2025年BMO數(shù)學(xué)奧賽Round 1 已落幕！

為了讓同學(xué)們高效回顧考試重點(diǎn)

翰林在靜默期結(jié)束后，第一時(shí)間為大家準(zhǔn)備了

BMO R1 2025年真題+視頻解析

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BMO英國數(shù)學(xué)奧賽考情分析

針對本次BMO Round 1 的考試，我們翰林?jǐn)?shù)學(xué)教研組長張博士瀏覽了試卷，做了一個(gè)簡單的分析，快來看看吧！

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總體考情

BMO R1今年難度基本與去年持平，六道題目的搭配為兩道數(shù)論，兩道代數(shù)，一道幾何和一道組合。

相較去年，Q1,Q3,Q5均為數(shù)論，此外各還有一道代數(shù)（Q2，數(shù)列），一道幾何（Q4，簡單構(gòu)造全等三角形），和一道組合（Q6，較難，空間構(gòu)型抽屜原理），今年在板塊分布上更均衡一些。

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具體題目情況

第一題

一道涉及因數(shù)分解和簡單不定方程解的構(gòu)造的數(shù)論題目，算是開胃菜。

第二題

久違的輪換對稱三元二次方程組的求解，BMO R1的經(jīng)典題型，上一次考察應(yīng)該是2012年了。

這次難度不高，三式相加湊一個(gè)完全平方，消掉一個(gè)未知數(shù)帶入令兩式再相減即可。

第三題

有趣的組合題目。

巧解的關(guān)鍵在于把拼圖的可能性可以對應(yīng)到一個(gè)size從1*1分9步不斷增加至10*10的正方形的擴(kuò)張過程的可能性，而這9步的過程又可以和每一步擴(kuò)張生成的正方形的左上頂點(diǎn)的位置運(yùn)動過程來標(biāo)記：每一步擴(kuò)張左上頂點(diǎn)有三種運(yùn)動可能，分別是向左一步，向上一步和斜著沿著單位正方形對角線一步。

運(yùn)動的起點(diǎn)坐標(biāo)是（3,2），重點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0,0)，按斜著沿對角線走的步數(shù)分類討論即可。

AIME中也有較多類似的網(wǎng)格路徑可能性的問題。

第四題

涉及相似和共圓的幾何題。

歷史上BMO R1的幾何基本上是送分題，讀完題目畫好圖思路差不多就出來了，相較其他三個(gè)板塊的題目質(zhì)量是比較差的。而今年的幾何難度驟升，估計(jì)會多少打仍然抱有之前歷史經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)個(gè)措手不及。這道題顯然需要證明一對（或?qū)ΨQ的另一對）三角形相似來得到題目中的線段乘積等式。

而關(guān)鍵在利用兩個(gè)相切的條件倒弦切角（連接XB，XC），然后發(fā)現(xiàn)A,B,X,C四點(diǎn)共圓，注意到A和X點(diǎn)相對于B，C兩點(diǎn)的位置對應(yīng)關(guān)系及我們希望證明相等的兩對角度，在ABM，ACM中，以及XBM和XCM中分別對稱地應(yīng)用law of sine則可證得。

理論上，這道題如果嘗試用純幾的方法證明相似遇到困難，也可以硬算。AM是中線長度很好表達(dá)，而XM為兩相交圓的相交弦，兩圓半徑可以表達(dá)，圓心距拆分為水平和豎直方向距離也可以表達(dá)，相交弦長度也可以算。不過估計(jì)運(yùn)算量較大對學(xué)生的三角化簡能力要求很高。

第五題

遞歸數(shù)列的問題。

根據(jù)遞歸規(guī)則計(jì)算該數(shù)列前面一些項(xiàng)的值后，猜測1會不斷出現(xiàn)并連續(xù)累計(jì)。2025的倍數(shù)起頭會先將2的因子和3的因子除干凈，最終歸結(jié)為一個(gè)25乘以一個(gè)奇數(shù)的后續(xù)生成項(xiàng)的討論。注意到以后序列的嚴(yán)格單調(diào)遞減性可證。

第六題

有趣的模4的數(shù)組演化過程問題，算是這次的壓軸。

分析的關(guān)鍵在于注意到青蛙獨(dú)立運(yùn)動不改變自己編號模4的余數(shù)，而一次“清除”跳躍需要三個(gè)模4連續(xù)的余數(shù)，而每一次“清除”都會將一組三個(gè)模4連續(xù)的余數(shù)置換為剩下的那個(gè)余數(shù)（如（1,2,3）置換為（0），向左向右都一樣），問題變?yōu)閗組四個(gè)連續(xù)模4的余數(shù)加額外的頭一個(gè)（1）或者頭三個(gè)余數(shù)（1,2,3）怎么安排“清除"跳躍序列來將原本的連續(xù)模4余數(shù)序列演變?yōu)樽罱K連續(xù)三個(gè)模4的余數(shù)。

同時(shí)注意到每個(gè)點(diǎn)的位置由運(yùn)動規(guī)則都是模4同余等價(jià)的（也就是一個(gè)數(shù)可以自由運(yùn)動到任何一個(gè)和這個(gè)數(shù)模4同余的位置上去），計(jì)算四種“清除”跳躍執(zhí)行的次數(shù)（在位置等價(jià)下順序不重要）即可。

