fā)現(xiàn)反過來了，中國現(xiàn)在的學(xué)生邏輯計(jì)算都很好，倒反而是西方，他邏輯反而不如我們，為什么我們的邏輯會強(qiáng)起來呢？中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不講究邏輯的，我覺得原因就是儒家文化，大家想想看像不像，孔孟經(jīng)典像不像不可動搖的公理，不可違反的，然后后面的朱熹這種大儒家，他不能夠自己再做一套經(jīng)典，他注疏，《四書集注》變成為一個定理，就根據(jù)公理推出來一些定理。普通老百姓要去科舉考試，做一個練習(xí)就完了，做一個練習(xí)寫一篇文章，他不可能成為一個經(jīng)典，所以我說儒家文化里面它有演繹的成分，它就是公理定理推出來的，不可以違反這些公理的。它有這種成分給我們一種限制，或者文化上面的這樣一種演繹的熏陶。我們再看一看微觀的考據(jù)文化，大概在乾隆年代，雍正王朝就已經(jīng)有文字獄了，到乾隆朝代一般的知識分子，就不論國事了，莫談國事，都去鉆研古代的字什么意思，怎么寫，發(fā)什么音，鉆到故紙堆里面去了，叫做證據(jù)的考據(jù)訓(xùn)詁這些工作的接近于邏輯推理，和儒家文化如果是演繹化的的話，那么考據(jù)文化是微觀的演繹化，宏觀的是整體的儒家文化，考據(jù)的文化就是一種微觀的演繹的方法。那么這兩個東西一來之后，就形成了我們的一個傳統(tǒng)。那么大學(xué)問家梁啟超他就很推崇考據(jù)文化，他的話是說，自清代考據(jù)學(xué)派200年之訓(xùn)練，成為一種遺傳，我國學(xué)子之頭腦漸趨于冷靜慎密，此種精神實(shí)為科學(xué)成立之基本要素。他的意思是說，梁啟超的意思是說：考據(jù)文化是好東西，我們把它繼承下來，考據(jù)的遺傳就等于科學(xué)的頭腦。考據(jù)的核心是什么東西呢，就是重證據(jù)，講推理。不是說我拍拍腦袋想想就行了，一定要考據(jù)出它真正的本意是什么，拿出證據(jù)出來。我們許多稱頌一些學(xué)問家，一些博學(xué)家，一些老先生都是治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)是我們現(xiàn)在最崇尚的一種學(xué)術(shù)道德，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)它的后果在數(shù)學(xué)上，反映出來就是邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)。因?yàn)橹挥羞壿嬌蠂?yán)謹(jǐn)了以后，你這個人才是治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。我們常常聽說某某老師在黑板上寫錯了一句話，或者是推算出現(xiàn)了一些小的毛病，就說犯了科學(xué)性錯誤，科學(xué)上犯錯誤以后威信掃地。也就是說注重他的邏輯層面的要求。當(dāng)然我們不能說邏輯是馬馬虎虎，這個不是的，但是比邏輯是不是還有更重要的東西呢？我們那種創(chuàng)造精神，發(fā)現(xiàn)一些新的數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)問題的精神，我們就比較缺乏。

所以我說雖然中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有邏輯嚴(yán)密的東西，但是由于儒家文化的演繹的傳統(tǒng)，包括戴震倡導(dǎo)的考據(jù)學(xué)派帶給我們的考據(jù)上面的影響，考據(jù)文化在微觀上面也給了我們一種熏陶，那就是邏輯。重視邏輯，數(shù)學(xué)受這方面影響很大。數(shù)學(xué)等于邏輯這個觀點(diǎn)很普遍，考據(jù)文化把數(shù)學(xué)的邏輯層面進(jìn)行同化，就一直成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)里面的核心問題。