2018美國普特南數學競賽第一題

求所有滿足 1/a+1/b = 3/2018 的有序正整數對 (a, b)。

答案：共6對，(1009, 2018), (2018, 1009), (1009?337, 674) = (340033, 674), (674, 340033), (1009?1346, 673) = (1358114, 673), (673, 1358114)。

具體過程如下：

2018 = 2 ? 1009 （注意到1009為質數）

3ab = 2?1009?(a+b)

故 ab 中必有1009的倍數

由對稱性，不妨令 a = 1009x，其中 x 為正整數

則 (3x-2)b = 2?1009x

所以 3x-2 和 b 中至少有一個是1009的倍數

1. 如果 b 是1009的倍數，令 b=1009y，其中 y 為正整數則 (3y-2)x = 2y3y-2?≤?2y 即 y≤?2檢驗可得兩解?(1009, 2018), (2018, 1009)
2. 如果 3x-2 是1009的倍數，令 3x-2 = 1009k，其中 k 為正整數則 (3b-2?1009)k = 4故?k?≤?4檢驗可得兩解?(1009?337, 674), (1009?1346, 673)

最后，依據對稱性整理，可得所有的六個解：?(1009, 2018), (2018, 1009), (1009?337, 674) = (340033, 674), (674, 340033), (1009?1346, 673) = (1358114, 673), (673, 1358114)。