數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

Problem 4：你試圖在一個(gè) n + 1 > 2人參加的小比賽中作弊，比賽中，裁判每讀出一道題，等待所有選手寫(xiě)下答案，電腦給分后，裁判再繼續(xù)出下一道題。由于你攻破了電腦系統(tǒng)，每次你可以偷看其他 n個(gè)選手的答案，再寫(xiě)下你自己的。電腦給分時(shí)，答案錯(cuò)誤扣兩分，答案正確不扣分，但由于你高超的黑客技術(shù)，你的答案錯(cuò)誤時(shí)只會(huì)被扣一分。求證：如果任意時(shí)刻你的分?jǐn)?shù)領(lǐng)先第二名2"﹣2 + 1分，則你有辦法最終得第一。

簡(jiǎn)單分析 首先可以忽略一切你答對(duì)的題目，（因?yàn)樗麄冎粫?huì)拉大你和其他人的差距，忽略后你能得第一 則忽略前你也能）另外 總可以假設(shè)你很倒霉，錯(cuò)了一切題目，故可以認(rèn)為你的回答永遠(yuǎn)錯(cuò)誤。

于是你的能力可以認(rèn)為是：看完回答，抄其中一種答案，跟他們一起錯(cuò)。即選擇一組答案為錯(cuò)的能力。（詛咒大法）

再簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù) 可以給每人每道題加一分， 于是你分?jǐn)?shù)永不變，其他人對(duì)+1分 錯(cuò)-1分。要求變?yōu)樽屍渌擞肋h(yuǎn)不到2的n-2次冪分?jǐn)?shù)

一個(gè)簡(jiǎn)單的策略是每次讓盡可能多的人扣分，舉栗子發(fā)現(xiàn)不行。反思的話是要考慮具體到個(gè)人，由于題目可以任意多，所以長(zhǎng)期來(lái)看 我們要讓每個(gè)人都幾乎不得分，要盡可能做抵消操作。

我們執(zhí)行以下策略：

1看完答案后，選擇答案相同人數(shù)較多的一組，判定此答案錯(cuò)。把本次得分的人記在小本本上。

2若本次有一組答案相同的人在小本本上有，則不執(zhí)行1，改為讓此答案錯(cuò)誤，同時(shí)在小本本上劃去這組人。

注意到此次得分之人上次（此組人得分那次）均扣分，上次得分之人此次均扣分，故這兩次操作結(jié)果相互抵消，可忽略。

由上， 可以看出小本本上的一切小組人數(shù)均少于一半，且兩兩不同。于是任何時(shí)刻一個(gè)人在小本本上至多出現(xiàn) 2的n-2次冪次證畢。