但數(shù)學(xué)是有兩個側(cè)面的，一個是創(chuàng)造性的思考，另外就是邏輯的證明，它兩者是不可或缺的。邏輯是什么，大數(shù)學(xué)家維爾他說了一句有名的話：“邏輯是使得數(shù)學(xué)得以保持健康的衛(wèi)生規(guī)則”。邏輯是衛(wèi)生規(guī)則，就是你不講衛(wèi)生要生病那就不行了，數(shù)學(xué)不過是這個東西而已，而不是數(shù)學(xué)等于邏輯。那么考據(jù)文化就把儒家的文化更加微觀化，把這個西方數(shù)學(xué)要創(chuàng)新的層面一下就過濾掉了，把邏輯層面就吸收進(jìn)來了，所以我們就變成數(shù)學(xué)等于邏輯這樣的概念，變成為很抽象的干巴巴的東西這樣的概念，就慢慢地在我們一代人兩代人當(dāng)中，慢慢傳播開來了，甚至形成我們一個主流的一種認(rèn)識，所以我們還有一句話就是“數(shù)學(xué)是一個思想的體操”。數(shù)學(xué)就是做體操而已，有什么用處都不管了，所以我想我們現(xiàn)在一定要強(qiáng)調(diào)邏輯，但是要適度，但是我們還要進(jìn)一步地提倡數(shù)學(xué)的創(chuàng)造，這個和中國的傳統(tǒng)文化仍然有著密不可分的聯(lián)系。我們希望中國傳統(tǒng)文化創(chuàng)造的那個層面也能夠和數(shù)學(xué)文化結(jié)合起來，把我們現(xiàn)代的數(shù)學(xué)文化既有邏輯又有創(chuàng)造。

最后我就可能要談?wù)剶?shù)學(xué)文化和建設(shè)21世紀(jì)數(shù)學(xué)大國的關(guān)系了，我前面已經(jīng)說過，世界強(qiáng)國必然是數(shù)學(xué)強(qiáng)國，今天的數(shù)學(xué)大勢是什么樣子，美國繼續(xù)領(lǐng)先，美國是世界上的數(shù)學(xué)最大的國家，西歐緊隨其后，因?yàn)閺挠▏聡加蟹浅?yōu)秀的數(shù)學(xué)家，日本這兩年正在迎頭趕上，也出現(xiàn)了得菲爾茨獎的，他們有三位，中國是一個未知數(shù)。既然如此我們就要想一想看，我們怎么樣來建設(shè)自己的文化，怎么樣把數(shù)學(xué)和國家的強(qiáng)盛連在一起，這次國際數(shù)學(xué)家大會，去年在北京召開的，霍金他是在宇宙學(xué)里面研究數(shù)學(xué)方程，對數(shù)學(xué)有很多貢獻(xiàn)，納什也來了，江總書記也出席了大會，傳媒廣泛地加以報(bào)道，那么一種文化的數(shù)學(xué)，在報(bào)紙電臺上面都進(jìn)行很多的宣傳，我想這就是數(shù)學(xué)文化的一個先聲。在21世紀(jì)要建設(shè)我們自己的數(shù)學(xué)文化，那么21世紀(jì)的數(shù)學(xué)文化有一些什么問題，我們來看看：陳省身教授他當(dāng)然是國際著名的數(shù)學(xué)大師，有人稱他為是當(dāng)代還活著的最偉大的幾何學(xué)家，他有一個提法說，中國應(yīng)該成為21世紀(jì)的數(shù)學(xué)大國，他說數(shù)學(xué)大國的含義在獨(dú)立平等的基礎(chǔ)上，與世界各國的數(shù)學(xué)家進(jìn)行交流，他說話說得非常巧妙，意思就是說中國現(xiàn)在還沒有獨(dú)立，在數(shù)學(xué)上還沒有獨(dú)立，數(shù)學(xué)上還不能平等地和國家進(jìn)行交流，我們在本土上面還沒有自己的問題，讓外國人來做，我們總是跟著外國人做，外國人沒有跟著我們來做，這一點(diǎn)說到我們的根本上去了。我們做數(shù)學(xué)不能看著外國人做什么，還要看我們自己能不能提出我們自己的問題出來，有沒有好的問題。

