讓中國(guó)隊(duì)幾乎團(tuán)滅的奧賽第三題，到底怎么解？

全網(wǎng)火熱的一道數(shù)學(xué)題，“難倒中國(guó)選手的第三題”，今天就告訴你到底怎么解—— ?
看來大家對(duì)本次RMM的反響很熱烈，尤其是那“難倒中國(guó)選手的第三題” 。一時(shí)間關(guān)于這道題的討論層出不窮： ?
從本次比賽的獎(jiǎng)牌榜就不難看出這道題的難度非同小可——金牌和銀牌的差距，幾乎全在能否解出這道題上。 ?
可能對(duì)于許多非數(shù)學(xué)專業(yè)的朋友來說，光讀題就已經(jīng)讓人感覺懷疑人生了…
所以在這里，我們?yōu)榇蠹易隽艘粋€(gè)通俗易懂的科普。這道題問的到底是什么？題眼是什么？我們這些肉眼凡胎的吃瓜群眾，到底該怎么理解這道題并且進(jìn)行下一步思考？

本題題目：給定任意正實(shí)數(shù)ε，請(qǐng)證明，除了有限個(gè)反例之外，所有正整數(shù)v都滿足：所有由v個(gè)頂點(diǎn)和至少(1+ ε)v條邊構(gòu)成的圖，都存在一對(duì)等長(zhǎng)的不同簡(jiǎn)單圈（注意，簡(jiǎn)單圈不允許重復(fù)出現(xiàn)相同的頂點(diǎn)）。

但看到這道題目的時(shí)候，我們很容易被題目中圖論的概念嚇住，因?yàn)樵诔醺咧械膶W(xué)習(xí)中，我們很少提到圖論，也很少會(huì)花時(shí)間了解圖論中不同術(shù)語(yǔ)的概念。但其實(shí)中學(xué)生學(xué)習(xí)圖論也大有裨益。
回到題目。其實(shí)通過一些簡(jiǎn)單的介紹，很快我們就能幫同學(xué)們看明白這個(gè)問題，并且找到解題靈感。
首先，讓我們了解一下這道題目中出現(xiàn)的圖論的術(shù)語(yǔ)：
頂點(diǎn)（vertex）：圖論中圖（graph）的基本組成部分是頂點(diǎn)（vertex）和連接頂點(diǎn)的邊（edge）
邊（edge）：連接兩個(gè)頂點(diǎn)的線叫邊（edge）
圈（cycle）：圖論中，圈從一個(gè)頂點(diǎn)起步，沿著不重復(fù)的邊，不重復(fù)的頂點(diǎn)為途徑，回到起點(diǎn)的閉合路徑。 在一個(gè)圖中，如果我們有n個(gè)頂點(diǎn)，而每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)會(huì)形成一條邊，所以這個(gè)圖中最多存在(n-1)+(n-2)…2+1個(gè)邊，也就是從n個(gè)頂點(diǎn)中選出2個(gè)有多少種選法。我們可以從下圖中看到，這個(gè)圖中一共有5個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)都有一個(gè)邊相連，這個(gè)圖中一共有5個(gè)頂點(diǎn)，所以最多可以連成10條邊。在這個(gè)圖中，因?yàn)樗械狞c(diǎn)兩兩相連，我們可以清楚地看到5個(gè)頂點(diǎn)和10個(gè)邊。我們可以在這個(gè)圖中找到很多圈：我們可以看到這個(gè)圖中有不少長(zhǎng)度為3的圈，我們?cè)趫D中標(biāo)紅的兩個(gè)圈就有著相同的長(zhǎng)度。在這里，我們需要指出，在圖論中的長(zhǎng)度和我們?nèi)粘Ｉ钪械拈L(zhǎng)度是不一樣的。圖論中圈的長(zhǎng)度是這一個(gè)圈中包含定點(diǎn)的數(shù)量。 現(xiàn)在我們可以想一想，如果一個(gè)圖中的邊很少，我們就很難找到圈。用相同的例子，如果我們只有一條邊，我們不難看出，無論這條邊連接了任何兩個(gè)頂點(diǎn)，這一個(gè)圖中都不可能存在一個(gè)圈。
現(xiàn)在，讓我們思考一個(gè)稍難一點(diǎn)的問題：在一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)且不存在圈的圖中，最多能有多少條邊？
我們不難想出，在一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的圖中，如果已經(jīng)存在了n-1個(gè)邊，增加的任意一條邊都會(huì)讓這個(gè)圖產(chǎn)生一個(gè)圈。我們可以通過下圖來看一看： 這樣，我們可以知道，當(dāng)一個(gè)圖中有n個(gè)邊的時(shí)候，這個(gè)圖中一定存在至少一個(gè)圈。
我們可以看出，當(dāng)一個(gè)圖的邊越多，這個(gè)圖中不一樣的圈也會(huì)越來越多。現(xiàn)在，我們就可以更好的理解RMM的這個(gè)問題。當(dāng)一個(gè)圖中有v個(gè)頂點(diǎn)，且有(1+ ε)v條邊，因?yàn)棣糯笥?，這個(gè)圖中邊的數(shù)量一定＞v，我們不難知道這個(gè)圖中將會(huì)存在一些圈。這道題目的核心，就是證明出在這些圖中，我們能找到兩個(gè)長(zhǎng)度相同的圈。
看懂題目了嗎？恭喜你，完成了解決這道題目最簡(jiǎn)單的部分！接下來更難的部分自然是后續(xù)的推理證明了。當(dāng)然了，對(duì)題目理解越深，就會(huì)有越多的解題思路和靈感。
? 如果你看到這里還覺得游刃有余，大可嘗試動(dòng)手解這道題了！?
最后，讓我們來聽聽專家是怎么看待這道題的——

