數(shù)論是一門非常神奇的學(xué)科。在中國(guó)，幾乎所有的數(shù)論課程最多也就涵蓋下面這些知識(shí)點(diǎn)：

素?cái)?shù)與合數(shù)，最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)，整除，進(jìn)制，不定方程，高斯函數(shù)，同余，著名的數(shù)論定理，升冪定理，階與原根，二次剩余，多項(xiàng)式

也許有些課程中會(huì)提到狄利克雷（Dirchlet）定理等，不過老師們對(duì)這些定理的介紹千篇一律：順便提一句，有這么個(gè)定理，考試不能用。

某IMO金牌大神上課時(shí)也表示：我們對(duì)素?cái)?shù)一無所知，像Dirchlet定理這樣的東西我們就不講了。

可是在AwesomeMaths Level 3 數(shù)論講義中的知識(shí)和定理，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了上述的考綱。它與中國(guó)講義中對(duì)這些定理避之不及的態(tài)度恰恰相反，第一講就從研究素?cái)?shù)開始，依次介紹了以下的幾個(gè)引理：

1. 不大于n的所有素?cái)?shù)乘積有怎樣的上界？

2. 不大于n的所有素?cái)?shù)倒數(shù)和有怎樣的下界？

3. 不大于n的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)有怎樣的上界？

4. 不大于n的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)有怎樣的下界？

并借助它們證明了Bertand's Postulate：對(duì)每個(gè)不小于4的正整數(shù)n，在(n, 2n-2]上存在素?cái)?shù)。這些問題都需要借助一些較為困難的量級(jí)判斷與估算，顯然不在學(xué)術(shù)活動(dòng)考題的研究范圍之內(nèi)，但是據(jù)老師所說介紹這些知識(shí)是為了 “convince you that number theory is wonderful”。

這本講義的后面幾個(gè)部分引入了更為高深的知識(shí)：Group theory, euclidean rings, finite fields, Jacobi sum, Jacobi conjecture, Dirchlet theorem，不過同時(shí)也與它們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行了有趣的結(jié)合。

Szemeredi-Trotter Theorem.?設(shè)P為一個(gè)點(diǎn)集，L為一個(gè)直線集，定義(P, L)的巧合數(shù)是滿足以下條件的二元組(A, l)的數(shù)量：A在P中，l在L中，A在直線l上。那么，(P, L)的巧合數(shù)?=O(|P|^(2/3)|L|^(2/3)+|P|+|L|)。

為了給出它的證明，老師又講解了許多其它定理，包括歐拉公式，有關(guān)平面圖的不等式，以及crossing number inequality。（到后面全班昏昏欲睡……）

當(dāng)然，如果你不去關(guān)心這個(gè)定理的證明，考慮如何運(yùn)用它解決問題也是很有意思的。例如以下幾個(gè)問題都可以被化為Szemeredi-Trotter Theorem：

設(shè)P是一個(gè)點(diǎn)集，T(P)是滿足以下條件的二元組(A, B)構(gòu)成的集合：A, B都在P中，且|AB|=1。證明|T(P)|=O( |P|^(3/2))。

設(shè)P是一個(gè)點(diǎn)集，證明它們構(gòu)成的直角三角形個(gè)數(shù)=O(|P|^(7/3))。（這個(gè)問題還需要反演！）

原來，這些作者感興趣的并不是柯西方程在特定條件下的解。他們研究的問題是：如何用某種一一映射來表示出柯西方程的非平凡解？不同的值域與不同的定義域?qū)е铝嗽S多種復(fù)雜的情形。第一章主要介紹這些內(nèi)容，充斥著各種高等的記號(hào)：他們提到了選擇公理，Hamel Basis等。

