我們經(jīng)常會(huì)看到書上極其突兀地引入新概念，找尋定義這種新概念的緣由，就得用歷史的觀點(diǎn)去看它的形成歷史。我總相信，數(shù)學(xué)家的大腦不是神的大腦，是可以被理解的，所有想法必定有根源，是從當(dāng)時(shí)的環(huán)境中孕育出來的。

周堅(jiān)教授說：復(fù)分析聯(lián)系著所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)都是從復(fù)分析里誕生的。

黎曼曲面：學(xué)了復(fù)分析之后，就可以學(xué)黎曼曲面。黎曼曲面就是復(fù)分析解析延拓而來的——解析延拓，就孕育出了“層”的概念，以及它跟基本群的聯(lián)系，比如沿著兩條路徑做函數(shù)的解析延拓，延拓出來的值是否相同呢？如果著兩條路徑可以連續(xù)地變化到對(duì)方，那么延拓的值就是一樣的。

研究黎曼曲面上的亞純函數(shù)，可以建立黎曼曲面與函數(shù)域的一一對(duì)應(yīng)，這是把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來。代數(shù)數(shù)論中的概念，比如素理想的分解，就可以用幾何的眼光來看待。

我們也可以把它們推廣到代數(shù)幾何里。所以當(dāng)你學(xué)代數(shù)幾何里的finite morphism時(shí)，知道它的幾何來源，會(huì)對(duì)你接受代數(shù)幾何的理論有很大的幫助。

研究黎曼曲面上的微積分，來證明Riemann-Roch定理，這是對(duì)偏微分方程的應(yīng)用，也是Hodge理論的伊始。

微分拓?fù)洌撼巳瞧史炙龅膯渭兺{(diào)之外，de Rham上同調(diào)應(yīng)該是同調(diào)理論最直觀的例子了。同調(diào)群有太多太多看法了，站在微分形式的角度就是在看 這個(gè)方程（當(dāng)然這個(gè)說法不太妙，因?yàn)轭愃频匾部梢哉f復(fù)分析就是在研究Cauchy-Riemann方程組）。

de Rham上同調(diào)里，積分這個(gè)操作帶來了Poincare對(duì)偶。而有些同學(xué)是先在代數(shù)拓?fù)淅铮闷娈惿贤{(diào)學(xué)的Poincare對(duì)偶，雖然在代數(shù)上做法很自然，但是如果先有了de Rham上同調(diào)的背景，理解一般系數(shù)的同調(diào)的操作，就會(huì)好很多。

要想構(gòu)造定義在整個(gè)流形上的東西，Cech上同調(diào)又會(huì)自然地出現(xiàn)，與之相伴的，還有譜序列。總之，幾何是自然給我們?nèi)祟惖闹庇^體驗(yàn)，在幾何里發(fā)現(xiàn)好的數(shù)學(xué)，再做推廣，要比悶頭悶?zāi)X地把一般理論硬學(xué)下來舒服得多。

微分幾何：李海中教授說：微分幾何的口訣就是，用微積分的辦法研究曲線曲面論。我看微分幾何就只有一條：研究流形的彎曲。微分幾何是一門比較古典的課程，但只有學(xué)了微分幾何之后，才不會(huì)覺得黎曼幾何里定義曲率張量很人為。

Cartan和陳省身在微分幾何里發(fā)展了活動(dòng)標(biāo)架法，復(fù)幾何里同樣有關(guān)于向量叢上聯(lián)絡(luò)的計(jì)算，要理解它們，或者說理解“張量”這個(gè)概念是一個(gè)難點(diǎn)。

盡管線代里講了張量，微分流形里也講了張量，但是一旦在微分幾何或者復(fù)幾何里用起來，尤其是在物理學(xué)家那里用起來的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)很難理解他們?cè)诟傻氖峭患虑椋ㄓ米鴺?biāo)分量、用張量的語言、用活動(dòng)標(biāo)架法），所以可以死皮賴臉的要學(xué)長(zhǎng)給你講清楚，如果他講不清楚，那你就知道他也沒學(xué)會(huì)這個(gè)東西。

