【A-Level】Integration by substitution

Integration by substitution可以說(shuō)是A-Level core(pure) maths非常喜歡考的題型，而且算是偏難的題目，且一旦出現(xiàn)，占的分?jǐn)?shù)就較高（6分甚至更多），6分就差不多要降一個(gè)grade了，所以這個(gè)方法要好好學(xué)習(xí)吶。

可喜可賀的是，基本上一旦要考u-substitution, 題目里面都會(huì)直戳戳地告訴替換的式子，只要你正確地?fù)Q好，剩下的往往就不難了。

先啰嗦一句，為啥要替換呢，因?yàn)椴煌赿ifferentiation，differentiation有加減乘除的運(yùn)算法則，同時(shí)還有chain rule來(lái)處理復(fù)合函數(shù)(composite function)，如下： 但是integration只有加減法的運(yùn)算法則，而沒(méi)有像differentiation那樣的rules 來(lái)處理乘除法和復(fù)合函數(shù)(composite function)： 所以遇到被積函數(shù)(integrand)是出現(xiàn)乘除法和復(fù)合函數(shù)時(shí)，就要尋求各種各樣的求解方法，u-substitution是其中一種方法，通過(guò)把integrand里面的某些復(fù)雜的部分換成一個(gè)簡(jiǎn)單的variable u， 達(dá)到把積分(integration)里面的函數(shù)變成簡(jiǎn)單好做的形式。

【以上，請(qǐng)注意求解定積分(definite integral) 時(shí)，把 x 更換成 u 之后一定要記得更換 upper limit 和 lower limit !!! 然后 step 6 就無(wú)需rewrite the answer in term of x 了，直接把 u 的值代到 u 的式子里面即可。如果你非要換回x，?就把原來(lái)的 x 的值代回 x 的式子 詳細(xì)請(qǐng)見(jiàn)Example 3】

好，廢話不多說(shuō)，看一些 examples :

Example 1

上面這個(gè)例子在做替換的時(shí)候就把式子里面那個(gè)看似尷尬的存在 ' 6x ' 消掉了，往往多數(shù)題目都是正好可以這樣消去多余的 x 的，但是有些情形一次常規(guī)的替換之后并未能把 x 消除干凈，但也絕對(duì)可以經(jīng)過(guò)二次替換消除干凈，要進(jìn)一步操作二次替換，看example 2.

Example 2

以上的替換式子都是 u=f(x) 的形式，有些替換式子是 u2=f(x)，在differentiate這個(gè)替換式子的時(shí)候要注意使用implicit differentiation，就這一點(diǎn)區(qū)別，其他都是一樣的，請(qǐng)看例3：

Example 3

有時(shí)候，題目里面也不總是用 u=u(x) , 也喜歡來(lái)個(gè) x=x(θ) 之類(lèi)的替換，本質(zhì)上都是一樣的，都是換完之后，積分里面只有新字母，沒(méi)有舊字母就OK啦，看例4:

Example 4

好啦，相信看了這4個(gè)examples 之后大家能對(duì)integration by substitution 有了一定的了解了，做這種題目要多觀察，還要提高化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)換能力哦，適當(dāng)?shù)膕implify往往能避免解題過(guò)程忽然懵了，或者運(yùn)算錯(cuò)漏。

來(lái)~ 吃下這個(gè)題，消化掉，你的分?jǐn)?shù)可能就要up 一個(gè)grade啦，哈哈哈哈嗝