問題3是整個(gè)比賽中最具數(shù)學(xué)趣味性的，也是最吸引我的部分。我受到一些組合學(xué)研究的啟發(fā)，想出了一種解決方案。我還打算把這個(gè)問題帶回去給我的博士學(xué)生，這是非常有趣的研究點(diǎn)。

我認(rèn)為解出問題3的關(guān)鍵，在于對(duì)數(shù)學(xué)理念有更深層次的理解和思考。我建議在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力時(shí)，既要發(fā)展高階數(shù)學(xué)思維，同時(shí)也要用做題鞏固訓(xùn)練；這是訓(xùn)練IMO的一種創(chuàng)新，也是一種新的挑戰(zhàn)。
美國(guó)隊(duì)員們經(jīng)常聚到一起討論研究相關(guān)的數(shù)學(xué)話題。這樣的經(jīng)歷讓他們可以更好地思考這類問題。我發(fā)現(xiàn)很多國(guó)家隊(duì)教練都在朝這個(gè)方向轉(zhuǎn)變觀念。近幾年，國(guó)際數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)活動(dòng)的題目開始有越來越多數(shù)學(xué)研究的影子，我們也可以預(yù)見這樣的題目會(huì)被更多人認(rèn)可。

最后的最后，可能有人還是會(huì)問：解這道題，到底有什么用處呢？
就現(xiàn)在來看，除了滿足數(shù)學(xué)愛好者的“探索精神”外，可能“毫無用處”。
但當(dāng)費(fèi)馬潛心研究數(shù)論的時(shí)候，絕對(duì)不會(huì)想到如今它在密碼學(xué)中的舉足輕重；當(dāng)高斯在鉆研統(tǒng)計(jì)學(xué)、線性代數(shù)的時(shí)候，也不會(huì)想到它們?nèi)缃癯蔀榱藱C(jī)器學(xué)習(xí)的基石。
有人說數(shù)學(xué)太虛無，又有人說數(shù)學(xué)最真實(shí)。一萬個(gè)數(shù)學(xué)愛好者里有一萬種數(shù)學(xué)，但它們都有一個(gè)最共同的特點(diǎn)——他們都深愛著數(shù)學(xué)。