四、大一統(tǒng)的理論：代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何

我覺得很多人會(huì)覺得我把代數(shù)拓?fù)浜痛鷶?shù)幾何這兩門課寫成“大一統(tǒng)的理論”像是一個(gè)民科干出來的事情，我這里“大一統(tǒng)”是站在前面幾何的角度上說的。

代數(shù)拓?fù)浒褞缀卫锏囊恍┐鷶?shù)操作抽象出來，把 系數(shù)變成 系數(shù)，所有的事情都往universal的方向上走。

代數(shù)幾何也是一樣，盡管我們經(jīng)常說他是研究多項(xiàng)式的零點(diǎn)，這聽起來像是高中解析幾何，但實(shí)際上，上世紀(jì)五六十年代發(fā)展出來的概形的概念是把復(fù)幾何里的代數(shù)操作抽象出來。

代數(shù)幾何里遇到的層的上同調(diào)可以統(tǒng)一很多常見的上同調(diào)理論，在拓?fù)淅飳W(xué)的常系數(shù)的上同調(diào)、或者群的上同調(diào)，這些都可以用層的語言來表述。

范疇論的觀點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)的一次革命。六字班學(xué)弟吳雨宸就特別喜歡將一切東西范疇化。這樣一來，幾百年來數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的諸多概念就可以被結(jié)構(gòu)性的觀點(diǎn)縮并起來。私以為“范疇化”這件事有改寫數(shù)學(xué)史的可能。

但對(duì)于我這種普通天賦的人來說，代數(shù)幾何和代數(shù)拓?fù)涫遣缓脤W(xué)的。大二的時(shí)候，我嘗試過自己去看Hartshorne的《代數(shù)幾何》(Algebraic Geometry)，但是無法掌握整體的框架，也對(duì)那些省去很多細(xì)節(jié)的證明望而卻步。

徐凱學(xué)長(zhǎng)推薦我看扶磊教授的《代數(shù)幾何》(Algebraic Geometry)，但是一個(gè)接一個(gè)的命題堆蹙在一起，我一點(diǎn)兒也不知道代數(shù)幾何是想干嘛。

不過現(xiàn)在看來，這些書都是在建立代數(shù)幾何的最最基本的語言，所以顯得像字典一樣。但我代數(shù)幾何學(xué)的還太少了，不敢再多說其他話了。（如果想獲取更多關(guān)于代數(shù)幾何的建議，建議還是問其他的學(xué)長(zhǎng)吧！）

這學(xué)期上了孫晟昊老師的代數(shù)幾何2這門課，孫晟昊老師將Hartshorne第二三章中的細(xì)節(jié)完全補(bǔ)上，像對(duì)待代數(shù)小白一樣教我們，甚至比扶磊老師的書還要耐心，那時(shí)我才知道原來那些半頁紙不到的證明省去了多少不便寫在書本上的細(xì)節(jié)。

一學(xué)期學(xué)下來，也僅僅是知道了概形、層的上同調(diào)的概念，老師說，這雖然是代數(shù)幾何課的結(jié)束，卻僅僅是代數(shù)幾何的開始，我也不知道接下來該往哪兒走。

代數(shù)拓?fù)湟埠茴愃疲彝芏嗳艘粯樱葘W(xué)奇異同調(diào)。但除了會(huì)用長(zhǎng)正合列之外，同調(diào)理論的證明、架構(gòu)對(duì)于我而言都是一片模糊的，換句話說，也是被字典一樣的書給看蒙了。

最開始，我用長(zhǎng)正合列，是不看每個(gè)箭頭的映射到底是怎么給出來的，后來才發(fā)現(xiàn)如果講同構(gòu)而不去講同構(gòu)是怎么給出來的話，很多幾何信息就被拋棄了。

