美國的數學競賽題分析

今天的題目是計數問題，來自美國的一次數學學術活動，解題所用知識不超過小學5年級。

題目（4星難度）：有一個6位數能被3整除，且組成該數的數字中有6。滿足條件的數有多少個？

輔導方法：將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘仍然沒有思路，再由家長進行提示性講解。

講解思路：這道題屬于計數問題，如果直接考慮6的位置，計算量很大不易得到正確答案。這里我們采用反向思考的方式，考慮數字中不含有6的情況。

總的解題思路是：如果6位數的各位數字都不是6，先考慮當前5位數確定時，個位數有多少種選擇；再利用乘法原理計算答案。

步驟1：先思考第一個問題，當這個6位數的各位數字都不是6，且這個6位數能被3整除時，若前5位數字確定后，個位數字有多少種不同的選擇？要讓6位數被3整除，也就是要各位數字和能被3整除。

對前5位數字和進行討論，可以分為3種不同的情況：

第一種，若前5位數字和是3的整數倍，則個位數也應是3的整數倍，此時個位數只有3種選擇，即0,3,9；

第二種，若前5位數字和除以3余數為1，則個位數除以3余數應該為2，此時個位數只有3種選擇，即2,5,8；

第三種，若前5位數字和除以3余數為2，則個位數除以3余數應該為1，此時個位數只有3種選擇，即1,4,7。

因此不論前5位數字是什么，個位數都是只有3種選擇。

步驟2：再思考第二個問題，當這個6位數的各位數字都不是6，且這個6位數能被3整除，滿足條件的6位數有多少個？

分步驟從左到右排數字即可，第1位數字可以是1到9去掉6，故第1位數字有8種不同的選擇；

第2到5位數字可以是0到9去掉6，故第2到5位數都字有9種不同的選擇；

根據步驟1的結論，第6位數即個位數有3種不同的選擇。

應用排列組合的乘法原理，因此滿足條件的6位數的個數是8*9*9*9*9*3=157464。

步驟3：綜合上述兩個問題，考慮原題目的答案。6位數共有900000個，其中能被3整除的只占1/3，故能被3整除的6位數有300000個。

步驟2中得到了各位數都不是6的個數，二者相減就是所求的答案。所以原題的答案是300000-157464=142536個。

思考題（3星難度）：能被3整除6位數中，若各位數字都不是6的個數是m，各位數字都不是0的個數是n。問m和n哪個大？

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