你真的知道數(shù)學最終學的是什么嗎？

美國的數(shù)學學術(shù)活動對于大部分的中國孩子而言，除了語言上的障礙外，題目本身的難度并不高，尤其對于中國被稱為“學術(shù)活動黨”的這批孩子而言，更是小菜一碟。但是，我很喜歡解美國數(shù)學學術(shù)活動題。因為在我看來，判斷題目的好壞并不在于題目本身的難度，而在于從題目中我們可以學到多少數(shù)學思維。在數(shù)學思維的訓練方面，我認為美國的數(shù)學學術(shù)活動是有其過人之處的。

讓我先從一道簡單的美國數(shù)學學術(shù)活動題開始。題目大致是這樣的：請問下圖中至少有一個點接觸到外邊界的三角形占了所有三角形數(shù)量的百分之幾？

這似乎是個非常簡單的題。當然，對于答案而言確實再簡單不過了。這里唯一有那么一點難度的，無非就是很多人讀不懂題目，無法理解什么叫做“至少有一個點接觸到外邊界”這句話。當然，還有人理解為要計算各種邊長的三角形數(shù)量，這個似乎把問題復雜化了。這里我們暫且只考慮最小的那種三角形。

我先來解釋這句話。我們知道，三角形由三條直線所構(gòu)成，三條直線同時產(chǎn)生了三個角，顧名思義叫做“三角形（triangle）”。那么，顯而易見的是，下面的三角形是符合題目要求的。

這里很容易忽視的情況是，下面的這些三角形也同樣是符合題目要求的：

 

清楚了題目的意思，問題就變成簡單的數(shù)數(shù)了。但往往越是簡單的問題，越容易成為真正的問題。這道題我給很多孩子做過，但我發(fā)現(xiàn)他們很多人都是一個一個在數(shù)，這顯然并非出題者的本意。讓我從計算全部的小三角形開始說起。

如何計算全部的小三角形數(shù)量呢？我們可以從幾個不同的角度來思考這個問題。

解法一：最常規(guī)的思路，直接每層的三角形數(shù)加總求和。我們觀察發(fā)現(xiàn)，這是一個10層由等邊三角形堆積而成的圖形。第一層1個三角形，第二層3個三角形，第三層5個三角形，……，第十層19個三角形。于是，問題就變?yōu)檫M行等差數(shù)列“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”求和了。對于大部分孩子而言，這是很簡單的高斯求和問題，答案是：（1＋19）×10÷2＝100個。假如孩子熟悉平均數(shù)移多補少的思想，直接用這10個數(shù)字中間的兩個數(shù)9和11的平均數(shù)來計算：（9＋11）÷2×10＝100個，也可以得到同樣的結(jié)果。

解法二：按照三角形的形狀分步計算，先計算△形狀的三角形，再計算▽形狀的三角形，最后兩者相加求和?！餍螤畹娜切螖?shù)為：1＋2＋3＋…＋9＋10＝55個；▽形狀的三角形數(shù)為：1＋2＋3＋…＋9＝45個；兩者相加：55＋44＝100個。

解法三：大膽探索，尋找規(guī)律。對于等差數(shù)列“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”，大部分人的做法無非是解法一中的兩種方法，要么高斯求和，要么用平均數(shù)的思想。其實，這里還有更加巧妙的計算方法。由于這是一個累加的計算，那么我們來尋找一下累加的過程中可以發(fā)現(xiàn)什么有趣的規(guī)律呢？我把累加過程做了一個表格。

 

 

我們經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，最后的結(jié)果居然是一個平方數(shù)。這是一個重要的發(fā)現(xiàn)，因為這意味著哪怕問題變?yōu)?0層、50層、100層甚至更多的三角形堆積，我們同樣可以快速而又準確地知道全部三角形的數(shù)量。這可能是這道題最重要的啟發(fā)之一。

那么為何“1＋3＋5＋…＋17＋19＝”求和會是一個平方數(shù)呢？我們看下面的圖形應該馬上可以明白其中的原因了，證明過程可謂是“proof without words”。

