關于（基礎教育階段）數(shù)學的學習路線

各位家長，我提出下面的建議供參考：

第一，每個學生都應該對于基礎知識非常熟練的掌握。

我建議每個學生都一定要有小學數(shù)學手冊或小學數(shù)學知識清單這樣的工具書。這樣的書通常將所有的基礎知識點歸類整理，便于查閱，同時會將一些基本題型總結上去，這些基本題型通常是正常應試所需要的基礎。不僅小學需要小學數(shù)學手冊或知識清單來幫助掌握基礎知識，而且初中與高中一樣，需要數(shù)學手冊或知識清單。

第二，想要長期保持數(shù)學優(yōu)勢，我想有兩個主要的方法，一是內(nèi)涵式學習，主要是加深對于基礎知識的理解和運用，除了通常的輔導書之外，奧數(shù)教材是較好的內(nèi)涵式學習的輔導書；二是外延式學習，主要是提前學習未來將會學到的數(shù)學知識，試圖用更高深的知識來理解目前學校教育階段所涉及的知識和題目。之所以說這種大預習一開始主要是外延式的，因為學生不可能對于這些知識理解深刻，但是這些數(shù)學知識是有終點的。從目前來看，就以GRE數(shù)學專項考試涉及的數(shù)學為終極范圍足夠。

如果小學大致學習完平面直線方程、向量代數(shù)、實數(shù)與代數(shù)式運算、排列組合、等差數(shù)列、等比數(shù)列，初中大致學完三角函數(shù)、冪函數(shù)、一元函數(shù)與多元函數(shù)基礎知識，平面幾何與立體幾何，基本上初中就能學完全部高考內(nèi)容。這時高中三年就可以學完GRE數(shù)學專項考試涉及的大學數(shù)學知識，事實上美國高中的課程包含有微積分課程、大學物理等大學課程供高中優(yōu)秀學生選學以便名校挑選學生。因此，到高二時，優(yōu)秀學生達到大學數(shù)學基礎知識水平也并非做不到。

第二種方法，外延式學習。這種學習，剛開始很難深入掌握，但由于這種外延學習的知識范圍是限定的，因此只要努力爭取，高中知識充其量能夠在初二時全部完成，大學知識在高二時全部完成。在大約初二完成大部分高中數(shù)學知識之后，就可以回過頭來，進行內(nèi)涵式學習。但這時的內(nèi)涵式學習，由于站在高中數(shù)學知識的基礎上，將比沒有高中數(shù)學知識基礎的初中學生，在內(nèi)涵式學習中獲得更深入的學習效果，對于很多初中問題的理解，將比通常的初中學生更加輕松。

而從中考結束到高一暑假，基本上就能將大學數(shù)學基礎知識全部學完，從而至少有一年到兩年時間站在高等數(shù)學的基礎上來看高考數(shù)學，這時的內(nèi)涵式學習將會極大簡化高考數(shù)學，而且可以直接參加GRE數(shù)學專項考試，如果成績不差，這時參加國內(nèi)名校的單獨招生考試時也極具優(yōu)勢，因為GRE數(shù)學專項考試成績代表有攻讀美國數(shù)學博士的資格了，對于本科錄取應該更不在話下。這是長期規(guī)劃。

對于小升初這一短期目標，首先仍然是通過小學數(shù)學手冊檢查基礎知識全部掌握沒有盲點，其次刷一些名校小升初的題目，后面我們也可以集中一些課時討論小升初的難題。

數(shù)學學習的確是一個非常漫長甚至痛苦的過程，因此需要家庭、學生都要做長期投入的準備。有這樣的長期計劃的家長，可以將未來相關的教材先全部買上放在家里，這些教材就是未來數(shù)學學習的范圍。這個范圍也許一開始讓人感覺很大，學生學不過來，但反過來，只要目標是有限的，通過艱苦的努力，總是可能達到的。

全部初中數(shù)學教材，最多6本很薄的書，全部高中數(shù)學教材，差不多也是6本很薄的書。GRE數(shù)學專項考試涉及的教材，一套微積分（國外出版的，最好含微分方程、解析幾何那種），一本線性代數(shù)，一本離散數(shù)學，一本GRE數(shù)學專項考試輔導書?；旧线@就是全部的目標，只要是有限的目標，就是簡單的事情。

我現(xiàn)在體會到，真正的困難事情是科學研究，因為根本沒有范圍，不知道哪些基礎知識是真正所需要的，不知道哪些問題是會出研究成果的，完全是不確定的，這才是真正的困難事情，所以真正的科學研究創(chuàng)新成果很難。但應試學習這個就簡單多了，因為目標是確定的，學習范圍是有限的，并且通常是有很多輔導書可以參考的，還有很多培訓班可以上的。而科學研究就不是這樣的，完全是面對不確定的領域，真正需要去探索的。

數(shù)學應試教育比漢語或英語應試教育要更容易，因為數(shù)學應試教育，需要學習的范圍是非常確定的，相關教材和參考書的范圍非常有限，基本上30本教材（包括中小學24本和大學基礎6本，共12年）涵蓋全部基礎知識，參考書主要限定為一套奧數(shù)教材（從小學到高三約12本），AMC8、10、12參考書（共3本），GRE數(shù)學專項考試輔導書（共1本）。這些材料足夠讓學生考出好成績并達到掌握數(shù)學的程度。

但語文和英語要考高分，相關部門推薦的課外閱讀材料好像都有近百本。為什么數(shù)學容易近滿分而語文和英語更難，就在于數(shù)學應試知識的確定性和有限性。