一道AMC8真題的解法分析和對(duì)比

當(dāng)前盛行的“刷題”模式，是病態(tài)的數(shù)學(xué)教育的一種具體形式。它在加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)試解題能力的同時(shí)，極大地削弱了數(shù)學(xué)研究的能力。長(zhǎng)此以往，將危及數(shù)學(xué)教育的根基。

在前兩篇文章《一道AMC8真題的解法分析和對(duì)比》和《一道AMC8真題的解法分析和對(duì)比（續(xù)）》里，我對(duì)一道AMC8真題給出了幾個(gè)解法并做了一些對(duì)比和分析。使用這幾個(gè)解法中的任意一個(gè)，都可以完成這道題的作答。然而，以解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)，僅僅做到這一步還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

本文將討論兩個(gè)問(wèn)題。

第一，這幾個(gè)解法給出的答案，實(shí)際上只是“某個(gè)（跟“胖十字形”有8個(gè)交點(diǎn)的）正方形”的面積。但是，我們并沒(méi)有確定，這個(gè)正方形就是所有正方形中面積最大的那個(gè)。

第二，如果在任意形狀的“十字形”內(nèi)部作正方形，最大面積都是唯一確定的，那么其數(shù)值跟“十字形”的形狀數(shù)據(jù)之間是否有確定的關(guān)聯(lián)性？換句話說(shuō)，是否有計(jì)算最大面積值的計(jì)算公式（公式中只包含跟“十字形”的形狀有關(guān)的數(shù)量）？

為敘述方便，下面稱(chēng)這個(gè)“十字形”為M。

先不考慮“面積最大”的要求，只是在M中作正方形，可以作出很多不同的正方形。這些正方形有的是“正著”擺的，有的是“斜著”擺的。對(duì)于后者，我們可以認(rèn)為是把前者旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到的。

結(jié)論一：每個(gè)正方形都由三個(gè)要素唯一確定：中心點(diǎn)O，旋轉(zhuǎn)角的大小s，邊長(zhǎng)L。

要根據(jù)這“三要素”作出唯一確定的正方形，我們可以先標(biāo)出中心點(diǎn)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角過(guò)這個(gè)中心點(diǎn)作一條軸線，最后根據(jù)邊長(zhǎng)大小把正方形畫(huà)出來(lái)。

為了探索正方形的面積最大可以達(dá)到多大，在選定中心點(diǎn)以及旋轉(zhuǎn)的角度后，我們?cè)僦饾u增加邊長(zhǎng)，直到觸碰到邊界為止。

顯然，在選定中心點(diǎn)位置O和旋轉(zhuǎn)角度s后，按上述方法確定的“最大面積”的正方形是唯一的。我們記這個(gè)正方形為Q(O,s)。

現(xiàn)在我們調(diào)整一下順序，先取定旋轉(zhuǎn)角度s。然后，每選擇一個(gè)中心點(diǎn)位置O，就得到相應(yīng)的唯一“最大面積”正方形Q(O,s)。

結(jié)論二：對(duì)于給定的旋轉(zhuǎn)角度s，在所有正方形Q(O,s)中，O位于M的中心點(diǎn)的那個(gè)正方形Q(O,s)是面積最大的。

從直觀上不難理解這個(gè)結(jié)論。證明思路如下：如果選定的O不是位于M的中心點(diǎn)，那么在作出Q(O,s)后，把Q(O,s)平移，使得它的中心點(diǎn)移動(dòng)到M的中心點(diǎn)位置。這個(gè)新的正方形仍然在M內(nèi)，而且在保持中心點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)角度不變的情況下，邊長(zhǎng)還有可能再增大。

根據(jù)結(jié)論二，我們要尋找的面積最大的正方形，其中心點(diǎn)必定位于M的中心點(diǎn)。因此，只需要再比較不同旋轉(zhuǎn)角度下的“最大面積”正方形的面積。

盡管旋轉(zhuǎn)角度的取值范圍是從0度到360度，但根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，我們只需考慮s在0度到45度之間的情形。下面具體計(jì)算Q(O,s)的邊長(zhǎng)。

記初始的大正方形邊長(zhǎng)為a，四個(gè)角上切去的正方形邊長(zhǎng)為b。注意到每個(gè)Q(O,s)都不能再繼續(xù)“擴(kuò)張”了，所以它們要么是邊觸碰到了M的凹頂點(diǎn)（如下圖中的四個(gè)紫色點(diǎn)），要么是角觸碰到了M的邊，也可能兩種觸碰同時(shí)發(fā)生。

下面先考慮第一種觸碰的情形。

設(shè)GH是Q(O,s)的一條邊，其中OH垂直于GH。

可知，。

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所以。

注意到OH是Q(O,s)邊長(zhǎng)的一半，所以Q(O,s)的邊長(zhǎng)不大于OH的兩倍，即。

接下來(lái)考慮第二種觸碰的情形。

設(shè)A是Q(O,s)的其中一個(gè)頂點(diǎn)，且位于M的一條邊上。作OH垂直于M的這條邊，垂足為H。

則，。

所以。

注意到Q(O,s)的邊長(zhǎng)是OA的倍，

所以Q(O,s)的邊長(zhǎng)不大于。

綜合以上兩種情形的分析，可知Q(O,s)的邊長(zhǎng)不大于，
其中，

，

。

(1) ，即。

當(dāng)時(shí)，的邊長(zhǎng)不大于

因?yàn)?img loading="lazy" decoding="async" class="alignnone size-full wp-image-446135" src="https://oss.linstitute.net/wechatimg/2019/07/764799-0140e734e03aeba61fe9974b75399d53.png" alt="764799-0140e734e03aeba61fe9974b75399d53" width="170" height="66" />，所以上式中應(yīng)取第二項(xiàng)作為最小值。

