美國(guó)奧林匹克數(shù)學(xué)題

家長(zhǎng)是孩子最好的老師，這是奧數(shù)君第909天給出奧數(shù)題講解。

今天的題目是不定方程問題，來自第5屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)術(shù)活動(dòng)，那一年的題目共有5道，這是其中的一道。解題所用知識(shí)不超過小學(xué)5年級(jí)。

題目（5星難度）：

自然數(shù)a,b,c滿足a^2+b^2+c^2=(ab)^2,請(qǐng)寫出所有符合條件的a,b,c。

注：a^2表示a的平方。

輔導(dǎo)方法：

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘仍然沒有思路，再由家長(zhǎng)進(jìn)行提示性講解。

講解思路：

這道題屬于不定方程問題，又叫做丟番圖問題。這類問題沒有固定的解法，通常是通過觀察方程本身的特點(diǎn)，逐步縮小求解的范圍。解題過程會(huì)用到費(fèi)馬的無窮遞降法，您可以參見4月14日的題目(點(diǎn)擊進(jìn)入)。總的解題思路是：先討論a,b,c的奇偶性縮小范圍；再針對(duì)討論結(jié)果使用無窮遞降法，最后得到所需的答案。

步驟1：

先思考第一個(gè)問題，a,b,c三個(gè)數(shù)中可能有奇數(shù)嗎？對(duì)任意一個(gè)奇數(shù)2n+1,(2n+1)^2=4(n^2+n)+1,故奇數(shù)的平方除以4余數(shù)為1。首先考慮a,b是否可能都是奇數(shù)：如果a,b都是奇數(shù)，則 等式右邊(ab)^2除以4的余數(shù)為1，且a^2和b^2除以4的余數(shù)也為1，不管c是奇數(shù)還是偶數(shù)，等式左邊除以4的余數(shù)都不是1，故a,b不全是奇數(shù)。則ab一定是偶數(shù)，等式右邊(ab)^2除以4的余數(shù)為0。如果a,b,c中含有奇數(shù)，等式左邊除以4的余數(shù)不可能是0。為保證等式成立，因此a,b,c三個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。

注：在丟番圖方程中，

使用余數(shù)縮小范圍是常用方法。

步驟2：

再思考第二個(gè)問題，考慮原題目的答案。步驟1中得到了a,b,c都是偶數(shù)，假設(shè)a=2d,b=2e,c=2f,代入a^2+b^2+c^2=(ab)^2中，有：d^2+e^2+f^2=4*(de)^2,上述等式右邊除以4余數(shù)為0，根據(jù)步驟1的后半部分可得，d,e,f都是偶數(shù)。這說明a,b,c除以2后還是偶數(shù)。再重復(fù)一次上述過程可得，d,e,f除以2后還是偶數(shù)。這說明a,b,c除以兩次2后還是偶數(shù)。不斷重復(fù)上述過程，a,b,c除以任意多次2后還是偶數(shù)。滿足條件的a,b,c只能全是0。所以原題答案是a=b=c=0。

注：上述不斷除以2的過程，

就是費(fèi)馬首創(chuàng)的無窮遞降法。

思考題（3星難度）：

自然數(shù)a,b,c都不是3的整數(shù)倍，a^2+b^2+c^2是不是3的整數(shù)倍？