美國(guó)的奧數(shù)題如何求階乘的最后兩位非零數(shù)字

題目（4星難度）：90！末尾一定有許多0，在這一長(zhǎng)串0出現(xiàn)之前，最后兩位數(shù)字是什么？

輔導(dǎo)方法：將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，

若20分鐘仍然沒有思路，再由家長(zhǎng)進(jìn)行提示性講解。

講解思路：這道題屬于數(shù)論問題，計(jì)算比較繁瑣容易出錯(cuò)，解題方法有很多種，

有的方法是對(duì)100求余數(shù)，有的方法是對(duì)25求余數(shù)。

過程都需要用到以下兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：設(shè)m,n,p,q,a,b都是正整數(shù),p除以n的余數(shù)是a,q除以n的余數(shù)是b,

(1)若m=p+q,

則m與a+b除以n的余數(shù)相同；

(2)若m=p*q,

則m與a*b除以n的余數(shù)相同。

下面我們介紹對(duì)25求余數(shù)的方法，這種方法利用了連續(xù)4個(gè)數(shù)相乘的性質(zhì)，

總的解題思路是：第一步對(duì)5的整數(shù)倍分解因數(shù)；第二步考慮最后兩位數(shù)是不是4的整數(shù)倍；第三步計(jì)算當(dāng)a是5的整數(shù)倍時(shí)，

a后面連續(xù)4個(gè)數(shù)的乘積除以25的余數(shù)；最后把1到90的數(shù)分為兩類，分別計(jì)算去掉末尾0后除以25的余數(shù)。

步驟1：

先思考第一個(gè)問題，

對(duì)5的整數(shù)倍分解因數(shù)。

這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，直接計(jì)算即可：

5*10*15*…*85*90

=(5^18)*(1*2*…*18)

=(5^18)*(2^9)*(1*3*5…*17)*(1*2*3*…*9)

=(5^21)*(2^16)*(3^4)*(7*9*7*9*11*13*17)。

步驟2：

再思考第二個(gè)問題，

90！去掉末尾連續(xù)的0后，

最后兩位非0的數(shù)字是不是4的整數(shù)倍？

末尾的0都是由5的整數(shù)倍產(chǎn)生的，

由于把1到90分解因數(shù)后，

2出現(xiàn)的次數(shù)遠(yuǎn)大于5出現(xiàn)次數(shù)，

故末尾連續(xù)0的個(gè)數(shù)等于5出現(xiàn)次數(shù)，

也就是步驟1中得到的21。

故90！/(10^21)末尾最后2位數(shù)，

就是題目中要求解的數(shù)字。

因?yàn)?出現(xiàn)的次數(shù)遠(yuǎn)大于5出現(xiàn)次數(shù)，

故90！/(10^21)是4的整數(shù)倍，

其最后2位數(shù)也一定是4的整數(shù)倍。

步驟3：

再思考第三個(gè)問題，

當(dāng)a是5的整數(shù)倍時(shí)，

計(jì)算a后連續(xù)4個(gè)數(shù)的乘積除以25的余數(shù)。

不妨設(shè)a=5k,

則(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)

=[(5k+1)(5k+4)][5k+2](5k+3)]

=(25k^2+25k+4) (25k^2+25k+6),

應(yīng)用余數(shù)的第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)可得，

連續(xù)4個(gè)數(shù)除以25的余數(shù)為24=4*6。

步驟4：

綜合上述幾個(gè)問題，

考慮原題目的答案。

將1到90的數(shù)分為兩類，

第一類是5的整數(shù)倍與32；

第二類是其余數(shù)字去掉32。

由于32=2^5,

根據(jù)步驟1的結(jié)論可得，

第一類數(shù)字乘積的末尾恰有21個(gè)0，

則90！/(10^21)可以分為兩部分計(jì)算，

第一部分是(3^4)*(7*9*7*9*11*13*17),

第二部分是第二類數(shù)的乘積。

下面計(jì)算90！/(10^21)除以25的余數(shù)：

第一部分逐個(gè)計(jì)算，

可得其除以25的余數(shù)是9；

第二部分可以看作18個(gè)組，

其中第17組缺少32，

其余各組都是連續(xù)4個(gè)自然數(shù)，

{1,2,3,4}{6,7,8,9},…,{86,87,88,89},

結(jié)合步驟3的結(jié)論可得，

第二部分除以25的余數(shù)等于

(24^17)*31*33*34,

由于24^2=576除以25的余數(shù)是1，

故(24^17)*31*33*34除以25的余數(shù)，

就等于24*31*33*34除以25的余數(shù)，

直接計(jì)算可得該余數(shù)是18。

由于9*18除以25的余數(shù)是12，

故90！/(10^21)除以25的余數(shù)也是12。

因此90！/(10^21)的末尾兩位可能是：

12，37，62或87。

結(jié)合步驟2中4的倍數(shù)的結(jié)論，

則90！/(10^21)的末尾兩位是12，

由于90！末尾有連續(xù)21個(gè)0，

所以原題的答案是12。

注：1.在所有求余數(shù)的過程中，乘積都不用直接計(jì)算，只需計(jì)算余數(shù)的乘積；

2.原題也可以直接對(duì)100求余數(shù)，用到(10n+k)(10n+10-k)的末兩位數(shù)字就是k(10-k),感興趣的朋友組合計(jì)算。