美國數學競賽AMC10高分攻略，AMC10到底難在哪里？

每次考完AMC10之后總有同學反饋難度很大，時間不夠，做的不理想等等，AMC10相較于AMC8在難度上有較大的提升。無論是題目的廣度還是難度都有了一個較大的變化。今天我們對AMC10學術活動中常見的難點進行一下匯總，幫助各位同學備戰AMC10！

英語理解問題

在這些難點中，首當其沖便是英語理解的問題。一些題目本身并不困難，但是其描述較為復雜，不容易讀明白，從而出現問題。比如說2009年AMC10B的這個問題：

On Monday, Millie puts a quart of seeds, 25% of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only 25% of the millet in the feeder, but they eat all the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?

我們來看一下題目的中文翻譯：

周一的時候，Millie在鳥類喂食器里放了1 quart的種子，其中25%是小米。之后的每天，他都會往喂食器里面放1 quart相同比例的種子，并且不會拿出去原有的種子。每天，鳥都會吃掉喂食器里面25%的小米，并吃掉其他全部的種子。那么在哪一天，當Millie剛放下種子時，喂食器里面會有超過一半的小米？

其實這道題如果翻譯過來就不難處理，只需要分析一下過程，然后連續計算接下來幾天小米在喂食器里面的比例就可以得到答案。

可以說這道題最大的考點其實是在于讀懂題。首先我們要明白Millie喂鳥以及鳥吃種子的過程。其次我們要搞清楚里面的每一個比例對應著什么整體。比如說第一個25%的整體是所有的種子，而第二個25%的整體是所有小米。有了對這個過程的理解，我們便可以求出每天放種子之前和之后小米的量，從而回答這一問題。

知識面涉及廣

另一個難點就在于知識的廣度。乍一看AMC10考試的考綱和AMC8的很接近，但是AMC10在一些細節上有了較大的不同。像是數論、組合、數列這些平時學校課程不常涉及的內容已經成為了AMC10的必考項目。

每年基本都有題目是關于這些學校里面不怎么涉及的內容。以2020年的AMC10A考題為例，與數論和組合相關的題目有5道。這對于沒有深入學習過這些知識的考生而言是非常可怕的。這五道題的正確率都在20%以下，完成率均在50%以下。由此可見，知識的廣度也成為了AMC10考試對于沒有任何學術活動經驗的同學的一大難關。

知識點難度大

另外，一些知識點本身就是難點。例如數論問題中的最大公約數和最小公倍數的問題。雖然大家從小學就學過因數和倍數的概念，也接觸過最大公因數和最小公倍數，但是很多學生并不是很熟悉與他們相關的重要性質。例如2018年AMC10B的這一題：

How many ordered pairs (a, b) of positive integers satisfy the equation:
ab+63=20 lcm(a,b)+12 gcd(a,b)
where gcd(a,b) denotes the greatest common divisor of a and b, and lcm(a, b) denotes their least common multiple?

這道題即便是對于最大公約數和最小公倍數有了初步了解也并不是很容易下手，因為其中需要用到一個非常重要但是學校課程往往不會強調的性質，即ab=gcd(a,b)lcm(a,b)。如果有了這條性質的幫助，這道題的難度一下便減小了不少。

知識的靈活運用

最后一大難點就在于知識的靈活運用。AMC10中的很多問題往往以非常靈活的方式出現。一些知識點往往以意想不到的方式出現在題目當中。比如2019年AMC10A的這道題：

For how many integers n between 1 and 50, inclusive, is (n^2-1)!/(n!)^n an integer? (Recall that 0!=1).

這道題看似是一道數論中的整除問題，然而想要快速的破解這道題卻需要學生對于組合公式有很強的理解。如果只是把這道題當做一道整除問題來處理，那么考生將會非常被動，因為其中的階乘非常難下手。而如果注意到(n^2)!/(n!)^(n+1)是組合中的一個常用公式，也就是說一定是一個整數的話，那么此題將會容易很多。接下來只需要找到使得n!/n^2是整數的n即可，也就是找到使得(n-1)!/n是整數即可。

除了這種對于知識需要較高理解的問題，還有很多題考驗大家對于知識的綜合運用。比如2019年AMC10B的這道題：

All lines with equation ax+by=c such that a, b, c form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

這道題首先考察考生對于等差數列的理解，但這并非這道題的重點。接下來考生需要根據等差數列的定義來轉化這一等式，從而找到其中的不動點。假設這個等差數列公差為d，那么該等式可以化為ax+(a+d)y=a+2d。因為我們希望該式成為關于a、d的恒等式，因此我們把a和d單獨列出來，得到(x+y-1)a+(y-2)d=0。由此可得，x+y-1=0, y-2=0。此題迎刃而解。

這道題就是考察了考生們對于問題的整體把握，不僅要對等差數列有一定的理解，還需要對如何處理一次方程有較為深刻的理解。

 

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