從Whitehead定理和Hurewicz定理中就可見一斑，如果有單連通CW復(fù)形之間的連續(xù)映射f誘導(dǎo)了整系數(shù)同調(diào)之間的同構(gòu)，那么f是同倫等價(jià)，而這個(gè)同構(gòu)f就是至關(guān)重要的，因?yàn)橛泻芏嗤{(diào)群一樣但兩個(gè)空間不同倫等價(jià)的例子。

這個(gè)學(xué)期周堅(jiān)教授要我去看Bott-Tu的《代數(shù)拓?fù)渲械奈⒎中问健?Differential Forms in Algebraic Topology)，雖然這本書王志涵學(xué)長(zhǎng)從我大一開始就一直推薦我去讀，但是由于我大一大二時(shí)候數(shù)學(xué)成熟度不高，同調(diào)理論不熟悉，也沒有人來點(diǎn)撥，導(dǎo)致我連一本寫得這么平易近人的教材都讀不下去。

但這學(xué)期經(jīng)過一年多的同調(diào)理論的熏陶之后，總算能把這本書讀下去了。

前幾天在準(zhǔn)備丘賽的時(shí)候，于品教授就教我們用成人的眼光，或者說用真正的理解，來看de Rham上同調(diào)。雖然此前我那些Poincare對(duì)偶相關(guān)的定理都背的很熟了，因?yàn)槲铱闯鰜砹怂褪且粋€(gè)積分操作誘導(dǎo)的對(duì)偶，而積分這個(gè)運(yùn)算可以做，就需要那些冗長(zhǎng)的條件，但是卻不知道Poincare對(duì)偶有什么用。

于品老師帶著我們做題，他教我們用Poincare對(duì)偶來計(jì)算上同調(diào)環(huán)，微分形式的外積就對(duì)應(yīng)著子流形的相交。我登時(shí)豁然開朗！雖然此前這些結(jié)論我都知道而且會(huì)證，但就是還有那一層窗戶紙沒被點(diǎn)破。

我也回想起來，這學(xué)期周堅(jiān)教授開的復(fù)幾何課上，周堅(jiān)老師用Lefshchetz超平面相交理論來講復(fù)幾何，那時(shí)因?yàn)閷W(xué)習(xí)態(tài)度不認(rèn)真還沒理解為什么周堅(jiān)說這才叫幾何，現(xiàn)在看來就都是Poincare對(duì)偶啊！

五、輔助性的工具：同調(diào)代數(shù)、交換代數(shù)

經(jīng)過大一上只選了兩門課的空閑之后，我大一下選了代數(shù)學(xué)前沿基礎(chǔ)這門課，它是講模論、范疇論和同調(diào)代數(shù)的。

對(duì)那時(shí)只是自學(xué)過抽象代數(shù)的我來說，在后半學(xué)期跟上這門課非常困難，倒不是說內(nèi)容很困難——都是最基本的范疇論、同調(diào)代數(shù)，而是缺乏學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，老師有的時(shí)候說的pull-back方格是fiber bundle之類的話，我就完全不知道。

最后一學(xué)期下來，就感覺像在地圖上一片黑暗中亮起了一個(gè)孤零零的小塊，隨著時(shí)間的推移，我就忘得一干二凈。

交換代數(shù)也是一樣，因?yàn)閷W(xué)長(zhǎng)們說學(xué)代數(shù)幾何要先知道交換代數(shù)，而我進(jìn)入大二之后，抽象代數(shù)又學(xué)了很多，所以就又開始自己看Atiyah和Macdonald的《交換代數(shù)導(dǎo)引》(Introduction to Commutative Algebra)。

可以說是看一遍忘一遍，就跟我的實(shí)分析、復(fù)分析還有概率論一樣，沒有去使用它們，笨笨的腦子就記不住它們。

所以我現(xiàn)在對(duì)于這種工具類的科目，傾向于有目的性的學(xué)習(xí)，而不是一鼓作氣看一整本書的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)。