當(dāng)s逐步減小時(shí)，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的值從0度到45度逐漸減小，所以p(s)的值遞減，而q(s)的值遞增。

取s的值使得p(s)=q(s)，且記s的這個(gè)特殊值為。我們來(lái)證明就是面積最大的正方形。

當(dāng)時(shí)，，Q(O,s)的邊長(zhǎng)應(yīng)取q(s)，所以比的邊長(zhǎng)小。

當(dāng)時(shí)，，Q(O,s)的邊長(zhǎng)應(yīng)取p(s)，也比的邊長(zhǎng)小。

最后，我們來(lái)計(jì)算（也是）的值。由推出

所以，因而最大面積為。

在AMC真題中，a=5，b=1，所以最大面積為。

(2) ，即。

當(dāng)時(shí)，的邊長(zhǎng)不大于

因?yàn)?img loading="lazy" decoding="async" class="alignnone size-full wp-image-446190" src="https://oss.linstitute.net/wechatimg/2019/07/764799-57b3fe54d9f73ba654014c18b6c1a2c8.png" alt="764799-57b3fe54d9f73ba654014c18b6c1a2c8" width="170" height="66" />，所以上式中應(yīng)取第一項(xiàng)作為最小值。

接下來(lái)讓s逐步減小到0度，在這個(gè)過(guò)程中p(s)的值遞減，而q(s)的值遞增。因此對(duì)任意s，p(s)都不大于q(s)，所以Q(O,s)的邊長(zhǎng)始終取p(s)的值。

因?yàn)閜(s)的值在45度時(shí)達(dá)到最大值，所以面積最大的Q(0,s)，旋轉(zhuǎn)角度必定是45度，且其面積為。見(jiàn)下圖。

總結(jié)一下我們上面得到的結(jié)論。

當(dāng)四個(gè)角上被切掉的小正方形邊長(zhǎng)小于原大正方形的四分之一時(shí)（b<a/4），所得的十字形比較“胖”。此時(shí)，十字形內(nèi)可作的正方形的最大面積為a(a-2b)，且它與十字形有8個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)四個(gè)角上被切掉的小正方形邊長(zhǎng)大于等于原大正方形的四分之一時(shí)，所得的十字形比較“瘦”。此時(shí)，十字形內(nèi)可作的正方形的面積為，且其旋轉(zhuǎn)角都是45度。

就推理過(guò)程而言，上面的推理省略了一些步驟。在補(bǔ)齊這些步驟后，這就是對(duì)問(wèn)題的一個(gè)很完整的數(shù)學(xué)分析，同時(shí)也回答了文章開(kāi)頭所提的兩個(gè)問(wèn)題。

本文的分析推理過(guò)程，也提供了一個(gè)簡(jiǎn)明的做數(shù)學(xué)研究的演示范例。如果抱著“做題”的心態(tài)，只要根據(jù)當(dāng)前的題目條件找到一個(gè)解題路徑，最終得到“正確的答案”，就算是大功告成了。大多數(shù)人所理解的“解題能力”，就是這樣的能力。

而數(shù)學(xué)研究強(qiáng)調(diào)的是思考所尋求的答案和題目的條件之間有什么樣的關(guān)聯(lián)性，講究的是對(duì)答案有更全面和深入的了解。并且，還要追問(wèn)所揭示的關(guān)聯(lián)性中，有哪些是反映了本質(zhì)關(guān)系的，哪些是特殊情形下的“巧合”。換句話說(shuō)，就是考慮更一般的情形。

正常的數(shù)學(xué)教育，以培養(yǎng)解題能力為肇始，進(jìn)而帶動(dòng)數(shù)學(xué)研究能力的提高；從而，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，能夠自然地進(jìn)入數(shù)學(xué)研究的階段。病態(tài)的數(shù)學(xué)教育，只關(guān)注學(xué)生在考試中的解題表現(xiàn)，甚至為了更高效地實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)而禁止學(xué)生把時(shí)間浪費(fèi)在“與解題無(wú)關(guān)”的思考上，這實(shí)質(zhì)上是在削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力。

當(dāng)前盛行的“海量刷題”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，就是病態(tài)的數(shù)學(xué)教育的一種具體形式。一方面，學(xué)生們?cè)谌遮叞谉峄纳龑W(xué)競(jìng)爭(zhēng)中拼盡全力，力求挖盡自己的解題能力；另一方面，他們根本沒(méi)有精力提升自己的數(shù)學(xué)研究能力。結(jié)果就是，高分學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力不斷下降。

數(shù)學(xué)解題能力和研究能力的“剪刀差”現(xiàn)象，是需要非常警惕的問(wèn)題，其危害性將危及數(shù)學(xué)教育的根基。

以上就是關(guān)于【一道AMC8真題的解法分析和對(duì)比】的解答，如需了解學(xué)校/賽事/課程動(dòng)態(tài)，可至翰林教育官網(wǎng)獲取更多信息。

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