美國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題分析

今天的題目是計(jì)數(shù)問(wèn)題，來(lái)自美國(guó)的一次數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)，解題所用知識(shí)不超過(guò)小學(xué)5年級(jí)。

題目（4星難度）：有一個(gè)6位數(shù)能被3整除，且組成該數(shù)的數(shù)字中有6。滿(mǎn)足條件的數(shù)有多少個(gè)？

輔導(dǎo)方法：將題目寫(xiě)給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘仍然沒(méi)有思路，再由家長(zhǎng)進(jìn)行提示性講解。

講解思路：這道題屬于計(jì)數(shù)問(wèn)題，如果直接考慮6的位置，計(jì)算量很大不易得到正確答案。這里我們采用反向思考的方式，考慮數(shù)字中不含有6的情況。

總的解題思路是：如果6位數(shù)的各位數(shù)字都不是6，先考慮當(dāng)前5位數(shù)確定時(shí)，個(gè)位數(shù)有多少種選擇；再利用乘法原理計(jì)算答案。

步驟1：先思考第一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)這個(gè)6位數(shù)的各位數(shù)字都不是6，且這個(gè)6位數(shù)能被3整除時(shí)，若前5位數(shù)字確定后，個(gè)位數(shù)字有多少種不同的選擇？要讓6位數(shù)被3整除，也就是要各位數(shù)字和能被3整除。

對(duì)前5位數(shù)字和進(jìn)行討論，可以分為3種不同的情況：

第一種，若前5位數(shù)字和是3的整數(shù)倍，則個(gè)位數(shù)也應(yīng)是3的整數(shù)倍，此時(shí)個(gè)位數(shù)只有3種選擇，即0,3,9；

第二種，若前5位數(shù)字和除以3余數(shù)為1，則個(gè)位數(shù)除以3余數(shù)應(yīng)該為2，此時(shí)個(gè)位數(shù)只有3種選擇，即2,5,8；

第三種，若前5位數(shù)字和除以3余數(shù)為2，則個(gè)位數(shù)除以3余數(shù)應(yīng)該為1，此時(shí)個(gè)位數(shù)只有3種選擇，即1,4,7。

因此不論前5位數(shù)字是什么，個(gè)位數(shù)都是只有3種選擇。

步驟2：再思考第二個(gè)問(wèn)題，當(dāng)這個(gè)6位數(shù)的各位數(shù)字都不是6，且這個(gè)6位數(shù)能被3整除，滿(mǎn)足條件的6位數(shù)有多少個(gè)？

分步驟從左到右排數(shù)字即可，第1位數(shù)字可以是1到9去掉6，故第1位數(shù)字有8種不同的選擇；

第2到5位數(shù)字可以是0到9去掉6，故第2到5位數(shù)都字有9種不同的選擇；

根據(jù)步驟1的結(jié)論，第6位數(shù)即個(gè)位數(shù)有3種不同的選擇。

應(yīng)用排列組合的乘法原理，因此滿(mǎn)足條件的6位數(shù)的個(gè)數(shù)是8*9*9*9*9*3=157464。

步驟3：綜合上述兩個(gè)問(wèn)題，考慮原題目的答案。6位數(shù)共有900000個(gè)，其中能被3整除的只占1/3，故能被3整除的6位數(shù)有300000個(gè)。

步驟2中得到了各位數(shù)都不是6的個(gè)數(shù)，二者相減就是所求的答案。所以原題的答案是300000-157464=142536個(gè)。

思考題（3星難度）：能被3整除6位數(shù)中，若各位數(shù)字都不是6的個(gè)數(shù)是m，各位數(shù)字都不是0的個(gè)數(shù)是n。問(wèn)m和n哪個(gè)大？

國(guó)際學(xué)術(shù)活動(dòng)/國(guó)際課程輔導(dǎo)咨詢(xún)，掃碼免費(fèi)領(lǐng)取學(xué)術(shù)活動(dòng)/課程資料

以上就是關(guān)于【美國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題分析】的解答，如需了解學(xué)校/賽事/課程動(dòng)態(tài)，可至翰林教育官網(wǎng)獲取更多信息。

往期文章閱讀推薦：

2026五大奧賽中國(guó)隊(duì)斬獲四個(gè)世界第一，全員金牌收官！

【組隊(duì)招募】經(jīng)濟(jì)/數(shù)模競(jìng)賽CNEC/IEO/SIC/HiMCM…組隊(duì)報(bào)名！