要用到的時(shí)候，就去看對(duì)應(yīng)的章節(jié)；等到掌握得都差不多的時(shí)候，再可以考慮從頭看一遍，梳理整體的知識(shí)。

而且大家都說看代數(shù)幾何要先看交換代數(shù)，但實(shí)際上在我們學(xué)校兩門代數(shù)幾何課上，老師會(huì)幫忙補(bǔ)一點(diǎn)交換代數(shù)的知識(shí)，并且課上只是偶爾會(huì)用到交換代數(shù)，所以我覺得我校的同學(xué)完全可以先學(xué)代數(shù)幾何，邊學(xué)邊補(bǔ)對(duì)應(yīng)的交換代數(shù)。畢竟數(shù)學(xué)得學(xué)得開心，逼自己去看字典，如果不順心的話，就別看了。

六、數(shù)學(xué)的皇后：代數(shù)數(shù)論

我最開始接觸數(shù)論是大二下學(xué)期上扶磊老師的代數(shù)數(shù)論1，但扶磊老師第一次在清華教本科生數(shù)論課，所以只講了素?cái)?shù)定理的證明以及賦值理論，關(guān)于代數(shù)整數(shù)環(huán)、素理想涉及甚少。

所以為了丘賽，我又去自學(xué)了馮克勤的《代數(shù)數(shù)論》的第一部分，這一部分比扶磊老師講得古典很多，但是丘賽特別喜歡考，其實(shí)也是非常重要，因?yàn)榇鷶?shù)數(shù)論發(fā)展之初就是在看素?cái)?shù)在更大的數(shù)域里是如何分解的。

徐凱學(xué)長(zhǎng)推薦我看Neukirch的《代數(shù)數(shù)論》(Algebraic Number Theory) 的前兩章，但我根本無法理解Neukirch的證明中的代數(shù)細(xì)節(jié)，覺得高深莫測(cè)，現(xiàn)在看來確實(shí)是交換代數(shù)的成熟度不夠高，有些代數(shù)操作不能理解，應(yīng)該要找學(xué)長(zhǎng)或者老師好好扣扣細(xì)節(jié)，就會(huì)進(jìn)步很大的。

大三上學(xué)期我學(xué)了陳宗彬老師的代數(shù)數(shù)論2，陳宗彬老師北大出身，思維極快，一學(xué)期的代數(shù)數(shù)論涵蓋局部域、高階分歧群、類域論、Tate thesis的完整理論。我上課完全跟不上，只能抄筆記，陳老師省略的細(xì)節(jié)也特別多，最后班上只剩下五個(gè)人。

最遺憾的就是我課后沒有去及時(shí)補(bǔ)上來，我那學(xué)期選了十門數(shù)學(xué)課，很多課都是課后沒有管，也就導(dǎo)致沒有學(xué)懂。我還是覺得一學(xué)期最多選四門數(shù)學(xué)課，這樣課后才有鉆研的時(shí)間。

上課沒能掌握，寒假就自己看了一遍Serre的《局部域》(Local Fields) 和Serge Lang的《代數(shù)數(shù)論》 (Algebraic Number Theory) ，才總算有點(diǎn)感覺。

后來于品老師說：你不懂就去問他，我說：感覺自己的問題會(huì)太簡(jiǎn)單了，或者說到處都是問題，于品說：那你就叫他重新講一遍！確實(shí)，感覺自己?jiǎn)枂栴}的能力差了好多，很多問題自己想不清楚，可是也不想去問老師知道答案。

這種不求甚解的風(fēng)格可能來源于我們高中數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)只做題而不公布題目的答案的做法，還是不太好的。

我大三上還跟著陳宗彬老師、張志宇學(xué)長(zhǎng)等人參加了 上的local Langlands對(duì)應(yīng)討論班，但除了我最開始講的 的表示之外，其他的我全都沒能聽懂。越是難的東西就越應(yīng)該多花時(shí)間，我不該在選了九門數(shù)學(xué)課的情況下還參加這個(gè)討論班的。

