為什么越來越難申請到理想的美國本科學校？

我們用一個例子講清楚這個問題，我想要說的是：任意一個申請者提交的申請越多，那么每一個申請者得到的錄取都不會變得更好。請注意，這其實是一個可以證明的嚴格論斷，尤其，這個結論不依賴于下面這個簡單的例子。

我們要舉得例子是關于男士和女士配對，大學申請比這個問題稍微復雜一點，但是基本原理本質上是一樣的。我們假設有四位男士和四位女士，每位男士對這四位女士有一個偏好順序，同樣，每位女士也對這四位男士也有個偏好順序，每一位的具體偏好如下圖所示。

P(m_1)代表第一位男士 m_1 的偏好，他最喜歡的女士是 w_1,而他最不喜歡的（但可以接受的）女士是 w_4，其他人的偏好依此類推。

 

我們跟隨慣例讓男士來求婚，女士來挑選（對應到大學申請，那就是學生提交申請，大學來挑選）。我們先假設這些男士都是傳統、保守的好男人：每人只約會一位女士，也就是說，m_1 約會 w_1, m_2 約會 w_2, m_3 約會 w_3, m_4約會 w_4。女士挑選的結果對男士來講真是太完美了，每一位男士都收獲了他們最喜歡的女士，但是，情況對女士來講就不是那么好了，每一位女士都只收獲她們最不喜歡的、勉強接受的男士。我們也注意到，由于男士比較傳統和克制，每位女士只收到一個約會邀請，女士其實沒有挑選的余地。

接著我們來看看如果男士不那么傳統或保守，也就是男士可能腳踩兩只船甚至到處沾花惹草（對應到大學申請的問題那就是每一位申請者不可能只申請一所學校啊，目前美本申請現狀就是大家四處出擊）。我們想要說明的是：腳踩兩只船害人害己，申請撒大網四處出擊也是害人害己。為了簡單起見，我們假設這里的男士都同時約會了兩位女士（一般的結論不依賴于這里的“同時”），可以預期的是，女士會收到不止一個約會邀請從而有了選擇的余地：女士必然可以收獲更理想的男士，我們來看看是不是真的這樣，下面需要一點點小耐心額。

每一位男士都同時約會兩位女士，顯然，他們約會的是各自偏好里的前兩位咯，我們發現，女士 w_1 收到了來自男士 m_1 和 m_2 的約會邀請，顯然，女士 w_1 會選擇她更喜歡的男士 m_2 而拒絕掉男士 m_1 的邀請（上翻看一下偏好列表啊）；類似地，女士 w_2 也收到了來自男士 m_1 和 m_2 的約會邀請，女士 w_2 選擇她更喜歡的男士 m_1 而拒絕掉男士 m_2；對女士 w_3 和 w_4 可以做類似分析。最終結果是所有女士都收獲了她們各自偏好列表里倒數第二喜歡的男士，而不是前面收獲的各自列表里最不喜歡的男士。更為重要的是，我們發現每一位男士都收獲了各自偏好列表里面的第二位女士而不是前面各自收獲的第一位女士！腳踩兩只船害人害己啊，受益的是另一半啊！

練習：

1）在這個例子里，如果每位男士把市面上的女士都約會一遍，那么每一位男士最終只能收獲自己最不喜歡的那位女士，而每一位女士都能收獲到她們最喜歡的男士，多么慘痛的教訓啊。

2）即便是只有一位男士腳踩兩只船而其他男士都只約會他們最喜歡的女士，那么最終所有的男士都不能收獲他們最喜歡的女士。

最后，我們回到標題提出的美本申請問題，由于感覺到申請競爭越來越激烈，外加現在網絡申請的便捷性，每一位申請者都不斷增加申請學校的數量，目的是為了確保自己能夠收獲理想的學校，然而，實際發生的是，即便只有一位申請者增加自己申請學校的數量，那么每一位申請者（包含他自己）都不會收獲到更好的學校，而學校則會收獲它們更“理想”的學生。有什么辦法讓申請者明白這個道理？有什么辦法讓申請者在明白這個道理之后減少申請學校的數量呢？

這個例子也讓我們對英國大學申請規則有一個新的理解視角，英國大學只允許學生申請最多5所學校，而且牛津和劍橋兩所之中只能申請一所，這個規則咋看是限制了學生的選擇自由度，然而，讀過這篇文章你有沒有發現這其實是在“保護”學生？

 

我們這里所討論的問題其實是所謂雙邊配對（two-sided matching）問題的一個具體例子，這個問題最先由數學家Gale和Shapley提出，然后經濟學家Alvin Roth用這個理論研究了現實中的配對問題，尤其是安排美國醫學院學生到醫院實習的問題，他因為對這個問題的出色研究和Shapley共同獲得了2012年的諾貝爾經濟學獎，Roth的專著Two-sided matching: a study in game-theoreticmodeling and analysis值得一讀。他的學生Parag Pathak也因為雙邊配對問題的研究獲得了2018年的Clark獎（只授予40歲以下的年輕經濟學家）。需要指出的是Shapley對經濟學更大的貢獻在博弈論方面。