圓中的最值問題

最簡單的道理

圓中最長的弦是直徑。直徑不可能不是最長的弦．

在上面的圖中，如果AC≥AB，又AB=AO+CO，那么AC≥AO+CO．

這是與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾了．所以，圓中最長的弦是直徑．

看一個動態的圖

看了上面的動態圖，想必你已經知道“不在一直線上的三點確定一個圓”了

再看一個你已經知道的定理

圓的內接四邊形對角互補．

反之，如何讓四個點同在一個圓上呢？

只要讓以這四個點為頂點的四邊形的對角互補就可以了．

引入正題

如圖，C、D是在以AB為直徑的⊙O上滑動的兩點且與A、B兩點不重合，E是CD的中點，過點C作CE⊥AB于點E，若CD=4，AB=10，則EM 的最大值是______．

思考一下，再往下看。。。。

略解

連結OM∵M是CD的中點，∴OM⊥CD，∴∠CEM+∠CMO=180度，∴C、E、O、M四點共圓．∵∠CEM=90度，∴CO是這個圓的直徑，∴EM≤CO=5，即EM的最大值是5．

（CD=4這個條件是沒有用的，你發現了嗎？）

動圖解釋

本題考查要點：

直徑最長垂徑定理的推論四點共圓的判定

沒有為國王特設的通往幾何學的道路。——Euclid（歐幾里得）音樂的美由耳朵來感受，幾何的美由眼睛來感受。

——丘成桐