在我大三這年，清華數(shù)學(xué)系開始了一項(xiàng)新計(jì)劃：數(shù)學(xué)學(xué)堂班基礎(chǔ)科研訓(xùn)練計(jì)劃(Junior Thesis)。我選的是陳宗彬老師的“帶復(fù)乘橢圓曲線的算術(shù)”(Arithmetic of Elliptic Curves with Complex Multiplication）。

我利用寒假時(shí)間把Silverman的《橢圓曲線上的算術(shù)》(The Arithmetic of Elliptic Curves)給抄了一遍，Silverman的講法不需要知道代數(shù)幾何，對(duì)于我來說非常友好。進(jìn)入大三下學(xué)期后，我開始看Silverman的第二本書《橢圓曲線算術(shù)的高等論題》(Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves)的第二章：復(fù)乘理論。

但是我發(fā)現(xiàn)第二本書對(duì)橢圓曲線的熟悉高了很多，我不得不重新把第一本書從頭再看一遍，邊看邊敲latex，這樣就逼著我搞明白證明的每一步，雖然是個(gè)傻辦法，但總比一目十行地看書卻吸收不了好多了，因?yàn)閷W(xué)東西是需要時(shí)間的。

等我敲了70頁latex后，我就已經(jīng)體會(huì)到復(fù)乘理論的深刻之處了。但是我想，如果我到時(shí)候junior thesis答辯的時(shí)候只講這個(gè)復(fù)乘理論會(huì)不會(huì)太簡(jiǎn)單了，畢竟什么論文都沒看，氣勢(shì)上輸給學(xué)弟可不好啊！所以我開始看Coates和Wiles在1977年證明帶復(fù)乘橢圓曲線上的弱BSD猜想的特殊情況。

確實(shí)原始論文太難讀了，我找到Karl Rubin在1995年寫的一篇note，于是開始啃，開始同時(shí)結(jié)合十幾篇論文一起啃。這些論文對(duì)橢圓曲線的掌握要求得太高了，非常難讀。

一度想過只想講復(fù)乘理論，但是最后陳宗彬給我規(guī)劃答辯內(nèi)容的時(shí)候，叫我驗(yàn)證一條特殊的橢圓曲線上的BSD猜想。我就在想，如果我連這條特殊的橢圓曲線上的BSD猜想都驗(yàn)證不完的話，那我可真沒東西可講了。

于是我在答辯前三周日以繼夜地攻讀那些論文，把所有他們推廣得以致于表述極其復(fù)雜的定理全都限制到我這條特殊的橢圓曲線上。

事情慢慢就開朗起來了，很多為了推廣而作的技術(shù)性操作都變?yōu)槠椒玻揖湍茏プ∽钪饕乃枷搿蔷褪荁irch和Swinnerton-Dyer在五十年代的那篇論文中做的計(jì)算——我也總算理解了為什么陳宗彬老師說BSD猜想是算出來的了。

反過來，知道最主要的部分后，那些技術(shù)性推廣也變得可理解了。最后6月10號(hào)那天，我做了一個(gè)非常滿意的報(bào)告，介紹了那條特殊的橢圓曲線上BSD猜想該怎么證，盡管在場(chǎng)的人幾乎都沒能跟著聽完全程。

七、準(zhǔn)備丘賽

近年來全國(guó)各大高校越來越重視丘賽，誠(chéng)然丘賽的結(jié)果對(duì)于各所學(xué)校來說非常重要，但是對(duì)于我們學(xué)生來說，準(zhǔn)備丘賽的過程才是最重要的。

正如丘成桐先生在丘賽頒獎(jiǎng)典禮上一直說的，之前我們的學(xué)生去到美國(guó)高校考不過他們的qualify，這個(gè)丘賽就是要訓(xùn)練學(xué)生們的基本功。

