【A-Level】Integration by substitution

Integration by substitution可以說是A-Level core(pure) maths非常喜歡考的題型，而且算是偏難的題目，且一旦出現，占的分數就較高（6分甚至更多），6分就差不多要降一個grade了，所以這個方法要好好學習吶。

可喜可賀的是，基本上一旦要考u-substitution, 題目里面都會直戳戳地告訴替換的式子，只要你正確地換好，剩下的往往就不難了。

先啰嗦一句，為啥要替換呢，因為不同于differentiation，differentiation有加減乘除的運算法則，同時還有chain rule來處理復合函數(composite function)，如下： 但是integration只有加減法的運算法則，而沒有像differentiation那樣的rules 來處理乘除法和復合函數(composite function)： 所以遇到被積函數(integrand)是出現乘除法和復合函數時，就要尋求各種各樣的求解方法，u-substitution是其中一種方法，通過把integrand里面的某些復雜的部分換成一個簡單的variable u， 達到把積分(integration)里面的函數變成簡單好做的形式。

【以上，請注意求解定積分(definite integral) 時，把 x 更換成 u 之后一定要記得更換 upper limit 和 lower limit !!! 然后 step 6 就無需rewrite the answer in term of x 了，直接把 u 的值代到 u 的式子里面即可。如果你非要換回x，?就把原來的 x 的值代回 x 的式子 詳細請見Example 3】

好，廢話不多說，看一些 examples :

Example 1

上面這個例子在做替換的時候就把式子里面那個看似尷尬的存在 ' 6x ' 消掉了，往往多數題目都是正好可以這樣消去多余的 x 的，但是有些情形一次常規的替換之后并未能把 x 消除干凈，但也絕對可以經過二次替換消除干凈，要進一步操作二次替換，看example 2.

Example 2

以上的替換式子都是 u=f(x) 的形式，有些替換式子是 u2=f(x)，在differentiate這個替換式子的時候要注意使用implicit differentiation，就這一點區別，其他都是一樣的，請看例3：

Example 3

有時候，題目里面也不總是用 u=u(x) , 也喜歡來個 x=x(θ) 之類的替換，本質上都是一樣的，都是換完之后，積分里面只有新字母，沒有舊字母就OK啦，看例4:

Example 4

好啦，相信看了這4個examples 之后大家能對integration by substitution 有了一定的了解了，做這種題目要多觀察，還要提高化簡轉換能力哦，適當的simplify往往能避免解題過程忽然懵了，或者運算錯漏。

來~ 吃下這個題，消化掉，你的分數可能就要up 一個grade啦，哈哈哈哈嗝