AMC10+12真題的討論之如何活用排列組合公式

昨天有一道數(shù)學(xué)題引發(fā)了同學(xué)的討論，題目如下：

A child builds towers using identically shaped cubes of different color. How many different towers with a height 8 cubes can the child build with 2 red cubes, 3 blue cubes, and 4 green cubes? (One cube will be left out.)

他們問我的時候，我發(fā)現(xiàn)此題是今年 2019 年的 AMC10 真題，該難度一般會出現(xiàn)在 AMC 10 的 16~20 題的位置或是 AMC 12 的 11~15 題的位置。

題目的意思是有個小孩搭積木，他手頭有 2 個紅色積木，3 個藍(lán)色積木，4 個綠色積木，要搭一個 8 層的塔，問有幾種搭法。

觀點(diǎn)一：S 同學(xué)第一反應(yīng)是用 P 9 抽 8 來算。

他注意到了“總共有 9 個積木，但要搭一個 8 層的塔”這件事，想法是從 9 個中有序的抽去 8 個，但是，這里涉及到一個“組內(nèi)去序”的問題，具體來說是：兩個紅色積木本來一樣，它們之間互相交換的 2！=2 種是一樣的，同理三個藍(lán)色積木互相交換 3！=6 種也是一樣的。S 同學(xué)這么做是當(dāng)每個積木都不一樣的做法，因此是不對的。

觀點(diǎn)二：K 同學(xué)用分類討論+組內(nèi)去序的方法來算。

我理解他的思路：因為總有一個顏色不用，所以分成三類，不用 1 個紅的、不用 1 個藍(lán)色、不用 1 個綠的來做。具體每類里面用幾個就確定了，先把所有方塊當(dāng)成不一樣的，有 8！種排列方法，再除以紅色交換順序、藍(lán)色交換順序、綠色交換順序的排法。正確。

觀點(diǎn)三：M 同學(xué)用組合數(shù)抽取的方法來算。

這個方法和上個方法有異曲同工之妙，先分類，然后“讓顏色選位置”，這是個很巧妙的思路，比如 1 個紅色，3 個藍(lán)色，4 個綠色這一類，讓紅色在 8 個位置中先選，有 C 8 抽 1 種選法，然后讓 3 個藍(lán)色去選，此時還剩 7 個位置，所以有 C 7 抽 3 種選法，以此類推，最終答案正確。

觀點(diǎn)四：W 同學(xué)沒有分類討論，直接一個算式做出！

9!/(2!3!4!)=1260

這個解法可以說是相當(dāng)牛逼了，直接大膽的把 8 個積木當(dāng) 9 個排！為什么能這樣做？因為當(dāng)前 8 個確定了，第九個積木就被唯一確定了！所以 8 個積木的塔有幾種搭法，9 個積木的塔就有幾種搭法。確實巧妙。