我也一直認(rèn)為，像我們這種天賦一般的同學(xué)學(xué)一遍東西是學(xué)不懂的，要做題、要梳理出成人版的知識(shí)脈絡(luò)，才有可能學(xué)懂。

剛進(jìn)入大學(xué)那會(huì)兒，高中學(xué)術(shù)活動(dòng)剛結(jié)束，解題思維很活躍，卓里奇上幾乎就沒有做不出來的題目。

但是隨著開始習(xí)慣于應(yīng)付大學(xué)的數(shù)學(xué)作業(yè)，別人問題目也不想去認(rèn)真考慮，解題能力大大下降，腦子變遲鈍很多。

大二丘賽失利后，我開始做丘賽往年的真題，能夠切實(shí)地感覺到自己的注意力越來越集中、思維越來越快。所以學(xué)弟學(xué)妹們千萬別抗拒這種應(yīng)試的東西，它不像高考數(shù)學(xué)，它的題目可活了呢！

八、修習(xí)順序建議

我對(duì)傾向于代數(shù)或幾何的普通同學(xué)有如下的建議（這是接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基本的脈絡(luò)）：

大一：數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、抽象代數(shù)、拓?fù)?自學(xué)流形的相關(guān)概念

大二：復(fù)分析、黎曼曲面、微分拓?fù)?Bott Tu的《代數(shù)拓?fù)渲械奈⒎中问健?/p>

大三：復(fù)幾何、代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何

夸張點(diǎn)說，這應(yīng)當(dāng)是每個(gè)想學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的同學(xué)必須要掌握的東西。

九、附錄：課程大綱

分析類：

數(shù)學(xué)分析(1)：實(shí)數(shù)理論、極限、單變量微積分

數(shù)學(xué)分析(2)：多變量微積分、曲面上的積分

數(shù)學(xué)分析(3)：級(jí)數(shù)理論、傅立葉分析

實(shí)分析：測(cè)度論和Lebesgue積分

復(fù)分析(1)：最基本的復(fù)分析

復(fù)分析(2)：每年內(nèi)容不一定，可能會(huì)講有理函數(shù)的迭代問題、雙曲度量

泛函分析：最基本的泛函分析

常微分方程：存在性、唯一性、延拓定理

偏微分方程(1)：波方程、熱方程、泊松方程的存在唯一性

偏微分方程(2)：橢圓方程、雙曲方程、拋物方程的存在唯一正則性

分析力學(xué)：Lagrange力學(xué)以及一些玄學(xué)

概率論：最基本的概率論

幾何類：

微分流形：流形的概念以及流形上常見的研究對(duì)象

拓?fù)鋵W(xué)：點(diǎn)集拓?fù)洹⒒救骸?fù)疊空間、同調(diào)理論

微分拓?fù)洌毫餍蔚臋M截相交、逼近，Stokes定理，Poincare-Hopf定理

代數(shù)拓?fù)洌和瑐愓摗⑼{(diào)論

微分幾何：曲線曲面論

黎曼幾何：最基本的黎曼幾何

黎曼曲面：黎曼曲面的幾何與代數(shù)部分

復(fù)幾何：復(fù)流形的上同調(diào)、Hodge理論

代數(shù)類：

線性代數(shù)(1)：矩陣與行列式

線性代數(shù)(2)：矩陣的對(duì)角化

代數(shù)學(xué)前沿基礎(chǔ)：模論、范疇論、同調(diào)代數(shù)

抽象代數(shù)(1)：基本的群環(huán)域

抽象代數(shù)(2)：Galois理論，可能還會(huì)講有限群的線性表示

代數(shù)數(shù)論(1)：賦值理論，素?cái)?shù)定理

代數(shù)數(shù)論(2)：每年不一定

代數(shù)幾何(1)：古典的variety

代數(shù)幾何(2)：概形與層的上同調(diào)

李群李代數(shù)：復(fù)半單李代數(shù)的表示論

群表示論：有限群的復(fù)表示、模表示