BMO英國數(shù)學(xué)奧林匹克賽事

BMO英國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽是UKMT旗下針對高年級中學(xué)生的比賽項(xiàng)目。BMO有兩輪：BMO Round 1和BMO Round 2，BMO Round 1的前10%才能參加第二輪。

在英國，只有SMC成績優(yōu)秀的學(xué)生才有資格參加BMO Round 1（約1000人）。中國學(xué)生可以直接報(bào)名參加BMO Round1。

UKMT作為通往國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO）的重要橋梁，每年吸引全球約6000余所學(xué)校、70萬名學(xué)生的熱情參與，堪稱英國規(guī)模最大、影響力最廣泛的全國性數(shù)學(xué)競賽盛事。

與IMO的晉級關(guān)系：BMO Round1→BMO Round 2→IMO

賽事形式

考試形式：英文

考試時(shí)間：3.5小時(shí)

需要完全化簡的答案以及完整的解答過程（部分過程正確也將獲得一定的分?jǐn)?shù)）

考試題型：Round 1需要完成6道解答題；Round 2需要完成4道解答題

考察內(nèi)容

通常涵蓋幾何學(xué)、三角學(xué)、函數(shù)方程、代數(shù)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等。

第一輪獎項(xiàng)設(shè)置

* 中國的參賽者將根據(jù)英國的截止分?jǐn)?shù)進(jìn)行評判

? 金獎 (Gold Medal)： 授予英國排名前 20 的選手。

? 銀獎 (Silver Medal)： 授予英國排名 21-50 的選手。

? 銅獎 (Bronze Medal)： 授予英國排名 51-100 的選手。

? 優(yōu)秀獎 (Distinction)： 授予約前 26% 的選手。

? 良好獎 (Merit)： 授予約前 66% 的選手。

BMO第一輪晉級第二輪資格

BMO第二輪資格門檻：英國約前100名的學(xué)生可以晉級第二輪，中國學(xué)生會參照英國的分?jǐn)?shù)線。

? 優(yōu)秀獎 (Distinction)： 授予前 25% 的選手。

? 良好獎 (Merit)： 授予約前 48% 的選手。

接下來可以參加的數(shù)學(xué)競賽

——AIME即將開考！

AIME美國數(shù)學(xué)邀請賽是介于AMC10、AMC12及美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（USAMO）之間的數(shù)學(xué)競賽，始于1983年，每年2月分兩次開賽，分別為 AIME I 和 AIME II。

參賽對象

獲得AIME參賽資格的主要途徑如下：

①在AMC10考試中排名前3-6%左右（約1000名）的學(xué)生會自動獲得邀請；10年級及以下，且在競賽當(dāng)天年齡不超過17.5歲。

②在AMC12考試中排名前6-13%左右（約前3000名）的學(xué)生會自動獲得邀請；12歲及以下，且在競賽當(dāng)天年齡不超過19.5歲。

考試時(shí)間

AIME報(bào)名截止日期：2026年1月27日

AIME I 競賽時(shí)間（暫定）：2026年2月6日

（限北美學(xué)生參與，國際學(xué)生不可參與）

AIME II 競賽時(shí)間（暫定）：

2026年2月12日（周四）

考試規(guī)則

考試時(shí)長：3小時(shí)

試卷語言：中英雙語

考試題型：15道填空題

每題1分，滿分15分。其中每個(gè)答案都是 0 到 999 之間的整數(shù)，答錯(cuò)或不答都不得分。

AIME是邀請賽，不接受大眾形式報(bào)名，通過AMC10/12晉級分?jǐn)?shù)線的考生，會自動晉級AIME，晉級考生官方會發(fā)郵件通知。

備戰(zhàn)AIME數(shù)學(xué)競賽，真題是不可或缺的資料，小林為大家準(zhǔn)備了【23-24年AIME數(shù)學(xué)競賽真題+答案+解析】，需要的同學(xué)們快來 掃碼免費(fèi)領(lǐng)取 吧！

今年官方對USA(J)MO美國數(shù)學(xué)奧賽晉級規(guī)則進(jìn)行了調(diào)整，AIME權(quán)重大幅增加！

調(diào)整后的：
USAMO晉級標(biāo)準(zhǔn)：

AMC12分?jǐn)?shù) + 20 × AIME分?jǐn)?shù)
USAJMO晉級標(biāo)準(zhǔn)：

AMC10分?jǐn)?shù) + 20 × AIME分?jǐn)?shù)

規(guī)則調(diào)整后，AIME權(quán)重大幅增加，以前AMC10/12和AIME的成績在總分中各占約50%，但如今AIME的占比直接躍升至2/3！

在當(dāng)前AIME成績重要性日益凸顯的背景下

從AMC成績出爐到AIME考試僅剩約80天！

而自分?jǐn)?shù)線公布至AIME開考更不足60天！

時(shí)間緊迫，備戰(zhàn)AIME必須立即行動！

為助力同學(xué)們系統(tǒng)性學(xué)習(xí)接下來的AIME數(shù)學(xué)競賽知識，翰林特別開設(shè)AIME數(shù)學(xué)競賽【全程班、沖刺班、雙旦集訓(xùn)】各類班課！滿足不同階段的學(xué)員需求！

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