知道了如何快速計算這個結(jié)果，我們再回頭看如何計算題目所要求的“至少有一個點接觸到外邊界的三角形”數(shù)量。這里同樣有不同的角度可以進行計算。

解法一：因為這個堆積而成的大三角形本身也和小三角形一樣，是一個等邊三角形，那么我們只要計算其中一條邊就可以了。先計算△形狀的三角形，數(shù)量有10個，因為有10層；▽形狀的三角形是穿插在兩個△形狀的三角形中間，熟悉間隔問題的同學們很快可以報出答案，是9個。于是，每條邊上符合題目要求的三角形有：10＋9＝19個。因而，三條邊一共有19×3＝57個。這里容易忽略的是邊與邊之間還有重復計算的三角形數(shù)，每個角有兩個三角形是重復計算的，故而有3×2＝6個三角形是重復計算的，需要減去。因此，符合“至少有一個點接觸到外邊界的三角形”數(shù)量為57－6＝51個。于是，最終的答案就是：51÷100＝51%。

解法二：通過全部三角形數(shù)量減去不符合條件的三角形數(shù)量而得到答案。前面已經(jīng)計算，全部的三角形數(shù)一共是100個。那么不符合條件的三角形數(shù)量有幾個呢？我們觀察發(fā)現(xiàn)，不符合題目條件的三角形是一個7層小三角形堆積而成的形狀，因此根據(jù)我們前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，一共有：7×7＝49個。兩者相減為：100－49＝51個。同樣可以得到答案。

通過如此簡單的一道題目，我們學到了很多的數(shù)學知識和思維方式。這就是為什么我認為從啟發(fā)數(shù)學思維的角度來看，美國的數(shù)學學術(shù)活動題是我喜歡的類型。

再來解一道題，很常見的問題：將一個圓形紙片用直線劃分成若干部分，請問：用5條直線最多可將圓形紙片劃分成多少部分？

 

 

同樣，只要多試幾次，我們很容易知道答案為16。但是，其實這不重要，這個答案不是這個問題想要傳達給我們的知識，重要的是我們要從簡單的數(shù)字中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，哪怕最后問題變?yōu)?0條線、20條線甚至100條線，我們也可以快速回答出來。

題目要求的是5條直線，我們一開始是很難知道16這個答案的，我們需要從簡單的數(shù)字中去探索規(guī)律。1條和2條因為數(shù)字太簡單，似乎很難發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律，那么我們通常選擇一個折中的數(shù)字，比如3條線。為了發(fā)現(xiàn)如何畫可以盡可能多地分割這個圓，我給孩子們進行了示范。如下圖所示：

 

 

 

我們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，3條線要分割出盡可能多的塊數(shù)，應該使得新劃上去的直線與原有的直線在圓的內(nèi)部都相交，而且交點要不出現(xiàn)重合。為了讓規(guī)律來得更加顯而易見，我列了一個表格，其中一列為直線數(shù)，第二列為分割的快數(shù)，第三列為新增的快數(shù)，最后一列為我們可以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。如圖所示：

 

 

 

這是一個非常美妙的結(jié)果，也意味著哪怕題目要求50條直線甚至100條直線，我們都能馬上得到準確的答案。

這兩道題之所以拿出來說，是因為我發(fā)現(xiàn)，很多孩子學數(shù)學只關心答案而不注重思考的過程。我多次說過：答案對很多時候只是巧合，不代表真正理解；思維方式和思考過程對了，答案只是水到渠成的事情。

 

我們從小學到大學，大部分的數(shù)學知識在我們走上社會之后都是用不到的，只有少部分人會用到復雜的數(shù)學知識。學習數(shù)學，最重要的不是追求那個答案，而是從數(shù)學解題過程中我們能得到不斷訓練的思維能力、推理能力、創(chuàng)造能力，等等。這些才是伴隨我們終生的能力，也是學習數(shù)學可以給予我們的最重要的東西。

很可惜，現(xiàn)在的教育在這方面做得很糟糕，出現(xiàn)了很多的問題。教孩子機械地背公式、記答案、學解題套路，而忽略了學數(shù)學要掌握的最重要的方面。我遇到過一些孩子，看到問題先是告訴我這是“某某問題”，然后背一下這個問題可能會用到的公式。然后，遺憾的是，背完公式之后就沒有然后了……還有一些孩子告訴我，他們的老師都是這么教他們的，叫他們必須背公式，從來不問為什么。如果我認同這樣的方法，我就不做現(xiàn)在的事情了。

然而，這究竟是為什么呢？我想，很多方面都是值得我們反思的！