我前面已經(jīng)說過這樣一些很好的問題，那么在文化層面上面來分析就會知道，什么叫做好的數(shù)學(xué)，文化的視野就是要做好的數(shù)學(xué)，有益的數(shù)學(xué)，有價(jià)值的數(shù)學(xué)，有創(chuàng)新的數(shù)學(xué)，在世界上領(lǐng)先的數(shù)學(xué)。這樣好的數(shù)學(xué)用什么去判斷，就是用文化去判斷，用文化來判斷你這個數(shù)學(xué)好不好，價(jià)值好不好。楊振寧也對他的物理學(xué)的成功有一個看法，他說要面對原始問題，不要在文獻(xiàn)的夾縫里求生存。另外一方面我們又看看，菲爾茨獎?wù)轮皇谟璨怀^40歲的數(shù)學(xué)家，拉法格和沃沃斯基這兩個人，他們這兩個人都出生在1966年，今年36歲，獲最費(fèi)爾茲獎，拉法格他大學(xué)畢業(yè)以后，就得到扶植去專攻Langlangs猜想，Langlangs猜想是一個非常宏偉的一個數(shù)學(xué)綱領(lǐng)，非常尖深的綱領(lǐng)，頂尖的數(shù)學(xué)課題，那么說這個課題對不對？現(xiàn)在還沒有人知道，就讓他去做，他在函數(shù)域的情況下面終于做到了，Langlangs猜想是正確的，于是得到了菲爾茨獎。他們36歲，那么現(xiàn)在我們中國有許多獲得奧林匹克競爭金牌的，他們現(xiàn)在并沒有成為世界著名的數(shù)學(xué)家，甚至在我們當(dāng)今我們中國一流的數(shù)學(xué)家當(dāng)中也很少看到數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動金牌的獲得者，原因在什么地方？原因就在于我們的教育方面，可能有些問題，好勝與好奇，是愛因斯坦說過的話。愛因斯坦在紐約大學(xué)畢業(yè)典禮上面說過這樣的話，說學(xué)校里面給學(xué)生太多的好勝心，我第幾名，我比誰好，我一定要超過你，但是對數(shù)學(xué)的好奇，卻很少關(guān)注。我想說到底還是說我們的數(shù)學(xué)文化是停留在好勝的階層呢，還是停留在好奇的階層，在好奇心的驅(qū)動下，我們才能夠取得數(shù)學(xué)的創(chuàng)新與突破。

我今天的演講最后一部分就是要建設(shè)新世紀(jì)的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)文化什么樣子呢，就是人人喜愛數(shù)學(xué)，在公眾當(dāng)中樹立美好的數(shù)學(xué)形象。如果說我們畫一個圖的話，最底彌漫在我們空氣中的是一種數(shù)學(xué)文化，我們優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化仍然要保持，國外的優(yōu)秀文化我們要拿來，形成我們新世紀(jì)的數(shù)學(xué)文化。在這樣的文化氛圍當(dāng)中，希望我們的輿論能夠提倡創(chuàng)新，鼓勵應(yīng)用，在教育方面，有基礎(chǔ)和創(chuàng)新的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教育，各行各業(yè)大量使用數(shù)學(xué)技術(shù)，提出新的數(shù)學(xué)問題，那么我們的數(shù)學(xué)家就可能這樣的文化氛圍這樣的基礎(chǔ)上面從事他們自己的研究工作，在獨(dú)立與平等的基礎(chǔ)上面，和國外的數(shù)學(xué)家進(jìn)行交流。我們有我們自己的問題，外國數(shù)學(xué)家會跟著我們來做，這樣的一天如果能夠到來，那么也就是我們中國成為21世紀(jì)的數(shù)學(xué)強(qiáng)國。我衷心地希望這一天能夠盡早地到來，所以我們大家都為成為21世紀(jì)數(shù)學(xué)大國奮斗，大家一起共勉。