A-level數學丨矩陣與線性變換

線行變換和矩陣很多同學覺得疑惑，那么今天咱們就來說說啥叫變換（linear?transformation）。

本質上，變換就是函數（function）。

例如，你輸入一個向量a?，經過某個變換（即函數）的作用之后，輸出另一個向量b?。既然，變換本質上就是函數，那為啥還要多搞出這樣一個術語？

其實，“變換”這個詞暗示了我們能夠以某種方式可視化 輸入—-輸出 關系。它暗示我們要從向量運動的角度去理解。即，變換讓向量從一個地方（對應輸入向量），運動到了另一個地方（對應輸出向量）。

變換有時非常地復雜

那么線性變換是什么意思呢？如果一個變換同時具有以下 2 條性質，則它是一個線性變換。

·?變換前后，所有的直線仍然是直線

·?變換前后，原點保持不變

 

那么，我們要如何描述一個線性變換呢？

以平面直接坐標系為例，假定我們有一個向量 v=-i+2j。我們可以將它看成是兩個基向量 i,?j?的線性組合。線性組合的系數分別對應向量的2個分量。在某個線性變換的作用下，i,?j?以及v都運動到了新的位置。線性變換后的v任然是變換后的i和j的線性組合，并且線性組合的系數和變換前一樣（仍然是-1 和2）

意味著，對于一個線性變換，我們只需要跟蹤基向量在變換前后的變化，就可以掌握整個空間（即全部向量）的變化。我們將線性變換后的基向量坐標按列組合起來，可以拼接成一個矩陣。線性變換的全部信息便都包含在這個矩陣當中了。

以后，當你再看到矩陣的時候，你都可以將它解讀為對空間的某種線性變換，這是深刻理解矩陣乘法、行列式、基變換，以及特征值等概念的重要基礎。掌握了本節（從線性變換的角度）看待矩陣的方式，線性代數中，原本極其抽象的概念，都將瞬間變得清晰起來。線性代數中各種看似莫名其妙的運算，以及各種神出鬼沒的概念，一下子都變得可愛起來了。