然后在第二章，他們又開始介紹柯西方程的推廣：琴生方程，線性柯西方程，Pexider方程，Vincze方程，冪平均方程。

還有更多你從來沒見過的名字：D'Alembert方程，Aczel-Golab-Schinzel方程……

Proof of Lemma.?AoPS是全世界最有名、最有影響力的數(shù)學(xué)論壇，而美國(guó)的整個(gè)數(shù)學(xué)培訓(xùn)系統(tǒng)幾乎都基于AoPS。在某種程度上AoPS就是美國(guó)的XES；但作為一個(gè)網(wǎng)站，AoPS顯然很少組織線下課程。另一個(gè)日益壯大的機(jī)構(gòu)——AwesomeMaths——在學(xué)年里的所有課程也都是網(wǎng)課。□

學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的人基本全部都完完整整地讀過這本書，仔細(xì)地看過它的例題分析與知識(shí)點(diǎn)講解。當(dāng)我提到自己從未聽說過Barycentric coordinate是什么計(jì)算方法時(shí)，美國(guó)同學(xué)顯得極其震驚。

與中國(guó)學(xué)術(shù)活動(dòng)教程不同的是，它并不是一本用來刷的書，而是一本用來學(xué)、用來看的書。很多人評(píng)價(jià)說，看完這本書的效果和上完幾期幾何課沒有什么區(qū)別。在線下課程資源較少的美國(guó)，書反而是最好的老師。

【推論1.1】

【推論1.2】

【推論1.3】

【例題1.4】

【定理2】

【推論2.1】

【例題2.2】

【定理3】

【定理4】

【推論4.1】

【習(xí)題】

而中國(guó)的講義形式一般是：

【例題1】

【例題2】

【例題3】

【例題4】

【例題5】

【例題6】

【習(xí)題】

Pitot's Theorem. 四邊形ABCD有內(nèi)切圓的等價(jià)條件。

No Name Theorem 2. 四邊形ABCD有外接圓的等價(jià)條件。（有關(guān)對(duì)角線交點(diǎn)到四邊的距離）

Brethshneider's Formula. 四邊形ABCD邊與對(duì)角線之間的數(shù)量關(guān)系。

Casey's Theorem. 四個(gè)與同一個(gè)圓內(nèi)切，且互相外切的圓之間公切線的數(shù)量關(guān)系。

Sawayama's Theorem & Thebault's Theorem. 沢山引理。

Erdos-Mordell Inequality. 三角形內(nèi)部一點(diǎn)到三邊距離的不等關(guān)系。

相比之下例題的數(shù)量就很少，每個(gè)定理至多有2~3道簡(jiǎn)單的例題幫助理解；這些例題在大多數(shù)情況下也是比較有名的推論與運(yùn)用。

老師會(huì)先花不到2個(gè)小時(shí)介紹這些定理，剩余的1個(gè)小時(shí)是所謂的“Problem Session”。每節(jié)課設(shè)置了10~15道習(xí)題，后1個(gè)小時(shí)就由同學(xué)們自己完成這些習(xí)題。這些習(xí)題的難度同樣是由淺入深，也有相應(yīng)的提示，這樣就能讓同學(xué)們掌握定理的運(yùn)用方式。當(dāng)然，到了后面有些題目難度系數(shù)很高，老師也會(huì)偶爾幫助解決一些“疑難雜癥”；還有一些老師也忘了怎么解決的題目……

上面好像扯得有點(diǎn)遠(yuǎn)；無論如何，我們的定理得到了證明。

Remark.?這樣的教學(xué)方式當(dāng)然有好處也有壞處。好處是學(xué)生有更多的思考時(shí)間，課堂的時(shí)間可以更有效地用來講有價(jià)值的定理。但壞處也不少：有些學(xué)生無法靜下來獨(dú)立思考，Problem session有時(shí)紀(jì)律較差，非常混亂。有時(shí)我只能通過GoT中小指頭的名言來安慰自己：Chaos is a ladder...

另外，老師只會(huì)講解一兩道最難的題目，而有時(shí)習(xí)題中大部分題目難度都不小。習(xí)題數(shù)量又多，難度又高，這就導(dǎo)致了老師講不完，學(xué)生做不完，整個(gè)課程結(jié)束了之后還留下一些懸而未決的題目。

無論如何，在AwesomeMaths的三周很充實(shí)，也很快樂。