今年AIME I 落幕！

為了幫助大家回顧考題

翰林在官方解禁后

第一時間整理了這些材料：

2024年AIME I 數(shù)學(xué)競賽

真題+答案

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針對本次AIME考試，翰林導(dǎo)師瀏覽了試卷后做了一個簡單的考情分析，幫助大家提前估分！

一起來看看翰林金牌數(shù)學(xué)導(dǎo)師——張老師的分析吧！

張博士 翰林?jǐn)?shù)學(xué)教研組組長

◾美國羅切斯特大學(xué)理論數(shù)學(xué)博士，復(fù)旦大學(xué)上海數(shù)學(xué)中心博士后研究員。

◾7年理論數(shù)學(xué)的研究和相關(guān)教學(xué)經(jīng)驗，曾教授過大學(xué)數(shù)學(xué)系本科至研究生大部分專業(yè)課程。

◾曾參與了 AMC與美國大學(xué)生數(shù)競（Putnam、Virginia Tech等）的講座與培訓(xùn)工作。

2022年11月AMC及AIME戰(zhàn)績（不完全統(tǒng)計）:

AMC10/12輔導(dǎo)晉級AIME人數(shù)51+，其中前1% DHR11名，最高分滿分150；AIME10分+學(xué)員7名,7分+學(xué)員11名。其中13分兩人，12分一人，11分兩人，10分兩人。5名學(xué)員達(dá)到USA/JMO分?jǐn)?shù)線，三名學(xué)員分別實際晉級USAMO和USAJMO。

2021年11月AMC及AIME戰(zhàn)績（不完全統(tǒng)計）:

AMC10/12輔導(dǎo)晉級AIME人數(shù)29+，其中AMC10 DHR兩名，AMC12 DHR三名，最高分滿分150；AIME 10分+ 學(xué)員四名，七分+學(xué)員12名。其中13分一人，11分三人，9分、8分各兩人。5名學(xué)員達(dá)到USA/JMO分?jǐn)?shù)線，兩名學(xué)員分別實際晉級USAMO和USAJMO。

夏校戰(zhàn)績（不完全統(tǒng)計）：

2023年：所帶AMC學(xué)員中，七名申請美國頂級數(shù)學(xué)夏校ROSS Mathematics Program，其中三名拿到offer，兩名拿到waiting list，兩名申請Stanford數(shù)學(xué)夏校SUMAC的學(xué)生均拿到offer，四名申請Awesomemath的學(xué)生全部拿到offer；

2022年：所帶所帶AMC學(xué)員中，四名申請美國頂級數(shù)學(xué)夏校ROSS Mathematics Program的學(xué)生兩名拿到offer，一名申請Stanford數(shù)學(xué)夏校SUMAC的學(xué)生拿到offer，五名申請Awesomemath Level3,4的學(xué)生全部拿到offer。

AIME I考情分析

1整體難度分析

今年AIME?I的難度相較去年有所降低，整體沒有特別難的問題，但個別題目的運算量或討論的過程還是有相當(dāng)?shù)?strong>強度和密度，這也是AIME這個比賽一貫以來的特征。

2考點分析

從題目考點的分布上，這次AIME數(shù)論、代數(shù)、幾何、組合四個板塊的題目數(shù)量分別為2道，5.5道，4.5道，和3道，基本和歷史上四個板塊大致占總題量的比例相當(dāng)，代數(shù)和幾何仍然是AMC、AIME這類Pre-MO級別比賽的重點，大家對題目背后的基本數(shù)學(xué)概念及相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)、結(jié)論都是比較熟悉的，更容易上手也是拿分的關(guān)鍵，而數(shù)論和組合這兩部分的題一般更具有數(shù)競的專業(yè)性，每年一共在5-6題左右，兩邊各占2-3題。

3代數(shù)部分

這次的代數(shù)題目分別為Q1，Q2，Q7，Q9，Q12，Q15，在各個難度檔次中分布非常均勻。

Q1是最簡單的行程計算問題，放在amc8中也無任何不妥。Q2是基礎(chǔ)的對數(shù)運算，在過程中略注意些技巧可以一定程度簡化運算，大致也就是amc12中Q14，Q15的難度水平。

Q7是道復(fù)數(shù)計算背景的極值問題，三角換元或者柯西不等式一步可以得到答案，基本對應(yīng)AMC12中Q16，Q17的難度。

Q9出現(xiàn)了在AMC和AIME中比較少出現(xiàn)的雙曲線，看起來是個解析幾何背景的極值問題但實際考察的只是對雙曲線漸近線最基本的概念和性質(zhì)的了解，難度大致也對應(yīng)AMC12的Q17，Q18。

在難題部分，Q12考察了絕對值函數(shù)，三角函數(shù)，復(fù)合函數(shù)以及反函數(shù)的概念以及作圖，從題目的做法上來說非常基礎(chǔ)甚至幾乎不需要思考，但是在對函數(shù)做分段討論準(zhǔn)確畫出一個標(biāo)準(zhǔn)周期區(qū)間中的圖像每一段是需要足夠的耐心和細(xì)致，另外在對一個類似函數(shù)的反函數(shù)作圖時能夠快速地做邏輯上的類比。難度整體對標(biāo)AMC12的Q22，Q23。

