美國奧林匹克數學題

家長是孩子最好的老師，這是奧數君第909天給出奧數題講解。

今天的題目是不定方程問題，來自第5屆美國數學奧林匹克學術活動，那一年的題目共有5道，這是其中的一道。解題所用知識不超過小學5年級。

題目（5星難度）：

自然數a,b,c滿足a^2+b^2+c^2=(ab)^2,請寫出所有符合條件的a,b,c。

注：a^2表示a的平方。

輔導方法：

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘仍然沒有思路，再由家長進行提示性講解。

講解思路：

這道題屬于不定方程問題，又叫做丟番圖問題。這類問題沒有固定的解法，通常是通過觀察方程本身的特點，逐步縮小求解的范圍。解題過程會用到費馬的無窮遞降法，您可以參見4月14日的題目(點擊進入)。總的解題思路是：先討論a,b,c的奇偶性縮小范圍；再針對討論結果使用無窮遞降法，最后得到所需的答案。

步驟1：

先思考第一個問題，a,b,c三個數中可能有奇數嗎？對任意一個奇數2n+1,(2n+1)^2=4(n^2+n)+1,故奇數的平方除以4余數為1。首先考慮a,b是否可能都是奇數：如果a,b都是奇數，則 等式右邊(ab)^2除以4的余數為1，且a^2和b^2除以4的余數也為1，不管c是奇數還是偶數，等式左邊除以4的余數都不是1，故a,b不全是奇數。則ab一定是偶數，等式右邊(ab)^2除以4的余數為0。如果a,b,c中含有奇數，等式左邊除以4的余數不可能是0。為保證等式成立，因此a,b,c三個數都是偶數。

注：在丟番圖方程中，

使用余數縮小范圍是常用方法。

步驟2：

再思考第二個問題，考慮原題目的答案。步驟1中得到了a,b,c都是偶數，假設a=2d,b=2e,c=2f,代入a^2+b^2+c^2=(ab)^2中，有：d^2+e^2+f^2=4*(de)^2,上述等式右邊除以4余數為0，根據步驟1的后半部分可得，d,e,f都是偶數。這說明a,b,c除以2后還是偶數。再重復一次上述過程可得，d,e,f除以2后還是偶數。這說明a,b,c除以兩次2后還是偶數。不斷重復上述過程，a,b,c除以任意多次2后還是偶數。滿足條件的a,b,c只能全是0。所以原題答案是a=b=c=0。

注：上述不斷除以2的過程，

就是費馬首創的無窮遞降法。

思考題（3星難度）：

自然數a,b,c都不是3的整數倍，a^2+b^2+c^2是不是3的整數倍？