最后壓軸題Q15是一個標(biāo)準(zhǔn)的多元約束條件下的極值問題，注意到一個關(guān)鍵的隱含約束條件之后做標(biāo)準(zhǔn)的消元替換最終可以得到一個單調(diào)函數(shù)，新元所滿足的約束條件又可以通過求解一個三次方程的根來獲得，整體難度也不高，大致對應(yīng)常規(guī)難度下AMC12的Q24，Q25。

4幾何部分

這次的幾何題目分別為Q5，Q8，Q9，Q10，Q14。Q9我們在代數(shù)部分說過勉強算半道解析幾何背景的題目。

Q5考察了一個對競賽生來說在幾何部分最重要（我們在我們的課上會反復(fù)跟學(xué)生強調(diào)）的概念，四點共圓四邊形（cyclic?quadrilateral）性質(zhì)的掌握，也就是對角互補，尤其可以推出一對角度的相等，然后用相似或者設(shè)角用三角函數(shù)來表達(dá)線段長度即可，難度對應(yīng)AMC10,12的Q16，Q17左右。

Q8是個給定三角形內(nèi)一條邊上相同size內(nèi)切圓放置的問題，對邊進(jìn)行簡單、類似的分拆從算法上也幾乎沒有任何難度，對應(yīng)AMC10,12的Q17，Q18的難度。

Q10考察了三角形的外接圓，切線與弦切角，簡單圓冪定理以及三角形熟練求解，大家要對三邊已知（競賽中最常見的幾何題型）的三角形各典型幾何量（和心相關(guān)的角度，線段長度等）的求解算法非常熟悉，這些都是基本功。

最后Q14是一道四面體內(nèi)切球半徑求解的立體幾何問題，同樣從算法上來說沒什么難度，算高算體積，再用內(nèi)切球的半徑計算公式（和多邊形內(nèi)切圓半徑計算邏輯一樣）可得，稍微有些運算量。難度上也就對應(yīng)AMC10，12常規(guī)Q24的水平。

這次Q4，Q6，Q11的三道組合題目難度都較低，也從只是上較大程度地降低這次AIME的整體難度。Q4根據(jù)重合中獎序列數(shù)字的個數(shù)進(jìn)行分類討論所求概率的表達(dá)式可直接寫出，難度大致跟AMC12的Q15，Q16相當(dāng)。Q6又是經(jīng)典的網(wǎng)格路徑問題，考慮對稱性將橫向豎向的連續(xù)步數(shù)設(shè)出，計算滿足簡單約束條件下的步數(shù)取值可能即可，最終結(jié)果是簡單等差數(shù)列求和相乘，難度大致對應(yīng)AMC10，12的Q18，Q19。

最后Q11是個圓周（或正多邊形）定點染色問題，標(biāo)準(zhǔn)且簡單的geometric counting，根據(jù)藍(lán)點數(shù)量分類討論即可，最后在藍(lán)點數(shù)量為4時對所有的藍(lán)點分布的構(gòu)型進(jìn)行遍歷時稍微需要細(xì)致些不要遺漏即可。

5數(shù)論部分

最后數(shù)論部分本次考察題目較少，只有Q3和Q13，但質(zhì)量都較高。

Q3雖然編號不高，但是是一道有一絲MO數(shù)論組合雜題風(fēng)格的游戲必勝策略類題目，不過大家容易想到1,4配對，根據(jù)總數(shù)mod5的余數(shù)分類進(jìn)行具體策略施行的討論。

Q13算是本次比賽難度相對最高的一道，涉及到相當(dāng)?shù)倪\算量和準(zhǔn)確性。題目本身和2019 AIME I Q14非常類似，考察了歐拉定理，整數(shù)的階（order）的概念和性質(zhì)，在確定了質(zhì)數(shù)模為17之后，找四次方模17的平方余1最小的整數(shù)算是這道的第二個關(guān)鍵點和計算上的難點，技巧是先尋求一個弱條件mod17也需要余1，然后找到這個整數(shù)的必要條件必須是mod17余2或者8兩種可能，再分類討論將整數(shù)設(shè)成17k+2或者17k+8的形式討論其四次方展開mod17的平方余1對于k的要求。這道題目能流暢準(zhǔn)確地做出，對于學(xué)生對模代數(shù)的基本功和運算能力要求是比較高的。

除此之外，翰林導(dǎo)師還為大家預(yù)測了今年USA(J)MO的分?jǐn)?shù)線，可供大家參考！

USA(J)MO分?jǐn)?shù)線預(yù)測

了解完以上信息，大家還要記住成績查詢和下載證書的時間哦~

AIME活動時間

成績查詢時間：考后2-4周

下載證書時間：考后2-4周

（部分美高學(xué)生成績已出）

翰林已經(jīng)收到不少

在美國考試的學(xué)生喜訊

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